河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则( )
A.B.
C.D.
4．若直线与以，为端点的线段有公共点（含端点），则a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
5．已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则l与的位置关系是( )
A.B.
C.l与相交但不垂直D.或
6．若直线l与圆相切，且点到直线l的距离为3，则这样的直线的条数为( )
A.4B.3C.2D.1
7．已知圆C过点，，设圆心，则的最小值为( )
A.B.2C.D.4
8．已知椭圆的左、右焦点分别，，M是椭圆上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的焦距为6B.的周长为10
C.椭圆C的离心率为D.面积的最大值为
10．在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则与所成的角为
D.若，则
11．已知曲线，则下列说法正确的是( )
A.
B.曲线C关于直线对称
C.曲线C围成的封闭图形的面积不大于
D.曲线C围成的封闭图形的面积随m的增大而增大
三、填空题
12．若圆上存在两点关于直线对称，则a的值为____________.
13．已知点，，，则点A到直线的距离是____________.
14．过椭圆上一点P作圆的两条切线，切点为A，B，当最大时，点P的纵坐标为____________.
四、解答题
15．已知直线，圆.
(1)求与直线l平行且与圆C相切的直线方程；
(2)设直线，且与圆C相交于A，B两点，若，求直线的方程
16．设椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为B.
(1)若直线的倾斜角为，求椭圆C的离心率；
(2)若直线在y轴上的截距为1，且，求a，b.
17．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，点G在棱上，且.
(1)证明：，G，E，F四点共面
(2)设平面与棱的交点为H，求与平面所成角的正弦值
18．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度这个弧长就被称作两点的球面距离
(1)在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离
(2)如图1，在直角梯形中，，，，.现将沿边折起到P，如图2，使得点P在底面的射影H在上
①求点P到底面的距离；
②设棱锥的外接球为球O，求P，C两点在球O上的球面距离
参考数据：，.
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，，点P在线段上，点Q在线段上，且，设直线与交于点M.
(1)证明：当t变化时，点M始终在某个椭圆W上运动，并求出椭圆W的方程
(2)过点作直线与椭圆W交于S，T不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆W交于G，H不同的两点
①证明：为定值
②求面积的取值范围
参考答案
1．答案：D
解析：由题的斜率,
故倾斜角的正切值为-1,
又,故
故选：D
2．答案：C
解析：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，
解得.
故选：C.
3．答案：B
解析：由题意得：，
故选：B.
4．答案：C
解析：经过定点，
斜率为a，画出图形，如下：
其中，，
直线与以，为端点的线段有公共点（含端点），
则或，
即或.
故选：C
5．答案：D
解析：因为，，
所以，则，
又是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，
所以或.
故选：D.
6．答案：A
解析：圆可化为，
圆心为，半径为1，
因为直线l与圆相切，
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为或，
当直线l的方程为时，点到直线l的距离为4，不满足题意；
当直线l的方程为时，点到直线l的距离为2，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
则有，
即，
即，
解得或，
当时，有，
解得或；
当时，有，
整理得，
此时，即方程有两个解，
且不为或；
综上，k的取值有四种情况，对应的b也有四种取值，
所以满足条件的直线一共有四条
故选：A.
7．答案：B
解析：根据题意，得，
又，，，
所以，化简得，
故，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为，
不妨设，则，
由椭圆的定义与对称性可得，
，，
因为，所以，
则，解得，
则，故，
则在中，
由，
得，
解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：C.
9．答案：BD
解析：对于A，因为椭圆，
所以，，
所以椭圆C的焦距为，故A错误；
对于B，由椭圆的定义可知，
所以的周长为，故B正确；
对于C，椭圆C的离心率为，故C错误；
对于D，当点P为椭圆的短轴的一个端点时，点P到x轴的距离最大，
此时面积取得最大值，
为，故D正确
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：如图，取中点O，过O作且，
连接，则平面.
因为为正三角形，所以，，
因为，所以，所以，
所以二面角的平面角为，则.
以，，为基底向量，则，.
对于A项，若，即，
所以.
因为，
所以，
，故A正确；
对于B项，由A知，
所以，
所以，所以，
解得，所以，故B正确；
对于C项，若，即，所以.
由A知，又，
所以
，，
设与所成的角为，
则，
所以与所成的角不是，故C错误；
对于D项，若，
即，所以，
又，，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
则，，三线两两垂直，建立如图坐标系
则，，，，
则根据三角形重心坐标公式得，
所以，
所以，故D正确
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为曲线，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为曲线，可化为，
设点是曲线C上任一点，则其关于对称的点为，
将代入曲线C方程，
得，
所以曲线C关于直线对称，故B正确；
对于CD，因为，所以，则，
设点是曲线上任一点，则，
点是曲线上的一点，则，
则，，故，
易知当时，在其定义域内单调递减，
所以（当且仅当或时，等号成立），
故，
又在上单调递增，所以，
故当m增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，
由曲线C围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，
即曲线C围成的封闭图形的面积随m的增大而增大，故D正确，
又当时，曲线C为，即其图形是半径为1的圆，
此时其面积为，
则曲线C围成的封闭图形的面积不小于，故C错误
故选：ABD.
12．答案：2
解析：圆的圆心为圆心，半径为2，
圆上存在两点关于直线对称，则圆心在直线上，
所以，解得.
故答案为：2.
13．答案：
解析：因为点，，，
所以，，
则，，
所以点A到直线的距离是
.
故答案为：.
14．答案：
解析：圆的圆心，半径，
由，切圆C于点A，B知，，
则，
因此最大，当且仅当最大，
设，，
则，
当且仅当时取等号，
所以点P的纵坐标为.
故答案为：
15．答案：(1)或；
(2)或
解析：(1)依题意，设所求直线方程为，
因为所求直线与圆相切，
且圆心为，半径为，
，
解得或，
所求直线方程为或；
(2)依题意，设直线的方程为，
因为直线与圆C相交于A，B两点，，
圆心到直线的距离为，
，
解得或，
直线的方程为或.
16．答案：(1)
(2)，
解析：(1)依题意，设椭圆的半焦距为c，
则，
则由题意可知，点A在第二象限，设，
将代入，
得，解得，则，
因为直线的倾斜角为，
所以，则，则，
所以，即，则，
即，
解得或（舍去），
所以椭圆C的离心率为.
(2)记直线与y轴的交点为，
易知，且，故，
则，，
因为，
所以，则，
即是与B的中点，所以，
将代入椭圆方程，得，
所以，解得，
故，即，
所以，.
17．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)在正方体中，
以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，
则，，
于是，
即向量，，共面，
又向量，，有公共点E，
所以，G，E，F四点共面
(2)设，则，
由点平面，
得，
即，
则，
解得，，
即，，
而，，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
令与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)①
②.
解析：(1)正四棱柱的外接球直径
，球半径，
因此球心与点A，B构成正三角形，
弦所对球过A，B的大圆圆心角为，弧长为，
所以顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离为.
(2)①在直角梯形中，，，
，，
，
，则为正三角形，
在棱锥中，平面，
而平面，则，
又，，，
平面，则平面，
而平面，因此，
，
在中，，
，，
所以点P到底面的距离为.
ER5取中点，则为外接圆圆心，
令正的外接圆圆心为，
连接，，，，
则，平面，平面，
于是，，
在中，，
因此棱锥的外接球半径R，
有，球O的弦所对大圆的圆心角为，
，
即是钝角，而，
则，
在大圆中所对劣弧长为，
所以P，C两点在球O上的球面距离为.
19．答案：(1)
(2)①证明见解析
②
解析：(1)设点，依题意可知，
即，
所以，
即；
同理可得.
于是直线的斜率为，
所以的直线方程为，
直线的方程为，即，
设直线与的交点M坐标为，
由
可得，
整理可得，
所以当t变化时，点M始终在椭圆上运动
(2)①证明：设直线的方程为，
联立，
消去x得，，
因为直线与椭圆W交于两点，，
所以，
即或，
由韦达定理可知，，
又，，
所以，
设直线的方程为，
直线与椭圆W交于两点，,
联立，
消去x得，，
同理可得：，
,
所以（定值）.
又当直线的方程为时，直线与直线重合不符合题意
故（定值）.
②因为，
又因为，
所以，
整理可得，
令，因为，所以，
所以，
又因为当时，，所以，
所以，
即面积的取值范围为.