2024-2025学年内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗高二上册12月月考数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线l：的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°
C．135°D．150°
2．已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．3B．C．0或3D．0或
3．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
4．已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线的离心率为2，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9B．1C．1或9D．11或9
8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则C是焦点在轴上的椭圆B．若，则C是圆
C．若，则C是焦点在轴上的椭圆D．若，则C是两条平行于y轴的直线
10．已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．若，则的面积为
11．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率
C．的最大值是D．面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为
13．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，设线段的中点为M，且，则的面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为；
(2)焦点到准线的距离为.
16．已知直线，圆.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
(1)求证：面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)求点到平面的距离．
18．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求：
(1)动点P的轨迹C的方程；
(2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由.
19．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知，是双曲线上的两点，且线段AB的中点为，求直线AB的方程；
(3)设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为直线l：的斜率为-1，
即 ， ，
所以 ，
故选：C.
2．【正确答案】D
【详解】由题意可得，解得或，
故选：D
3．【正确答案】D
【详解】，则其圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点1,2在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或.
故选：D.
4．【正确答案】A
【详解】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A
5．【正确答案】D
【详解】因为离心率为2，故，故，
故渐近线方程为：，
故选：D.
6．【正确答案】A
【详解】在中，，所以，
又，所以PF2=2a3，
所以，即，整理得.
故选：A

7．【正确答案】A
【详解】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知，
所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为.
当且仅当在与抛物线的交点时取得等号.
故选：C.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则曲线，
所以C是圆，故B正确；
对于C，若，则，
所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误；
对于D，若，则，
所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由题可得，则，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为：，故B错误；
对于C，由题，由图结合双曲线定义可得，
则.
则，则，
得，故C正确；
对于D，因，则，
则，
得，则，故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】ACD
【详解】因为椭圆C的方程，故，
由椭圆的定义可知，故A正确；
离心率，故B错；
由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对；
因为，又，
当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值，
，故D对；
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为，
因为圆经过原点和点，则，解得，
故圆心坐标为，圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为.
13．【正确答案】2
【详解】由得，所以.
不妨设点在第一象限，则，故
∵，∴，
∴，即，
∴，
．
故2.
14．【正确答案】
【分析】
由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得，再用余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】
由题意可得，，.
因为分别是和的中点，所以，，根据椭圆定义，可得，又因为，所以，，所以，
，
故的面积是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)或或或.
【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，，
抛物线的标准方程为.
（2）由焦点到准线的距离为，可知.
所求抛物线的标准方程为或或或.
16．【正确答案】(1)或.
(2)
【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径.
直线，即.
因为直线与圆相切，则，解得或.
（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.
同样根据点到直线距离公式得.
化简得.
解得.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，
而，则，
所以平面与平面的夹角为.
（3）
因为底面，底面,
所以
底面是正方形，所以,
,平面,
所以平面,平面,
所以，所以在为直角三角形，
又由题知，所以在也为直角三角形，
故与相似，
则，
,，
而，所以，
所以是线段PB中靠近点P的三等分点，
由第（1）小问可知，，，，
因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点，
设平面的一个法向量为，
而，，
则有，令，则，，，
，，
设B点到平面的距离为，
则；
故B点到平面的距离为.
18．【正确答案】(1)；
(2)存在，或.
【详解】（1）设动点，
由题意，化简整理得，
故点P的轨迹C的方程是.
（2）直线斜率不存在时不合题意，
斜率存在时，设直线与曲线C的交点为，
由，得，，
则，，
，整理得，解得或（舍）.
经检验，符合题意，直线l的方程为，即或.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)离心率为或
【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
不妨设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，
解得，
则所求双曲线的标准方程为；
（2）不妨设,，,，
因为线段的中点为，
所以，，
因为，两点都在双曲线上，
所以，
可得，
即，
则，
所以直线的方程为，即，
联立，则，故直线与双曲线有两个交点，
从而可得直线方程为，即.
（3）由题可设直线的方程为，即，
由原点到直线的距离为得，即，
两边同时除以得，整理得，解得或，
故双曲线的离心率为或.