2024-2025学年广西河池市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西河池市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知直线，则与的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知两个向量，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知直线平分圆的周长，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共1小题）
9．已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为B．当时，
C．若，则D．直线始终过定点
三、单选题（本大题共1小题）
10．如图，正方体的棱长为1，是上的中点，以下说法正确的是（ ）

A．的面积是定值B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值为D．平面的一个法向量是
四、多选题（本大题共1小题）
11．已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在4个点M，使得B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值D．的取值范围为
五、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为 ．
13．已知圆与直线相切，则 ．
14．双曲线的离心率为 ．
六、解答题（本大题共5小题）
15．已知的顶点分别为．
(1)求边的中线所在直线的方程；
(2)求边的垂直平分线所在直线的方程．
16．已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长以及三角形AOB面积．
17．如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
18．已知圆，圆．
(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；
(2)已知过点0,1的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
19．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：．
答案
1．【正确答案】C
【详解】解：由焦半径公式得：．
故选：C．
2．【正确答案】C
【详解】由题意得，与的距离，
故选：C
3．【正确答案】B
【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，所以，
又，则，
所以椭圆方程为，
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】因为，所以，解得，
所以.
故选：A.
5．【正确答案】A
【详解】由，可得圆心为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线过圆的圆心，则，解得．
故选：A
6．【正确答案】D
【详解】已知抛物线的准线为，
所以双曲线的一个焦点为，
所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
7．【正确答案】B
【详解】底面ABCD为等腰梯形，，
如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H，
以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则，
可得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
可得平面的一个法向量为，
设到平面的夹角为，
则，
可得，所以到平面的夹角余弦值为.
故选：B．
8．【正确答案】B
【详解】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线，
连接，，，，，则四边形为矩形，
所以，，

由双曲线可得，，
则，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以.
故选：B.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确；
对于B，等价于，解得，故B正确；
对于C，若，则且，故，故C错误；
对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】C
【详解】对A：在上且，
到AC的距离等于到AC的距离，则为定值1，
，故A选项错误；
对B：因为建立不同的空间直角坐标系，与同向的单位向量的表示方法会不同，所以B选项错误；
同理，D选项也不对.
如图所示建系，，

对C：，
，故C选项正确；
故选：C
11．【正确答案】AD
【详解】对于A中，由椭圆，可得，
由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点，
所以存在4个点M，使得，A选项正确；
对于B中，设，则，且，可得，
则为定值，所以B选项错误．
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误．
对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于，
如图所示，则，
因为，且，
可知，即，当与重合时，等号成立，
所以，
所以，所以D选项正确.
故选：AD．
12．【正确答案】1
【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，直线1的纵截距为1．
故1．
13．【正确答案】
【详解】由已知圆的标准方程为，
所以圆心为，半径为，
依题意，.
故答案为.
14．【正确答案】2或
【详解】当，,所以．
当，
故2或．
15．【正确答案】(1)
(2)．
【详解】（1）设中点的坐标为，则，，所以，
边的中线过点两点，
所以，
所以所在直线方程为，
即；
（2）因为的斜率，
所以的垂直平分线的斜率，
所以的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
16．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，则，由离心率，得，得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由消去得，解得，
则弦长；
原点O到直线l：距离为：，
所以三角形AOB面积：
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设与交点为，连接，则，所以平面，
所以，，三条直线两两互相垂直，
以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，
则，，，，，E0,0,1，
，，
设平面EAD的法向量为，
，可取，
又，则点C到平面EAD的距离：；
（2），，，，
设平面PBC的法向量为，
则，可取，
所以，
所以平面PBC与平面EAD夹角的余弦值为，
所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析，
(2)或．
【详解】（1）如图：
圆化成标准方程为，圆心，半径，
圆化成标准方程为，圆心，半径，
由，所以两圆相交，
两圆方程作差得．
即公共弦所在直线的方程为．
圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：，
所以公共弦长为.
（2）由题可知，设Ax1,y1，Bx2,y2，
①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线l方程为：，
将代入，得，
整理得，，，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
．
由可得，
化简得，即，解得或．
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）点到圆上点的最大距离为，
即，得，
故抛物线C的方程为．
（2）由题意可知，
设的方程为，，
联立方程，得，
易得，由根与系数的关系得，
，
所以
，
所以，
侧直线与直线的倾斜角互补，所以．