2024-2025学年广西南宁市高二上学期11月其中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西南宁市高二上学期11月其中数学检测试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（ ）
A．1B．6C．7D．4
4．若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ）
A．B．C．D．
5．已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A．B．C．或1D．
6．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（ ）
A．18海里B．16海里C．14海里D．12海里
7．设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间向量，，，则（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影向量为
10．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．若直线平分圆的周长，则
D．圆与圆外切
11．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上恰有10个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量与的夹角为，，，则 ，
13．已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 .
14．已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为且.
(1)求的大小;
(2)求的面积.
16．已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等．
(1)求直线的倾斜角；
(2)若直线过点，求直线的方程；
(3)若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距．
17．某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）；
(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在内的概率.
18．如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面
(1)证明：平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.
19．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程.
(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.
（i）求的方程.
（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】解：因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“，”的否定为：，
故选：B
2．【正确答案】A
【详解】由可知集合中的元素是非负偶数，
所以可得，则中元素的个数为5.
故选：A
3．【正确答案】D
【详解】解：因为椭圆，所以椭圆长轴长为，
由椭圆定义知，所以.
故选：D
4．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，复数的虚部为，实部为，
所以，的虚部与实部之差为.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
因为角的终边不在坐标轴上，所以，
则，由二倍角余弦公式可得：
故选：A.
6．【正确答案】C
【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示.
依题意得海里，海里，.
在中，由余弦定理得，
所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里.
故选：C.
7．【正确答案】B
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可.
【详解】因为若在上单调递增，且，可得，
即，解得，即a的取值范围为.
故选.
8．【正确答案】B
【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.
对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.
对于C，，可得，不符合题意.
对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.
故选：B．
9．【正确答案】AC
【详解】，A正确；
，，，B错误；
由得，C正确；
在方向上的投影向量为，D错误.
故选：AC.
10．【正确答案】ABD
【详解】圆的半径为2，所以，A选项正确.
所以圆的方程为，圆心为，半径为，
，所以点在圆的外部，B选项正确.
直线平分圆的周长，则直线过圆心，
即，所以C选项错误.
圆的圆心为，半径为，
与的距离为，
所以圆与圆外切，D选项正确.
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【详解】由图可知，，，即，
又，则，故A正确；
此时，
又，且，则，故B正确；
此时，
当时，，
因为函数在上不单调，
所以在上不单调，故C错误；
当时，，
因为函数在上有10个零点，
所以在上恰有10个零点，故D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】 2
【详解】由题意得，
因为，所以.
故；
13．【正确答案】
【详解】由题意易得，则，
因为椭圆的离心率为，所以，则，
故的标准方程为.
故答案为.
14．【正确答案】144
【详解】因为，
又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，
则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，
且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，
可得，所以的最大值144.
故144.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理可得，因为，所以，
所以，
因为，所以.
（2）由题意可得的面积为.
16．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设直线，即，
则直线的斜率为，根据，
可求得倾斜角为；
（2）将点的坐标代入，可得，
所以直线的方程为；
（3）因为直线与直线垂直，所以可设，
因为点到直线的距离，
所以，
解得，
则直线在轴上的截距为.
17．【正确答案】(1)87分.
(2).
【详解】（1）由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为
分.
（2）因为测试成绩在和内的频率之比为2：1，
所以抽取的6人中测试成绩在内的有4人，记为a，b，c，d，
测试成绩在内的有2人，记为A，B.
从这6人中任选2人的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中这2人的测试成绩均在内的情况有6种，
故所求概率为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以
又因为平面ABCD，平面ABCD，所以
因为，且，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，
所以，，
又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，
以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，
故
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为
（3）若存在点P满足题意，则可设点，其中，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去)，
故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为
19．【正确答案】(1)；
(2)（i）；（ii）直线过定点
【详解】（1）因为圆心在直线上，设，
且点，均在圆上，则，
可得，解得，
即圆心为，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）（i）因为，由题意可得，
可知圆心的轨迹是以为圆心，半径的圆，
所以的方程为；
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，
联立方程，消去y可得，
则，且，
，
整理可得，
则
可得，即或，
当，直线过定点；
当，直线过定点，不合题意；
可知直线过定点；
若直线l的斜率不存在，设，
则，即，
且在圆上，则，
即，解得，不合题意；
综上，直线过定点.
【方法总结】
1.动直线l过定点问题．
解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点；
2.动曲线C过定点问题．
解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．