上海市奉贤区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题（附解析）

这是一份上海市奉贤区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合， 则________
【正确答案】
【分析】根据交集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故
2. 不等式的解集是___________.
【正确答案】
【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.
【详解】,
,
解得，
所以不等式的解集为.
故
3. 已知，（其中为虚数单位），则________.
【正确答案】##
【分析】由共轭复数的概念及复数的加法求即可.
【详解】由题设，.
故
4. 已知二项式展开式中，项的系数为80，则______.
【正确答案】2
【分析】根据二项展开式的通项公式，将项的系数表达式求出等于 ，
再求解关于的方程即可．
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
则项的系数，解得；
故．
5. 已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是______.
【正确答案】2
【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差.
【详解】∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，
∴，解得m=10，
∴这组数据的方差S2= [（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2.
故2
本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用.
6. 若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______．
【正确答案】189
【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得.
【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得.
故189
7. 某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东方向，与A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海里到达C处，这时灯塔B与船相距____海里．（精确到0.1海里）
【正确答案】4.2
【详解】由余弦定理得灯塔B与船相距
8. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为________.
【正确答案】
【分析】由函数为偶函数求出，再解不等式即可.
【详解】由函数（x∈R）为偶函数，
则，即，
解得，
此时，
因为，
所以函数fx是偶函数，符合题意，
由即，即，
解得且，
所以不等式的解集为.
故
9. 在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则______.
【正确答案】
【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简, 由的范围特殊角的三角函数值求出，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值.
【详解】由可得
在中，由正弦定理得：
由得，
由得
得
∴由余弦定理得
解得，
故答案为.
10. 双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________．
【正确答案】
【分析】根据的周长为，结合双曲线的定义，转化为，当三点共线时，周长l取得最小值求解.
【详解】设双曲线的左焦点为，又，
所以的周长为，
由双曲线的定义得，即，即，
当三点共线时，周长l取得最小值，此时，
所以，解得，所以.
故
关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，理解三点共线时两线段距离和取得最小值是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11. 已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_____________．
【正确答案】
【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定的最小值.
【详解】如下图所示，设
且
点B在以F为圆心，DE为直径的圆上
又
当点B为圆F和线段FA的交点的时候，最短
故
12. 已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数x，都有，且当时， 恒成立， 若不等式恒成立， 则实数a的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数及函数的奇偶性求解不等式即可得答案.
【详解】由，得，
记，则有，即为偶函数，
又当时，恒成立，即在上单调递增，
由，得，
于是，即，
因此，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故
关键点点睛：变形给定等式，构造函数并探讨函数性质是求解不等式的关键.
二、选择题(本大题共4题， 第13、14题每题4分，第15、16题每题5分， 共18分)
13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
14. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据两直线平行列出方程，求出：或1，验证后均符合要求，从而得到“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
【详解】当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立，
若“直线与直线平行”，则满足，
解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立.
故选：A
15. 设{an}是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】C
【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，
D选项，故D错，
下面针对C进行研究，{an}等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，
故选C.
考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.
16. 在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：
①对任意点P，均存在点Q，使得；
②存在点P，对任意的Q，均有，则（ ）
A. ①②均正确B. ①②均不正确
C. ①正确，②不正确D. ①不正确，②正确
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案.
【详解】设正方体的边长为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设，，，
①
，所以与不垂直，①错误
②
，令，解得.
所以对任意的，存在，使得，此时是的中点，②正确.
故选：D
三、解答题(本大题共5题， 共14+14+14+18+18=78分)
17. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.

（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成的角的大小.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
（2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角.
【小问1详解】
在三棱锥中，由为的中点，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
分别取的中点，连接，于是，
则是异面直线与所成的角或其补角，

由（1）知，，又，，
则，于是，
令，则，又，
则有，
，又平面，平面，
则，，，
由分别为的中点，得，
显然，即有，，则，
所以异面直线与所成角的大小.
18. 设，函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值．
【正确答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是；
（2）.
【分析】（1）根据题意利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式，化简得 ．再由三角函数的周期公式与正弦函数的单调区间公式加以计算，可得函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）根据 算出，从而得出．再利用同角三角函数的基本关系进行“弦化切”，可得所求分式的值．
【详解】（1）
，
所以，函数最小正周期为．
由，得，
所以函数的单调递增区间是．
（2）由题意，，，
所以，．
所以，．
本题考查型函数最小正周期和单调递增区间，以及同角三角函数的基本关系，属于中档题．
19. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【正确答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
20. 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值，
方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；
（2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；
（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标.
【详解】解：（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；
法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，，则，
∴，∴，设的中点，
∴，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，，则且，∴，
直线方程为，∴，，
又因为四边形为矩形，所以，则，
∴，解得：，即，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式.
21. 已知函数.
（1）当 时， 求的严格增区间;
（2）若恒成立，求a的值；
（3）对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）；
（2）1 （3）存在，3.
【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间.
（2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可.
（3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值.
【小问1详解】
当时，函数定义域为，求导得，
由，得，
所以的严格增区间为.
【小问2详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，不符合题意；
当时，由，得，，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以.
【小问3详解】
由（2）知当时，，即，
则恒成立，当且仅当时取等号，当，时，，
因此，
则，即，
当时，，
即当时，，
所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立，
则的最小值为3.
关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键.X
0
1
2
3
P