2024-2025学年浙江省温州市九年级（上）期末数学练习试卷

这是一份2024-2025学年浙江省温州市九年级（上）期末数学练习试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
2．（3分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）
A．3.5mB．4mC．4.5mD．5m
4．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
5．（3分）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
A．B．C．D．2
6．（3分）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣0.2x2+0.8B．y＝﹣0.2x2﹣0.8
C．y＝0.2x2+0.8D．y＝﹣0.2x+0.4
7．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度为（ ）m．
A．6+2B．6C．10D．8
9．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH为（ ）
A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，
②a+b＜﹣c，
③4a﹣2b+c＞0，
④3b+2c＜0，
⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．
中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）为了估计鱼塘中鱼的数量，老张从鱼塘中捕捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘，过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现其中5条有记号，则鱼塘中总鱼数大约为 条．
12．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒．
13．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
14．（3分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 米．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（7分）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题．
（1）本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数．
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率．
18．（7分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A
（1）求证：△BDC∽△ABC．
（2）如果BC，AC＝3，求CD的长．
19．（7分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝16cm，底座长DE＝14cm，托板AB联结在支撑板顶端点C处，且CB＝7cm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动．如图2，若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°．（参考数值sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，）
（1）求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm）；
（2）求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）．
20．（7分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC•BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
22．（8分）【发现问题】
（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 ．
（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
②图2中∠AFB的度数是 ．
【探究拓展】
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴的一个交点是A（3，0），与y轴交于B点，点P在抛物线上．
（1）求a的值；
（2）过点P作x轴的垂线交直线AB于点E，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），PE＝l，求l关于m的函数表达式；
（3）当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标．
2024-2025学年浙江省温州市九年级（上）期末数学练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴1
1
，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（3分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【解答】解：从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学的情况作树状图如下：
∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键．
3．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）
A．3.5mB．4mC．4.5mD．5m
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，
∴AC＝AB+BC＝10m，
∴，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案．
【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，，
∴y3＞y1＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键．
5．（3分）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解．
【解答】解：连接CB，
设小正方形边长为1，
∴AB2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，CB2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，CB，AC＝5，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣0.2x2+0.8B．y＝﹣0.2x2﹣0.8
C．y＝0.2x2+0.8D．y＝﹣0.2x+0.4
【分析】由AB，OC的长，可得出点A，B，C的坐标，再利用待定系数法，即可求出图②中的抛物线的解析式．
【解答】解：设图②中的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵AB＝4，CO＝0.8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，0.8），
将A（﹣2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：，
∴图②中的抛物线的解析式为y＝﹣0.2x2+0.8．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及待定系数法求二次函数解析式，构造坐标系，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
7．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解．
【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，由题意可知，CD＝AB＝2m，AD＝BC＝2m，
∵∠BDC＝90°，
∴BC是直径，
∴（m），
∵四边形ABDC是矩形，
∴m，
∵CD＝2m，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，
∴改建后门洞的圆弧长是（m），
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
8．（3分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度为（ ）m．
A．6+2B．6C．10D．8
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BEPEx米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则xx＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（33）米．
在直角△BEQ中，QEBE（33）＝（3）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3（3）＝6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．
9．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH为（ ）
A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，再证明△MHG∽△NFE，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM，FE交于点O，则NF＝AB，MH＝BC，
∴∠ENF＝∠GMH＝90°，
∵EF⊥GH，
∴∠GHM+∠HOE＝∠EFN+∠FOM＝90°，
又∵∠HOE＝∠FOM，
∴∠GHM＝∠EFN，
∴△MHG∽△NFE，
∴EF：GH＝NF：HM＝AB：BC＝2：3．
故选：B．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：
①abc＞0，
②a+b＜﹣c，
③4a﹣2b+c＞0，
④3b+2c＜0，
⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．
中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据x＝1时，y＜0即可判断②；根据当x＝﹣2时，y＞0，即可判断③；由2a＝b，结合当x＝1时，a+b+c＜0即可判断④；根据x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c的值最大，即可判断⑤．
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴ab，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）为了估计鱼塘中鱼的数量，老张从鱼塘中捕捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘，过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现其中5条有记号，则鱼塘中总鱼数大约为 500 条．
【分析】首先求出有记号的5条鱼在50条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：由题意可得，
鱼塘中总鱼数大约为：50500，
故答案为：500．
【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
12．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 20 秒．
【分析】依据题意，先求出b得出函数关系式，然后依据飞机停下时，此时飞机滑行距离最远，进而求解．
【解答】解：由题意，∵，
又t＝10s，s＝450m，
∴450102+10b．
∴b＝60．
∴函数关系式为st2+60t．
又st2+60t（t2﹣40t+400）+600（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求得t＝20时函数取得最大值，是本题解题的关键．
13．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【分析】确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
【解答】解：∠BAE108°，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
14．（3分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 60 米．
【分析】利用锐角三角函数的定义，求出BD，CD的长，进一步求出BC的长即可．
【解答】解：由题意得：∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，
∴（米），
在Rt△ABD中，∠DAC＝60°，
∴（米），
∴BC＝BD+AD＝15+45＝60（米），
∴这栋高楼的高BC为60米，
故答案为：60．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有 ②⑤ ．
【分析】根据抛物线图象开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线，得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当x＝1时，函数有最大值a+b+c，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即，然后把b＝﹣2a代入计算，即可判定⑤．
【解答】解：∵抛物线图象开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵直线0，
∴ab＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵，
∴，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即，
∵b＝﹣2a，
∴，所以⑤正确，
综上所述，正确的有②⑤．
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，其中一定成立的是 ①②④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；
BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE6×8＝24，S△BEF•S△GBE24，④正确；
故答案为：①，②，④．
【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（7分）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题．
（1）本次被调查的学生有 100 名，请补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数．
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率．
【分析】（1）用选择“围棋”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“象棋”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
“象棋”的人数为100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（名）．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：18°．
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18．（7分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A
（1）求证：△BDC∽△ABC．
（2）如果BC，AC＝3，求CD的长．
【分析】（1）由相似三角形的判定定理即可得到△CBD∽△CAB；
（2）根据相似三角形的性质得到，代入可求得CD．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD＝2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．（7分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝16cm，底座长DE＝14cm，托板AB联结在支撑板顶端点C处，且CB＝7cm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动．如图2，若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°．（参考数值sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，）
（1）求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm）；
（2）求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）．
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CH；
（2）在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，即可求∠A，进而求出AF，即可求出点A到直线DE的距离．
【解答】解：（1）如图2，延长ED，过A作AG⊥DE的延长线于G，过点C作CH⊥DE于H，过点C作CF⊥AG，垂足为F，则四边形CFGH为矩形，
∴CH＝FG，CH∥FG，
在Rt△CDH中，sin∠CDH，
∴CH＝CD•sin∠CDH＝16813.8（cm）；
∴点C到直线DE的距离为13.8cm；
（2）在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠A＝∠BCH＝70°﹣30°＝40°，
AC＝AB﹣BC＝17﹣7＝10（cm），
∴AF＝AC•cs40°≈10×0.77≈7.7（cm），
∴AG＝AF+FG＝7.7+13.84＝21.54≈21.5（cm）．
答：点A到直线DE的距离约为21.5cm．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
20．（7分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 30 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）在y＝﹣20x+80中，令x＝25，进行计算即可得；
（2）根据总利润＝每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25得，y＝﹣2×25+80＝30，
故答案为：30；
（2）w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（3）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为200，
即单价定为30元时，利润最大是200元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC•BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
【分析】（1）由题意易得∠BCD+∠BAD＝180°，则有∠EAD＝∠BCD，进而可得∠EAD＝∠DAC，则∠BCD＝∠CBD，然后问题可求证；
（2）①由题意易证△DAF∽△DBC，则有∠ADF＝∠BDC，进而可得∠DFA＝∠DCB，再由相似三角形的判定得出△FBC∽△BCD，利用其性质即可证明；
②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得DO⊥BC且BG＝GC＝3，则有DG＝4+OD＝9，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出△AFD∽△BFC，利用其性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠DAB+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠BCD＝∠CBD，
∴DB＝DC，
∴△DBC是等腰三角形；
（2）①证明：∵DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA＝∠CBD＝∠BCD，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADF＝∠BDC，
∴∠DFA＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠FBC，
∴△FBC∽△BCD，
∴，
∴BC2＝BD•BF，
∵DB＝DC，
∴BC2＝DC•BF；
②解：⊙O的半径OB为5，BC＝6，如图，连接DO交BC于G，
∵BD＝DC，OB＝OC，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴DO⊥BC且BG＝GCBC6＝3，
在Rt△BOG中，OG＝4，
∴DG＝4+OD＝9，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：，
∵△FBC∽△BCD，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）【发现问题】
（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 AD＝BE ．
（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
②图2中∠AFB的度数是 60° ．
【探究拓展】
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE；
②由全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBF，即可解决问题．
（3）结论：∠AFB＝45°，ADBE．证明△ACD∽△BCE，可得，∠CBF＝∠CAF，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△CAB和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）如图2中，
①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠BFO＝∠ACO＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案为60°；
（2）结论：∠AFB＝45°，ADBE．
理由：如图3中，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBF＝∠CAF，
∴ADBE，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴的一个交点是A（3，0），与y轴交于B点，点P在抛物线上．
（1）求a的值；
（2）过点P作x轴的垂线交直线AB于点E，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），PE＝l，求l关于m的函数表达式；
（3）当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A代入函数关系式，进而求得结果；
（2）求出直线AB的解析式，表示出P和E点坐标，进而表示出PE；
（3）分为三种情形：当∠ABP＝90°时，根据特殊性可得出是抛物线的顶点；当∠BAP＝90°时，作PM⊥x轴于M，由PM＝AM列出方程，从而求得结果；当∠APB＝90°时，作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D，可得出△ADP∽△PEB，（t+1）（t﹣2）＝﹣1，进一步得出结果．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝0代入y＝ax2+2x+3得，
9a+6+3＝0，
∴a＝﹣1；
（2）由﹣x2+2x+3＝0得，
x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（m，﹣m+3），
∵P（m，﹣m2+2m+3），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m；
∴l＝﹣m2+3m；
（3）设点P（t，﹣t2+2t+3），
如图1，作PQ⊥y轴于Q，
∴∠PQB＝90°，
当∠ABP＝90°时，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴∠PBQ＝∠BPQ＝45°，
∴BQ＝PQ，
∴﹣t2+2t＝t，
∴t1＝0（舍去），t2＝1，
当t＝1时，﹣1+2×1+3＝4，
∴P（1，4），
如图2，作PM⊥x轴于M，
当∠ABP＝90°时，
同理可得，
PM＝AM，
∴t2﹣2t﹣3＝3﹣t，
∴t3＝3（舍去），t4＝﹣2，
∴当t＝﹣2时，﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
∴P（﹣2，﹣5），
如图3，当∠APB＝90°时，
点P在第一象限时，
作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D，
∴∠D＝∠PEB＝90°，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠EPB+∠APD＝90°，
∴∠EPB＝∠PAD，
∴△ADP∽△PEB，
∴，
∴，
t1，t2（舍），
当t时，﹣（）2+23，
∴P3（，）；
点P在第二象限时，
如图4，作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D，
∴∠D＝∠PEB＝90°，
同理得：，
∴
解得：t1（舍），t2，
当t时，y，
∴P（，），
综上所述：P（1，4）或（﹣2，﹣5）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
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1
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答案
D
B
D
D
B
A
C
A
B
C