2025年九年级中考数学二轮复习难点题型突破课件：半角模型

这是一份2025年九年级中考数学二轮复习难点题型突破课件：半角模型，共23页。PPT课件主要包含了得到△ADF′，EF2等内容，欢迎下载使用。
例 (2024·宜宾)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N是边BC， CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 ⁠．
【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AD＝AB＝BC＝CD＝1，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°.如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，则△ADN≌△ABP.∴∠DAN＝∠BAP，∠D＝∠ABP＝90°，AN＝AP，DN＝BP.∴点P，B，M，C共线．∵∠MAN＝45°，∴∠MAP＝∠MAB＋∠BAP＝∠MAB＋∠DAN＝90°－∠MAN＝45°＝∠MAN.∵AM＝AM，∴△MAP≌△MAN(SAS)．∴MP＝MN.∴MN＝MP＝BM＋BP＝BM＋DN.设CN＝a，CM＝b，则DN＝1－a，BM＝1－b.∴MN＝BM＋DN＝2－a－b.∵∠C＝90°，∴CN2＋CM2＝MN2，即a2＋b2＝(2－a－b)2.
练习 (2024·乐山)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生 解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC 上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连接 ED′. 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′＋∠EAC＝45°，即∠EAD′＝ 45°.∴∠DAE＝∠D′AE.
在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝ AE，∴  ① ．∴DE＝D′E. 又∵∠ECD′＝∠ECA＋∠ACD′＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在 Rt△ECD′中，  ② ．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝  ③ ．
【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填： ；“②” 处应填： ⁠；“③”处应填： ⁠．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只 要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
△DAE≌△D′AE(SAS)
CE2＋CD′2＝D′E2
【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足 △CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与 对角线BD交于M，N两点．探究BM，MN，DN的数量关系并证明．
【知识迁移】解：DN2＋BM2＝MN2.证明如下：
如答图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，
过点D作DH⊥BD交边AF′于点H，连接NH．
由旋转的特征，得AE＝AF′，
BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′.
由题意，得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝
DF＋FC＋EC＋BE.
∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF′＝F′F.
在△AEF和△AF′F中，
AE＝AF′，EF＝F′F，AF＝AF，
∴△AEF≌AF′F(SSS)．∴∠EAF＝∠F′AF.
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.
∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°.
在△ABM和△ADH中，∠BAM＝∠DAH，AB＝AD，∠ABM＝ ∠ADH，
∴△ABM≌△ADH(ASA)．∴AM＝AH，BM＝DH．
在△AMN和△AHN中，AM＝AH，∠MAN＝∠HAN，AN＝ AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)．∴MN＝HN. 在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2.
∴DN2＋BM2＝MN2.
【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF ＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF的数量关系： ⁠ ．(直接写出结论，不必证明)
2BE2＋2DF2＝
【拓展应用】2BE2＋2DF2＝EF2.　提示：如图2，设直线EF交AB延长线于点M，交AD延长线于点N，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE.
∴△AEH≌△AEF(SAS)．∴EH＝EF.过点H作HO⊥CB交CB的延长线于点O，则四边形OHGB为矩形．∴OH＝BG，OB＝HG.∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝∠DFN＝∠DNF＝∠BEM＝∠BME＝45°.∴△BME，△DNF，△CEF，△AMN是等腰直角三角形．∴CE＝CF，BE＝BM，DN＝DF，AN＝AM.∴AM－AG＝AN－AD.∴GM＝DN＝DF＝HG.∴∠HMG＝45°.∴∠HME＝45°＋45°＝90°.在Rt△OHE中，OE2＋OH2＝EH2，(OB＋BE)2＋BG2＝EH2.∴(GH＋BE)2＋BG2＝EH2，即(GH＋BE)2＋(BM－GM)2＝EH2.又∵EH＝EF，DF＝GH＝GM，BE＝BM，∴(DF＋BE)2＋(BE－DF)2＝EF2，即2BE2＋2DF2＝EF2.
【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E 在边AC上，且∠DBE＝45°.设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系 式．
【问题再探】解：如答图3，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到 △BE′C′，连接E′D． 过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E′作 EG′⊥BC′，垂足为点G′.过点E′作E′F∥BA，过点D作DF∥BC交 AB于点H，E′F，DF交于点F.
由旋转的特征，得BE＝BE′，∠CBE＝∠C′BE′，
EG＝E′G′，BG＝BG′.∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°， ∴∠CBE＋∠DBA＝45°．
∴∠C′BE′＋∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°.
在△EBD和△E′BD中，BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′，BD＝BD，
∴△EBD≌△E′BD(SAS)．∴DE＝DE′.
又∵AD＝x，CE＝y，∴DE′＝DE＝5－x－y.
∵DF∥BC，∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°.∴△AHD∽△ABC．