人教版数学九上同步单元讲练测第21章01讲（2份，原卷版+解析版）

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第二十一单元 一元二次方程考点1 一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念： 等号两边都是 式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数式 的方程 ；2．一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 ；3．一般形式：， 为二次项系数， 为一次项系数， 为常数项考点2 一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程2．基本解法（1）直接开平方法解法依据：平方根的定义．如果．．，那么，叫做的平方根，记作 ；适用方程：，；解法步骤：（2）配方法解法依据：完全平方式．．．；适用方程：全部一元二次方程；解法步骤：（3）公式法解法依据：求根公式．的根为；适用方程：全部一元二次方程；解法步骤：（4）因式分解法．解法依据：有理数乘法法则．若，则或；适用方程：等号一边为零，另一边能够分解因式的一元二次方程；解法步骤：考点3 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程 根的判别式：；2．判别式的值与根的情况方程有 的实根；方程有 的实根；方程 实根；考点4 一元二次方程根与系数的关系1．如果一元二次方程的两个实数根是，那么， ， ．2． 以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是考点5 一元二次方程的应用 增长率问题、“每每型”问题、几何面积问题、传播问题、循环问题等一元二次方程的概念（1）三个要点：（2）一般形式中系数的特点（3）一元二次方程的一些特殊解与系数的关系【例题】1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）A. 0 B. 2 C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. ±14. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（   ）A. B. 0 C. 1 D. 2【练经典】5. 下列方程中，一元二次方程共有（　　）① ② ③④ ⑤⑥A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个6. 若是关x的方程的解，则的值为___________．7. 若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（    ）A. B. C. x D. 18. 要使方程是关于的一元二次方程，则（ ）A. B. C. 且 D. 且且【练易错】易错点：忽略导致错误9. 关于x的方程是一元二次方程，则（    ）A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ）A. B. C. D. 或一元二次方程的解法（1）基本解法的选用（2）换元法解一些复杂的一元二次方程，常用到换元法，即对结构比较复杂的一元二次方程，若把其中含未知数的某些部分看成一个整体，用新未知数代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化． 【例题】11. 按要求解方程（1）（直接开平方法）；（2）（配方法）；（3）（公式法）（4）（因式分解法）（5）（换元法）12. 请用适当的方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）【练经典】13. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）A B. C. D. （2023·上海·统考中考真题）14. 在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）A. B. C. D. 15. 我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或16. 解方程（1）（2）（3）（4）（5）一元二次方程根的判别式（1） 一元二次方程判别式的值与根的情况；（2） 一元二次方程根的判别式的应用【例题】（2023·四川·统考中考真题）17. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法确定18. 已知关于x的方程，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②时，方程只有一个实数根；③且时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个19. 已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于0，求k取值范围．（2023·山东东营·统考中考真题）20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【练经典】21. 关于x的方程根的情况是（ ）A. 没有实数根 B. 有两个不相等实数根C. 有两个相等实数根 D. 只有一个实数根22. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6（2023·江苏徐州·统考中考真题）23. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______．24. 已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为任意实数，方程总有实数根．（2）若这个方程的根的判别式的值等于1，求的值．【练易错】易错点：忽略导致错误25. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____一元二次方程根与系数的关系（1） 两类方程中根与系数的关系（2） 以为根的一元二次方程为：；（3） 根与系数的关系的应用【例题】26. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．27. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．28. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程的一个根为，求方程的另一根和的值．（3）当时，若另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，求另一个方程．【练经典】（2023·山东·统考中考真题）29. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ）A. B. C. 3 D. 30. 关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（ ）A. 或0 B. 2或0 C. 2 D. 031. 以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是______ ．32. 已知关于x的方程有两实数根，，（1）若，求k的值．（2）是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【练易错】易错点：忽略导致错误33. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 一元二次方程的应用（1） 主要类型中的等量关系（2）一元二次方程的根有两个，需要检验根的合理性．【例题】 （2023·广西·统考中考真题）34. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 35. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A B. C. D. 36. 广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）A. B. C. D. 37. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？【练经典】（2023·湖南永州·统考中考真题）38. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 39. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=19640. 某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是______．41. 某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价元，超市平均每天可多售出件，若超市销售水壶平均每天要赢利元，每件水壶应降价多少元？新考法【新定义小练】42. 对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 043. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为___．44. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）若是倍根方程，求的值；（2）关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．45. 我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为，该方程的衍生点M为 ．（2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．【阅读探究类小练】46. 综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．（1）通过计算，判断以下方程是否是“邻根方程”：．（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．（3）若关于x的一元二次方程（a、b是常数，且）是“邻根方程”，令，求t的最大值．47. 阅读理解以下内容，解决问题：解方程：．解：，方程即为：，设，原方程转化为：解得，，，当时，即，，；当时，即，不成立．综上所述，原方程的解是，．以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；（2）仿照上述方法，解方程：．48. 阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；（2）已知，求的值（3）当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？49. 阅读下列材料：材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，.材料2：已知实数，满足，，且，求的值.解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根根据材料1，得，∴，.∴根据上述材料，解答下列问题：（1）若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________；（2）已知实数，满足，，且，求的值；（3）已知实数，分别满足，，且，求的值.步骤名称操作过程示例移项把二次项移到等号的左边，常数项移到等号的右边化二次项系数为1两边同时除以二次项系数直接开平方求平方根当时，写出方程的根化简二次根式，写出方程的两个根，步骤名称操作过程示例移项把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边化二次项系数为1两边同时除以二次项系数配方两边同时加上一次项系数一半的平方化成的形式等号左边分解因式，等号右边计算用直接开平方法解方程求平方根当时，写出方程的根化简二次根式，把常数项移到等号右边，并计算步骤名称操作过程示例整理为一般形式等号一边为零，另一边按未知数的降幂排开确定的值即找出二次项系数、一次项系数和常数项计算的值把的值代入中并求值代入求根公式当时，把和的值代入求根公式计算写出方程的根化简二次根式，能约分要约分； 步骤名称操作过程示例整理等号右边为零 分解因式等号左边分解因式转化为一元一次方程两个因式分别为零或写出方程的根解两个一元一次方程要点要点阐述一元只含有一个未知数二次未知数的最高次数是2方程整式方程系数名称系数符号系数范围二次项系数是非零实数，即一次项系数是全体实数常数项是全体实数特殊解系数的特征一个根为1一个根为一个根为0一元二次方程的特征选取的解法示例一次项系数为0直接开平方法常数项为0因式分解法二次项系数为1，一次项系数是绝对值较小的偶数，常数项是绝对值较大的数配方法等号两边能分解因式，且有公因式因式分解法等号一边为0，另一边能分解因式因式分解法含未知数的整式是平方式直接开平方法未知数的系数是二次根式公式法一元二次方程根的情况判别式的值的特征有两个不相等的实数根有两个相等的实数根有两个的实数根没有实数根应用类型解题方法不解方程，判断根的情况计算的值，根据判别式的值与0的大小来判断已知根的情况，求方程中参数的值或取值范围根据根的情况确定判别式的值与0的大小关系，利用建立参数的方程或不等式求解实际应用在实际问题中列出一元二次方程，利用根的判别式判定方程的解的情况，再判断实际问题中的事件是否能够发生一元二次方程根与系数的关系，，应用类型解题方法已知一元二次方程，求根的代数式的值根据根与系数的关系计算两根的和与两根的积，把代数式变形后再代入求值，有时也需要把两根代入方程得到两个等式来求解已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数根据根与系数的关系建立另一根和参数的方程组，解方程组已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程计算两根的和与两根的积，再根据写出方程实际应用根据根与系数的关系计算两根的和与两根的积，结合实际问题计算类型基本等量关系增长率（下降率）问题，分别为变化前、后的量，为增长率（或下降率）每每问题，为关联量，每降1，增加，每降后，的积为传播问题，每轮1人传人，2轮后共人