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中考数学二轮复习重难点突破课件：专题5 “倍半角”模型解决旋转变换问题
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这是一份中考数学二轮复习重难点突破课件：专题5 “倍半角”模型解决旋转变换问题，共33页。
一、 知识储备模型1 90°含45°半角模型1. 等腰直角三角形中的角含半角模型（1） 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2.
（2） 如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2.
（3） 如图③，当△ABC为任意等腰三角形时，亦可以进行这两种方法的操作处理.
2. 正方形中的角含半角模型（1） 如图④，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，AE，AF，且∠EAF＝45°，过点A作AG⊥EF于点G，则EF＝BE＋DF，AG＝AD.
（2） 如图⑤，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，连接EF，AE，AF，∠EAF＝45°，则EF＝DF－BE.
模型2 120°含60°半角模型1. 有一个内角是120°的菱形中的半角模型如图⑦，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点P在边BC上，点Q在边CD上，且∠PAQ＝60°，则△APQ是等边三角形.图⑧是证明用图.
2. 等边三角形中的半角模型如图⑨，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，则EF＝BE＋CF.图⑩是证明用图.
例1 小明、小亮在共同学习的过程中经常会遇到一类几何问题：两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，他们称之为“半角问题”.常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.
（1） 如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，探究线段EF，AE，FC之间的数量关系.小明的探究思路如下：如图①，延长BC到点M，使CM＝AE，连接DM，先证明△ADE≌△CDM，再证明△DEF≌△DMF.小亮发现△CDM可以由△ADE经过一种图形变换得到，该变换过程为： （不需要证明）.
解：（1） △CDM可以由△ADE绕点D按逆时针方向旋转90°得到.
例2 【探究】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法如下：如图①，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，DF之间的数量关系，他的结论应是 【 探.
像上面这样有公共顶点，锐角的度数为较大角度数的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型.
【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心与两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离是 168 海里.
1. 如图，等边三角形ABC的边长为6，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 12 .
2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积为 25 .
解析：如图，把Rt△DEA绕点D按逆时针方向旋转90°，得到Rt△DE'C.∴ ∠A＝∠DCE'，∠E'＝∠AED＝90°.∵ 在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∴ ∠A＋∠DCB＝180°.∴ ∠DCE'＋∠DCB＝180°，即点B，C，E'在同一条直线上.∵ ∠DEB＝∠E'＝∠B＝90°， ∴ 四边形DEBE'是矩形.∴ S矩形DEBE'＝DE·BE＝5×5＝25.∵ S矩形DEBE'＝S四边形DEBC＋S△DE'C＝S四边形DEBC＋S△DEA，∴ S四边形ABCD＝S矩形DEBE'＝25.
3. （2022·绥化三模）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H.
（1） 如图①，当BM＝DN时，AH与AB之间的数量关系为 AH＝AB .
（2） 如图②，当BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB之间的数量关系还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请证明.
（3） 如图③，∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长.
解：（3） 如图②，分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△AMB和△AND.∴ BM＝2，DN＝3，AB＝AH＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分别延长BM和DN交于点C，易得四边形ABCD是正方形.∴ AH＝AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°.设AH＝x，则MC＝x－2，NC＝x－3.在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2.∴ （2＋3）2＝（x－2）2＋（x－3）2，解得x1＝6，x2＝－1（不合题意，舍去）.∴ AH＝6.
4. 在△ABC中，AB＝AC，D，E是边BC上的点，连接AD，AE，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E.
（1） 如图①，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；
（2） 如图②，当DE＝D'E时，请写出∠DAE与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
一、 知识储备模型1 90°含45°半角模型1. 等腰直角三角形中的角含半角模型（1） 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2.
（2） 如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2.
（3） 如图③，当△ABC为任意等腰三角形时，亦可以进行这两种方法的操作处理.
2. 正方形中的角含半角模型（1） 如图④，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，AE，AF，且∠EAF＝45°，过点A作AG⊥EF于点G，则EF＝BE＋DF，AG＝AD.
（2） 如图⑤，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，连接EF，AE，AF，∠EAF＝45°，则EF＝DF－BE.
模型2 120°含60°半角模型1. 有一个内角是120°的菱形中的半角模型如图⑦，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点P在边BC上，点Q在边CD上，且∠PAQ＝60°，则△APQ是等边三角形.图⑧是证明用图.
2. 等边三角形中的半角模型如图⑨，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，则EF＝BE＋CF.图⑩是证明用图.
例1 小明、小亮在共同学习的过程中经常会遇到一类几何问题：两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，他们称之为“半角问题”.常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.
（1） 如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，探究线段EF，AE，FC之间的数量关系.小明的探究思路如下：如图①，延长BC到点M，使CM＝AE，连接DM，先证明△ADE≌△CDM，再证明△DEF≌△DMF.小亮发现△CDM可以由△ADE经过一种图形变换得到，该变换过程为： （不需要证明）.
解：（1） △CDM可以由△ADE绕点D按逆时针方向旋转90°得到.
例2 【探究】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法如下：如图①，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，DF之间的数量关系，他的结论应是 【 探.
像上面这样有公共顶点，锐角的度数为较大角度数的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型.
【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心与两舰艇之间的夹角为70°，此时两舰艇之间的距离是 168 海里.
1. 如图，等边三角形ABC的边长为6，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 12 .
2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积为 25 .
解析：如图，把Rt△DEA绕点D按逆时针方向旋转90°，得到Rt△DE'C.∴ ∠A＝∠DCE'，∠E'＝∠AED＝90°.∵ 在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∴ ∠A＋∠DCB＝180°.∴ ∠DCE'＋∠DCB＝180°，即点B，C，E'在同一条直线上.∵ ∠DEB＝∠E'＝∠B＝90°， ∴ 四边形DEBE'是矩形.∴ S矩形DEBE'＝DE·BE＝5×5＝25.∵ S矩形DEBE'＝S四边形DEBC＋S△DE'C＝S四边形DEBC＋S△DEA，∴ S四边形ABCD＝S矩形DEBE'＝25.
3. （2022·绥化三模）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H.
（1） 如图①，当BM＝DN时，AH与AB之间的数量关系为 AH＝AB .
（2） 如图②，当BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB之间的数量关系还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请证明.
（3） 如图③，∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长.
解：（3） 如图②，分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△AMB和△AND.∴ BM＝2，DN＝3，AB＝AH＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分别延长BM和DN交于点C，易得四边形ABCD是正方形.∴ AH＝AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°.设AH＝x，则MC＝x－2，NC＝x－3.在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2.∴ （2＋3）2＝（x－2）2＋（x－3）2，解得x1＝6，x2＝－1（不合题意，舍去）.∴ AH＝6.
4. 在△ABC中，AB＝AC，D，E是边BC上的点，连接AD，AE，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E.
（1） 如图①，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；
（2） 如图②，当DE＝D'E时，请写出∠DAE与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
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