2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆：与双曲线：的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ）
A．B．C．D．2
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．8
7．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
8．若椭圆（）的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
10．若圆：与圆：的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．过点0,2作圆：的切线方程为
D．若实数，满足圆：，则的最大值为2
11．已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点Ax0,y0（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（）
A．双曲线的离心率为
B．直线的方程为
C．过点作，垂足为，为原点，则
D．四边形面积的最小值为6
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线：与直线：间的距离是 .
13．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 .
14．如图，半径为1的圆与轴和轴都相切.当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为.若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线过定点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．已知圆经过三点，，.
(1)求圆的方程；
(2)若过点D1,4的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
17．已知双曲线：的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求直线的方程；
(3)求的面积.
18．已知抛物线：，过点（）的直线与抛物线交于，两点，为原点，直线交抛物线的准线于点.
(1)若，求实数的值；
(2)是否存在正数，使得，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
19．已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由于，所以.
故选：D.
2．【正确答案】C
【详解】对圆进行配方可得：，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线经过圆心，
所以，解得，故圆心为，
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】当时，由直线与直线化简为：
直线与直线平行，这显然是成立的，
再当时，由直线与直线平行转化为：
直线与直线平行，
则，解得，
所以直线与直线平行的充要条件是或，
根据“”能推出“或”，反之，“或”不能推出“”，
所以“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】椭圆：中，设长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
则，，，所以椭圆的离心率，
所以双曲线的离心率，即，
所以双曲线渐近线方程为.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，
有，又F1,0，所以，
联立，得，
设，则，
由抛物线的定义，.
故选：B.

6．【正确答案】C
【详解】根据椭圆的定义，有，
又，
当且仅当时取等号，所以的最大值为4.
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为2，
由解得，
则直线与的交点为，
依题意，，解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：B
8．【正确答案】D
【详解】在中，令，则，
令，则或3，
故圆与坐标轴的公共点为1,0，，，
又椭圆的焦点在轴上，
①若椭圆的上顶点为，右焦点为1,0或，则，或3，
则或，离心率或；
②若椭圆的右顶点为，右焦点为1,0，则，，离心率.
综上所述，该椭圆的离心率为或或.
故选：D.
9．【正确答案】ABD
【详解】由椭圆标准方程可知当且时，
即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确；
由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确；
由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误；
根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确.
故选：ABD
10．【正确答案】ACD
【详解】圆：的圆心，
圆：的圆心，
两圆方程相减可得：，即公共弦所在直线方程为，故A正确；
线段中垂线即为直线，所以方程为：，
化简可得：，故B错；
点在圆：上，所以切线与圆心和切点的连线垂直，
切线斜率为：，故切线方程为，即，C正确.
令，则，代入得
，整理得，
方程有解，故，解得，
则的最大值为，D正确；
故选：ACD
11．【正确答案】AC
【详解】对于A，,故A正确；
对于B，设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得：
，
,化简整理得，
又因为，代入上式并化简得：，
因为
所以方程有两个相等的实根，解得，
所以直线的方程为,即，故B错误；
对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E，
则垂直平分,即为的中点，又是中点,
所以，故C正确;
对于D，由直线的方程为，令x=0,得,则，
，
当且仅当,即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为，故D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】/
【详解】因为直线：，即，直线：，
则两直线间的距离为.
故
13．【正确答案】6
【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，

过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故．
14．【正确答案】
【详解】依题意，圆，圆，圆，
，即圆和圆相离，它们有4条公切线，两条内公切线分别为和，
直线和都与圆相切，不符合题意；
由圆和圆是等圆，得圆和圆的两条外公切线都与直线平行，
由，得外公切线的斜率，设方程为，
于是，解得或，
当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相离，
当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相交，
所以直线的方程为.
故
15．【正确答案】(1)；
(2)或
【详解】（1），
所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2．
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
（2）直线过原点时，设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，因为直线l在两坐标轴截距相等，
所以设直线的方程为，即，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
16．【正确答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）设圆的方程为，
将，，代入得
，解得，
故圆的方程为；
（2），
故圆的圆心为，半径为2，
当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离，
，满足要求；
当直线的斜率存在时，设，
圆心到的距离，
由得，故，解得，
故直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)
(2)
(3)26
【详解】（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即，
依题意，结合，化简得，
又离心率，所以所以双曲线C的方程为.
（2）设，由题意得，
又，，两式相减得，
所以，
又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.
（3）联立，消去y得，
所以，
所以，
又点到直线l的距离，
所以的面积.

18．【正确答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意可知直线斜率不为，所以设，
联立，可得，
所以，，且恒成立，
因为，所以，所以，
所以，解得.
（2）连接，因为，所以，
所以，所以，所以，
又因为，抛物线准线方程，所以，且，
所以，
所以，所以，所以，
显然，所以，
综上所述，存在满足条件.

19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，，则有，解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
直线的方程为，即，
联立方程组，消去得，
因为，为直线与椭圆的交点，
所以，把换成得：，
所以，，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值.