2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高二上学期11月考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高二上学期11月考试数学检测试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线与直线垂直，则（ ）
A．8B．8C．D．
2．已知数列满足：，则（ ）
A．3B．2C．D．23
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和Sn为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ）

A．B．
C．D．
8．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列10，7，4，…，则（ ）
A．该数列的通项公式为
B．是该数列的第13项
C．该数列的前5项和最大
D．设该数列为，则数列为等差数列
10．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
11．已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（ ）
A．双曲线C的离心率为B．
C．当P为C与的交点时，D．的最小值为1
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若与垂直，则 .
13．若圆与圆内切，则实数的值为 .
14．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C经过，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C经过点的切线方程．
16．（1）已知等比数列中，，，求数列的通项公式；
（2）已知数列的通项公式为，求数列的前n项和.
17．在六面体中，平面，，且底面为菱形.
(1)证明：平面.
(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.
18． 设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合. 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 过椭圆右焦点 的直线l与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程：
(2)已知直线斜率存在，若AB是椭圆经过原点的弦，且，求证： 为定值.
19． 已知数列满足：，.
(1)若，求证：为等差数列.
(2)求数列的前n项和.
(3)若，求数列的前n项和.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故选：A
2．【正确答案】A
【详解】由，，
则，解得，
由，解得.
故选：A.
3．【正确答案】D
【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以.
故选：D
4．【正确答案】C
【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
因为，，则，，，，
可得 ,
则，
则直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
6．【正确答案】A
【详解】椭圆得，，，
设，，则，
，，
，
，
，即．
故选：A．
7．【正确答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.
【详解】因为，即为的中点，所以，
因为，所以，
.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】
设抛物线的准线为，
过作于，过作于点，过作于，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，所以，
又由，可得，
所以，所以，
所以，
所以.
故选B.

9．【正确答案】ABD
【详解】依题意，所以，故A正确；
由，得，故B正确；
由，得，由，得，
所以该数列的前4项和最大，故C不正确；
而，则，
所以，
所以数列为等差数列，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】BC
【详解】
【分析】
利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】
解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
11．【正确答案】ACD
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为，
将点代入得，所以双曲线方程为，
得其离心率为，故A正确；
B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，
，所以，得，故B错误；
C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，解得，
又，在中，由余弦定理得，故C正确；
D：设，则，
所以，
当时，，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】由题意与垂直，
则，解得，
所以，则.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】，故圆心为，半径为3，
的圆心为，半径为1，
因为两圆内切，故，即，解得.
故
14．【正确答案】/
【详解】由题可得，，
从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的，
故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列，
则.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，因此圆C的圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，因此方程为，
所以圆C经过点的切线方程为或.
16．【正确答案】（1）；（2）
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意得，，解得，，
所以.
（2）因为，则，
所以，则数列为等差数列，首项为23，公差为，
设数列的前n项和为，
则，即，
因为当时，，当时，，
所以时，，
当时，.
所以.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以.
又平面ABCD，平面ABCD，所以.
因为，平面，
所以平面.
（2）由题意得，.
以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，.
所以，.
设平面的法向量为，
则，令，得.
易知平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点为，则，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，
因为直线的斜率存在，设，即，设，
由，得，则，
所以.
因为，所以，由，得，
解得，所以，即，
所以，
则，为定值.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：由，得，
则，即，又，
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2.
（2）由（1）知，数列为等差数列，首项为1，公差为2，
则，
又，所以，
则，
所以.
（3）由（2）知，，则，
则，①
则，②
①②得，，
则，
则.