内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

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1.已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
2.甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则m的值为( _)
A.4B.-4C.-2D.2
【答案】D
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
5. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
6. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】D
7.已知圆C：上存在两个点到点的距离为，则m可能的值为（ ）
A． B．1C．5D．
【答案】A
8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，
则，而，因此，，
则，令与的半焦距为，
由，得，于是，解得，则，
，所以的渐近线方程为.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则
C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则PF的最小值是
D. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是-2
【答案】BC
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A 平面平面
B. 的最小值为
C. 若是的中点，则到平面的距离为
D. 若直线与所成角的余弦值为，则
【答案】ABC
11.已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为B.存在点，使得
C.若，则外接圆的面积为D.的最小值为
【答案】ACD
三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ．
【答案】2 10或15
13. 点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是 .
【分析】根据题意，由条件可得过点的切线斜率，即可得到直线方程，再由两平行直线间的距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得圆的圆心，半径为，
则，所以过的切线斜率为，
所以直线的方程为，即，
又直线与直线平行，所以，
则与之间的距离是.
故答案为：.
14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设Px0,y0，Mx1,y1,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可.
【详解】设Px0,y0，Mx1,y1,则，，
所以，，
因为，所以，所以，即.
又，
所以，即，解得，即椭圆的离心率为.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可.
（2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解.
【小问1详解】
由点，得线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，即圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，点，
当直线过原点时，直线在轴，轴上截距相等，此时直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
16.（15分）已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】
【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立；
（2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【小问1详解】
如图，取中点，连接，，
因为是中点，所以，
是菱形，则，所以，
又是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
【小问2详解】
，则和都是等边三角形，
连接，则，，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
因此有，，，，，
是中点，则，
，，，，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
易知平面的一个法向量是，则
，取，则，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。
（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。
（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。
【小问1详解】
记“乙至少有1个回答正确”为事件，
所以，
即乙至少有1个回答正确的概率是．
【小问2详解】
记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件
所以
，
即甲回答正确个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．
【小问3详解】
记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点
①若，求直线的方程；
②记的面积分别为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可；
（2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合Px0,y0在椭圆上，从而得到方程组，解出坐标即可得到直线方程；
②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值.
【小问1详解】
由题意知.
解得，所以的标准方程为.
【小问2详解】
①由(1)知，设，
所以，又，
所以，
解得，
所以，又，解得，
又点是上位于第一象限内的一点，所以，
所以，所以直线的方程为，
即；
②设，所以直线的方程为，
由，得，所以，
解得，
所以.
当时，直线的方程为，
由，得，
所以，解得，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
若轴时，令，解得（负舍），
则P1,22，此时，，
此时，
所以的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是解出点坐标，从而得到面积表达式，最后求出其最值即可.