2024-2025学年广东省茂名市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省茂名市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为空间中不共面的四点，且，若四点共面，则实数t的值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，且，若能被13整除，则等于（ ）
A．0B．1C．11D．12
6．已知，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．4
7．若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图,点,分别是双曲线C:(,)的左、右焦点,M是C右支上的一点,与y轴交于点P,的内切圆在边上的切点为Q,若,则C的离心率为( )
A．B．3C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．函数的最小正周期是
C．若，则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
10．一个盒子中装有个黑球和个白球（均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
12．函数，下列说法正确的有（ ）
A．最小值为
B．
C．当时，方程无实根
D．当时，若的两根为，则
三、填空题
13．在3000和7000间有 个没有重复数字的5的倍数．
14．已知 ​， 则​
15．已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为 ．
16．若点P、Q分别在函数y＝ex和函数 y＝lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是 ．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求A的内角平分线的长．
18．（1）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，求在取到的零件是次品的前提下是第1台车床加工的概率.
（2）设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则，若受检人群中有0.5%患此病，即，求一个验血为阳性的人确患此病的概率
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的余弦值.
20．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21．已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
22．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若为正数，且存在使得，求的取值范围.
1．A
【分析】利用诱导公式可得，即可求值.
【详解】.
故选：A
2．D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得且，解得，则，
因此，.
故选：D.
3．C
【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得2，根据待定系数法即可.
【详解】∵四点共面
∴必存在唯一一组有序实数对使得，
∴，即
∵四点不共面
∴，否则三点共线，即四点共面，与题意不符，
∴，则有
，
故而，
∴.
故选：C.
4．C
【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，利用等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】当时，，
当时，，
故当时，，
因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即，
解得.
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，利用二项式定理推理计算作答.
【详解】
，
而是整数，是13的倍数，
即能被13整除，
因此能被13整除，而，即，所以，即.
故选：B
6．B
【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设，，则，，
，当且仅当，即，时，等号成立.
故选：B.
7．D
【分析】构造函数、，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.
【详解】令，则，
由于的正负不确定，所以的正负不确定，不能判断的单调性，故AC错误；
令，由，则，所以为R上的单调递减函数，
因为，所以，即，故B错误D正确；
故选：D.
8．D
【分析】利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义即可获解
【详解】
如图,设内切圆与的两外两个交点为R,S,则
所以,即
又PO垂直平分,所以
即,所以
又,所以离心率.
故选：D
9．ABD
【分析】A：根据负角的定义和象限角的范围进行判断即可；
B：根据正弦函数的周期性，结合绝对值的性质进行判断即可；
C：根据同角的三角函数关系式中的商关系进行求解判断即可；
D：利用弧长公式、扇形面积公式进行求解判断即可.
【详解】解：对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，故A正确；
对于B：因为函数的最小正周期是，
所以函数的最小正周期是，故B正确；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】将一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率；第一次取黑球，第二次取黑球的概率等一一列举出来，再利用条件概率公式即可作出判断.
【详解】第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率
第一次取黑球，第二次取黑球的概率；
第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A错误；
第一次取白球，第二次取黑球的概率；
第一次取白球，第二次取白球的概率；
第二次取得黑球的概率；
第二次取得白球的概率；
，故B正确；
；，
，故C正确；
；
故D错误.
故选:BC
11．BCD
【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，
，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，D正确．
故选：BCD．
本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．
12．BD
【分析】求出函数的导函数，即可得其单调性，画出函数图象，进而判断出ABC的正误．对于D，当时，若的两根为，则，即证，设，，构造函数，利用导数研究函数的单调性及其与最值即可得出结论．
【详解】解：，定义域，
，
或时，；当时．
和时，函数单调递减；，函数单调递增，
画出函数图象如下所示：
对于A．可得时，，因此函数无最小值；
对于B．，函数单调递增，， ，，因此B正确；
对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确；
对于D．因为，
当时，方程有两根为，
则有，故，
因为，
则要证，则只要证明即可，
即证，
即证，
不妨设，
则即证，
令，
只需证，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以，
因此当时，若的两根为，则，故D正确．
故选：BD．
13．392
【分析】由两个计数原理求解．
【详解】满足5的倍数的个位为0或5，
当个位是0时，千位有4种情况，共有种，
当个位是5时，千位有3种情况，共有种，
故共有个满足题意的数，
故392
14．##
【分析】先由的范围及的值确定的范围，再利用三角函数基本关系式中的平方关系求得，从而利用正弦的倍角求得.
【详解】因为​，所以​，又​，
因为在上单调递增，所以，
所以​是第一象限角，即​，
所以​，
所以​.
故
15．2或6.
【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆的圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
16．
【分析】利用两函数互为反函数，转化为直线到曲线的距离结合切线求解
【详解】因为函数与函数互为反函数，故函数与函数的图象关于直线对称，
两点间的最短距离是点到直线的最短距离的2倍，设曲线上斜率为1的切线为，，由得，即切点为，两点间的最短距离为
故答案为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式得到，进而求出单调递减区间；
（2）先求出，从而得到，由列出方程，求出的长.
【详解】（1）因为
所以，,
解得，,
所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，
故，
由题意知，，
所以，
即，
所以．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式及条件概率的计算公式求解作答.
（2）由条件概率的公式代入计算与，进而求出和，再利用公式求解作答.
【详解】（1）记为 “零件为第（）台车床加工”的事件，为 “任取一个零件为次品” 的事件，，
且两两互斥，，
，
所以
，
因此，
所以在取到的零件是次品的前提下是第1台车床加工的概率.
（2）由，得，
，又，
得，则，
所以验血阳性的人确患此病的概率为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可推出，利用中线的性质即可得解；
（2）证明，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可.
【详解】（1）取中点，连接，则，

又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，，所以四边形是正方形，
所以，即是等腰三角形，则，
所以，即，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，因为平面，所以，
又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得
（2）因为平面，平面，所以，又因为四边形是正方形，所以，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成的角的余弦值为.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算；
（2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理．
【详解】（1）因为数列是等比数列，则可得，解得
所以．
因为数列是等差数列，且，，则公差，
所以．
故，
（2）由（1）得：，
数列的前n项和为①
所以②
由①-②得：，
所以．
不等式恒成立，化为成立，
令且为递增数列，即转化为
当时，恒成立，取，所以．
当时，恒成立，取，，所以．
综上可得：实数的取值范围是．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）由点在双曲线上求参数，即可得双曲线方程，进而写出渐近线方程；
（2）设，由向量数量积的坐标表示得到，结合是双曲线上一点及，整理化简即可求值.
【详解】（1）由题意得，，解得.
所以双曲线方程为：，
于是其渐近线为或，即或.
（2）设，，因为，

所以，整理得.
因为点在双曲线上，所以，即，
所以.
22．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的正负及函数的单调性；
（2）由（1）可得函数，构造函数，及，求导可得函数单调性与的取值范围.
【详解】（1），（），
①当时，恒成立，即在上单调递增；
②当时，可知当，；当，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）因为，由（1）知的最小值为，
由题意得，即，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以时，，于是，即；
时，，于是，即；
故的取值范围为.
方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．