2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列中，，则等于（ ）
A．13B．16C．15D．14
3．若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．项B．项C．k项D．1项
5．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A．B．
C．D．
6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前n项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．虚轴长为2
C．焦距为D．离心率为
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为
11．已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若则数列是等比数列
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．数列中的前n项和，则的通项公式为 ．
13．已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为 ．
14．已知实数满足，则的最小值为 ，
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
16．已知数列满足．
(1)证明：数列是等比数列：
(2)求数列的前n项和．
17．已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）．
18．已知数列的前n项和为，满足．
(1)求的通项公式：
(2)若，求数列的前n项和．
19．已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线．
答案
1．【正确答案】C
【详解】根据得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，即，
所以焦点坐标为，
故选：C.
2．【正确答案】D
【详解】由得，，故，
∴.
故选：D.
3．【正确答案】B
【详解】∵，∴，解得，
∵直线可化为，
∴与之间的距离为.
故选：B.
4．【正确答案】B
【详解】当时，不等式左边为，
当时，不等式左边为，
故增加的项数为.
故选：B.
5．【正确答案】C
【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案.
【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：
.
故选：C
6．【正确答案】D
【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到双曲线渐近线的距离为.
故选：D．
7．【正确答案】C
【详解】由等差数列性质得，，
由得，.
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】令，由，得，，

由双曲线定义，，
在中，，由余弦定理，
得，
整理得，解得，则，，
在中，由余弦定理，
得，整理得，则.
故选：A
9．【正确答案】ABD
【详解】由题意得，，实轴长为，虚轴长为，
由实轴长是虚轴长的3倍得，选项A，B正确.
由得，，故，焦距为，选项C错误.
离心率，选项D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】BC
【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足，
由直线与直线互相垂直，
可得，解得或，，则必要性不满足，
所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误；
对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足，
由直线与直线互相平行
可得，解得，则必要性满足，
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；
对于C，设直线的倾斜角，则，
又，所以，故C正确；
对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为；
若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上的截距为，
所以直线方程为，即；
所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误；
故选：BC
11．【正确答案】AC
【详解】A. 由得，，
∴
，选项A正确.
B.由得，，
，
∵，∴数列不是等比数列，选项B错误.
C. 由得，，且，
∴数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，
∴，∴，选项C正确.
D.由得，，即，
∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，
∴，∴，选项D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】因为①，
当时，，
当时，②，
①-②得，
经检验，当时，不成立，
所以.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由题意得，，故，根据椭圆的定义得.
在中，由余弦定理得，
即，可得，
∴的面积为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由得，，方程表示以为圆心，为半径的圆.
表示点与圆上一点连线的斜率，如图，当直线与圆相切于点时，取最小值，
设的方程为：，即，
根据圆心到直线的距离等于半径得，，
整理得，解得或（舍），
故的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)最小值为,
【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；
（2）求出，求出最小值及的值.
【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
（2）由(1)得，
所以当时，取得最小值，最小值为
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵，
∴，即，且，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，
∴，
∴
.
17．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）抛物线的焦点，
依题意，直线的斜率不为0，设直线，，
由消去得：，
显然，，，
，
当时，，
于是，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，，则，
因此对任意的实数，为定值，
所以无论θ如何变化，是定值.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
则，
化简得，
所以是以首项为，公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，则，
①，
②，
①②得
，
所以.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）依题意，，设，由，得，
则，即，
而，因此，
所以椭圆C的方程为.
（2）

由点，，得，则，
设，则，，
于是，即，
依题意，直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为，，
由消去得，
则，
由直线AM过点，得，即，解得，
同理得，则
整理得，因此，
即，
由M，N异于点A，得直线MN：不过点，即，
于是，即，
则直线MN的方程为，即恒过点，
因此P，M，N三点共线.