2022-2023学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
2.抛物线y=x2−4x+3与y轴的交点坐标为( )
A. (3,0)B. (0,3)C. (1,0)D. (0,1)
3.已知ab=34，则a+bb=( )
A. 14B. 34C. 74D. 47
4.一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是( )
A. 19B. 13C. 59D. 23
5.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB=3，则DE的长为( )
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6
6.如图，一只松鼠先经过第一道门(A,B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
7.如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上.测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是( )
A. 25m
B. 26.5m
C. 50m
D. 51.5m
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8.将△ABC绕点A旋转至△ADE，使AD⊥BC，DE交边AC于点F，则AF的长是( )
A. 4
B. 245
C. 5
D. 6
9.已知二次函数y=x2−2x+c的图象经过点P(−1,y1)和Q(m,y2).若y1A. −1C. m<−1或m>3D. m<−1
10.如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为16，OP= 2，则DG的长是( )
A. 6 2
B. 2 14
C. 7
D. 4 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______ .
12.已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项是______.
13.若一段圆弧的度数是120∘，半径为6，则该圆弧的弧长是______ .
14.若抛物线y=x2−6x+c的顶点在x轴，则c=______ .
15.如图，在正六边形ABCDEF中，以点A为原点建立直角坐标系，边AB落在x轴上，若点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标是______ .
16.若方程ax2+bx+c=0的解是x1=−2，x2=5，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=______ .
17.如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J.若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是______ .
18.数学家菲尔贝特提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”.如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成60∘角.在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y.用直尺连结AB交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值.
(1)若x=75，y=50，则z的值是______ ；
(2)用x，y的代数式表示z，则z=______ .
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
某商场推出“幸运转盘”活动，转盘由红，黄，蓝三种颜色的扇形构成，它们的圆心角相等.两次自由转动转盘(指针在边界线上重转)，若两次指针落在的区域颜色相同，则享受优惠.
(1)请用列表法或树状图法，表示两次转动转盘后所有可能的结果.
(2)求享受优惠的概率.
20.(本小题6分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在图1中以线段AB为边画一个△ABD，使其与△ABC相似，但不全等．
(2)在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为8.
21.(本小题6分)
已知二次函数y=ax2+4ax+3a−1的图象开口向下.
(1)若点(m,−9)和(1,−9)是该图象上不同的两点，求m的值.
(2)当−4≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，求a的值.
22.(本小题8分)
马屿红糖闻名遐迩，是瑞安市名特产.某经销商将红糖加工成礼盒装出售，经调查统计发现，礼盒装每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元/盒)之间有如下关系：y=−10x+600.已知红糖礼盒装每盒的成本为20元，设该经销商每天所获利润为w(元).
(1)求w关于x的函数表达式.
(2)若礼盒装每天销量不少于220盒，且每盒利润不低于7元，求经销商每天获得的最大利润.
23.(本小题8分)
根据素材解决问题.
24.(本小题12分)
如图，在⊙O中，直径AB=10，弦BC=6，点D在BC的延长线上，线段AD
交⊙O于点E，过点E作EF//BC分别交⊙O，AB于点F，G，连结BF.
(1)求证：△ABD∽△FGB.
(2)当△FGB为等腰三角形时，求CD的长.
(3)当∠D=45∘时，求EG：FG的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP<5.
故选：D.
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d2.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2−4x+3，
∴当x=0时，y=3，
即抛物线y=x2−4x+3与y轴的交点坐标是(0,3)，
故选：B.
令x=0，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=x2−4x+3与y轴的交点坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴交点，就是求出当x=0时y的值．
3.【答案】C
【解析】解：由合比性质，得
a+bb=3+44=74，
故选：C.
根据合比性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用了合比性质：ab=cd⇒a+bb=c+dd.
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，从中任意摸出一个球是白球的概率=59.
故选：C.
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：某事件的概率=某事件所占有的结果数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：由题意△ABC∽△DEF，
∴ABDE=23，
∵AB=3，
∴DE=4.5.
故选：B.
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为16，
故选：D.
画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】B
【解析】解：由题意BF=AG=1.2m，BD=AH=20m，AB=FG=DH=1.5m，EF=3m，
∴EG=EF−FG=3−1.5=1.5(m)，
∵EG//CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴EGCH=AGAH，
∴1.5CH=1.220，
∴CH=25，
∴CD=DH+DH=25+1.5=26.5(m).
故选：B.
利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，
∴BC= AB2+AC2=10，
∵将△ABC绕点A旋转至△ADE，
∴∠E=∠C，∠DAE=∠BAC=90∘，DE=BC=10，
∵AD⊥BC，
∴AE//BC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠E=∠EAC，
∴AF=EF，
∵∠E+∠D=∠DAF+∠EAF=90∘，
∴∠D=∠DAF，
∴AF=DF，
∴AF=12DE=5，
故选：C.
根据勾股定理，旋转的性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+c，
∴图象的开口向上，对称轴为直线x=−−22×1=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，
∴点P(−1,y1)关于对称轴的对称点为(3,y1)，
∵二次函数y=x2−2x+c的图象经过点P(−1,y1)和Q(m,y2)，且y1∴m<−1或m>3，
故选：C.
先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：作OK⊥PC于K，设正方形PFGH的边长是x，
∵四边形PCDE是正方形，
∴∠CPD=45∘，
∵∠OKP=90∘，
∴△KOP是等腰直角三角形，
∴PK= 22OP=1，
∴CK=FK=x+1，
∴PC=CK+PK=x+2，
∵两个正方形的面积之和为16，
∴x2+(x+2)2=16，
∴x= 7−1或x=− 7−1(舍)，
∴PC=x+2= 7+1，PH=x= 7−1，
∴PD= 2PC= 14+ 2，PG= 2PH= 14− 2，
∴DG=PD+PG=2 14.
故选：B.
设正方形PFGH的边长是x，由条件得到x2+(x+2)2=16，从而求出正方形PFGH的边长，得到正方形PCDE的边长，进一步求出PD，PG的长，即可求出DG的长．
本题考查正方形的性质，垂径定理，关键是由条件列出关于小正方形边长的方程，求出小正方形边长．
11.【答案】12
【解析】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果，
∴朝上的面的点数为奇数的概率是36=12，
故答案为：12.
由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果，根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12.【答案】4
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴c2=ab=2×8，
即c2=16，
∴c=4(负数舍去).
故答案为：4.
设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，c2=ab，代入数据可直接求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．
13.【答案】4π
【解析】解：扇形的弧长=120π×6180=4π.
故答案为：4π.
把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，
即4c−364×1=0，解得c=9.
顶点在x轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解．
本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
15.【答案】(3, 3)
【解析】解：过C作CH⊥x轴于H，
在正六边形ABCDEF中，∵∠ABC=120∘，
∴∠CBH=60∘，
∵点B的坐标为(2,0)，
∴AB=BC=2，
∴BH=12BC=1，CH= 32BC= 3，
∴AH=2+1=3，
∴C(3, 3)，
故答案为：(3, 3).
过C作CH⊥x轴于H，根据正六边形的性质得到∠ABC=120∘，求得∠CBH=60∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，坐标与图形性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的解是x1=−2，x2=5，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(−2,0)和(5,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2+52=32，
故答案为：32.
根据一元二次方程的根和函数的对称性直接求出抛物线的对称轴．
本题考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，关键是对函数性质的应用．
17.【答案】2.8
【解析】解：延长AB、FH交于点I，
∵四边形ABCD是边长为6的菱形，
∴AB//CD，CD=6，∠A=∠C，
∴∠HFC=∠I，
∵AE=1.4，CF=2，
∴FD=CD−CF=4，
由折叠得GE=AE=1.4，FH=FD=4，∠A=∠G，
∴∠G=∠C，
∵EG//FH，
∴∠JEG=∠I，
∴∠JEG=∠HFC，
∴△JEG∽△HFC，
∴EJFH=GECF，
∴EJ=FH⋅GECF=4×1.42=2.8，
故答案为：2.8.
延长AB、FH交于点I，由菱形的性质得AB//CD，CD=6，∠A=∠C，则∠HFC=∠I，FD=CD−CF=4，由折叠得GE=AE=1.4，FH=FD=4，∠A=∠G，所以∠G=∠C，由EG//FH，得∠JEG=∠I，所以∠JEG=∠HFC，即可证明△JEG∽△HFC，根据相似三角形的对应边成比例求得EJ=2.8.
此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△JEG∽△HFC是解题的关键．
18.【答案】30xyx+y
【解析】解：在a上取点D，在b上取点E，使OD=OC=OE，连接CD，CE，如图：
∵a和c，b和c都相交成60∘角，
∴△COD，△COE都是等边三角形，∠AOB=120∘，
∴∠CEO=60∘，∠BAO=60∘−∠ABO，OD=OC=OE=z，
∴∠BCE=60∘−∠CBE=∠BAO，
∵∠ABO=∠CBE，
∴△ABO∽△CBE，
∴BEOB=CEOA，即y−zy=zx，
(1)当x=75，y=50时，
50−z50=z75，
解得z=30，
故答案为：30；
(2)由y−zy=zx得：z=xyx+y，
故答案为：xyx+y.
在a上取点D，在b上取点E，使OD=OC=OE，连接CD，CE，根据a和c，b和c都相交成60∘角，可得△COD，△COE都是等边三角形，∠AOB=120∘，即可证明△ABO∽△CBE，可得y−zy=zx，
(1)当x=75，y=50时，50−z50=z75，解得z=30；
(2)由y−zy=zx得：z=xyx+y.
本题考查列代数式，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
19.【答案】解：(1)列表得：
∴两次转动转盘后所有结果共有9种可能；
(2)由(1)可知，其中两次指针落在相同颜色区域的有3种结果，
∴享受优惠的概率的概率为39=13.
【解析】(1)运用列表法即可得出两次转动转盘后所有可能的结果；
(2)根据(1)中结果，找到两次指针落在相同颜色区域的结果数，再根据概率公式计算即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果；列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)如图，△ABD即为所求；
(2)如图，△EFG即为所求．

【解析】(1)根据相似三角形的判定方法利用数形结合的思想解决问题即可；
(2)画出直角边分别为2 2，4 2的直角三角形EFG即可．
本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∵y=ax2+4ax+3a−1=a(x2+4x+4−4)−4a+3a−1=a(x+2)2−a−1，
∴抛物线对称轴为直线x=−2，
∵点(m,−9)和(1,−9)是该图象上不同的两点，
∴m+12=−2，
∴m=−5；
(2)∵抛物线对称轴为直线x=−2，a<0，
∴当x=−2时，函数的最大值为−a−1，
当x=4时，y有最小值，最小值为16a+16a+3a−1=35a−1，
∵函数的最大值与最小值的差为6，
∴−a−1−(35a−1)=6，
解得a=−16.
【解析】(1)先根据抛物线解析式求出抛物线对称轴，然后根据再根据点(m,−9)和(1,−9)关于对称轴对称，求出m的值；
(2)根据函数的性质求出函数的最大值和最小值，再做差，求出a的值．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质．
22.【答案】解：(1)根据题意得：w=(x−20)⋅y=(x−20)⋅(−10x+600)=−10x2+800x−12000；
(2)∵礼盒装每天销量不少于220盒，
∴−10x+600≥220，解得x≤38，
又每盒利润不低于7元，
∴x−20≥7，解得x≥27，
∴27≤x≤38，
∵w=−10x2+800x−12000=−10(x−40)2+4000，
且−10<0，
∴在对称轴直线x=40左侧，w随x的增大而增大，
∴x=38时，w最大，最大值是−10×(38−40)2+4000=3960，
∴经销商每天获得的最大利润是3960元．
【解析】(1)每盒利润乘销售量即是经销商每天所获利润；
(2)根据礼盒装每天销量不少于220盒，且每盒利润不低于7元求出x的范围，再根据二次函数性质即可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列函数关系式．
23.【答案】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为r m，则OD=(r−4)m，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=8m，
∵OD2+AD2=OA2，
∴(r−4)2+82=r2，
∴r=10，
∴圆形拱桥的半径为10m.
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加(900−500 3)吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH//FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH.
∴EM=12EH=5，
∴OM= OE2−EM2=5 3m，
∵OD=6m，
∴DM=5 3−6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度y=3−(5 3−6)=(9−5 3)m.
∵y=1100x，
∴x=100(9−5 3)=(900−500 3)吨，
∴至少要增加(900−500 3)吨的货物才能通过．
【解析】任务1，设圆心为点 O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD=(r−4)m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵EF//BD，
∴∠AGE=∠ABD，∠AEC=∠D，
∴△AGE∽△ABD，
∵∠AEF=∠ABF，∠F=∠BAE，
∴△AGE∽△FGB，
∴△ABD∽△FGB；
(2)解：由①得，
△ABD∽△FGB，
∵△FGB是等腰三角形，
∴△ABD是等腰三角形，
如图1，
当AB=AD时，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴CD=BC=6，
如图2，
当AD=BD时，连接OD，AC，
∵OA=OB，
∴DO⊥AB，
∴∠BOD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠BOD，AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBO，
∴OBBC=BDAB，
∴56=BD10，
∴BD=253，
∴CD=BD−BC=253−6=73，
当BD=AB=10时，CD=BD−BC=10−6=4，
综上所述：CD=6或73或4；
(3)解：如图，
连接BE，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED=∠ABE=90∘，∠ACD=∠ACB=90∘，
∴CD=AC⋅tanD=AC=8，AD=ACsinD=8sin45∘=8 2，
∴BD=BC+CD=14，
∴DE=BD⋅csD=14⋅cs45∘=7 2，
∴AE=AD−DE=8 2−7 2= 2，
由(1)知，
△AGE∽△ABD，△ABD∽△FGB；
∴EGBD=AGAB=AEAD，BGBD=FGAB，
∴EG14=AG10= 28 2，
∴EG=74，AG=54，
∴BG=AB−AG=10−54=354，35414=FG10，
∴FG=254，
∴EGFG=725.
【解析】(1)可证明△AGE∽△ABD，△AGE∽△FGB，进而得出结论；
(2)可讨论△ABD是等腰三角形，分为BD=AB，AD=AB和AD=BD；当BD=AB=10时，易得CD=4，当AD=AB时，连接AC，可得CD=BC=6，当AD=BD时，连接OD，可证明△ABC∽△DBO，进而得出结果；
(3)连接BE和AC，可求得CD和AD，DE，AE，进而根据△AGE∽△ABD，求得EG和AG，BG的长，根据△ABD∽△FGB可求得FG，进而得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形三角形，勾股定理，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m.
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=1100x.
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
红
黄
蓝
红
(红，红)
(黄，红)
(蓝，红)
黄
(红，黄)
(黄，黄)
(蓝，黄)
蓝
(红，蓝)
(黄，蓝)
(蓝，蓝)