2024-2025学年广东省佛山市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省佛山市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ）
A. B. 出现的点数为6
C. 事件A与B互斥D. 事件A与B是对立事件
【正确答案】B
【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可．
【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为，
则出现的点数为，故B正确，A错误；
因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误，
故选：B．
2. 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A. ，共线B. ，共线
C. ，，共面D. ，，不共面
【正确答案】C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知，，，共面.
故选：C
3. 若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（ ）
A. B.
C. D. 与位置关系不确定
【正确答案】A
【分析】根据方向向量与法向量共线即可判断.
【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，
由于，所以直线与平面的法向量共线，所以．
故选：A．
4. 设，为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ）
A. 若，，，则，为相互独立事件
B. 若，，，则，为相互独立事件
C. 若，，，则，为相互独立事件
D. 若，，，则，为相互独立事件
【正确答案】D
【分析】根据对立事件概率的关系及相互独立事件概率的概率乘法公式逐项判断即可.
【详解】对A：由，，，
则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故A正确；
对B：由，由A可知，B正确；
对C：由，由，
，则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故C正确；
对D：由，，,
而，所以与不相互独立，则，也不相互独立，故D错误．
故选：D
5. 为空间的一个基底，且存在实数，，使得，则，，的值分别为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【正确答案】B
【分析】根据基底的定义、向量共面的充要条件，利用反证法运算分析即可得解.
【详解】解：假设，，中存在一个不为0的数，不妨设，
则由可得：，
∴由向量共面的充要条件知向量共面，
这与是空间的一个基底矛盾，故假设不真，
即，，中不存在一个不为0的数，
∴.
故选：B.
6. 设，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可.
【详解】解：因为，，，
所以，则，
所以.
又因为，且，
所以，则，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
7. 已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解.
【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，
，解得，
，
则．
故选：C．
8. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解．
【详解】取的中点，连接，
四边形为菱形，，
所以，
由于平面平面，且两平面交线为，，平面，
故平面，又四边形为正方形，
故以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为2，

则，
故，
则，
故直线，所成角的余弦值．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得部分分）.
9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果互斥，那么D. 如果互斥，那么
【正确答案】ABC
【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.
【详解】对于AB，由可得,
所以,故AB正确；
对于CD，由互斥可得，
所以,故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A B.
C. 的长为D.
【正确答案】BD
【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面与平交
C. 点到直线的距离为
D. 点到平面的距离为
【正确答案】BC
【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则有：，
，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
对A，∵，则，即与不共线，
∴与平面不垂直，A错误；
对B，∵，则与不共线，
∴平面与平交，故B正确；
对C：，
则，所以，
所以线段的长度即为点到直线的距离，
，
即点到直线的距离为，故C正确；
对D：，
点O到平面的距离为，故D错误.
故选：BC.
故选：BC.
方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
第II卷（非选择题92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为______.
【正确答案】
【分析】根据题意，将点代入直线方程，即可得到结果.
【详解】将代入，可得，解得，所以直线方程为，
设直线l的倾斜角为，则，且，则.
故
13. 如图所示，电路原件，，正常工作概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．
【正确答案】##0.4375
【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故
14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当________时，的长最小.
【正确答案】
【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果.
【详解】因为面面，又面面，
，面，
所以面，又，
如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
则，
又，则，得到，
同理可得，
所以，
又，所以当时，的长最小，最小值为.
故答案为.
思路点睛：立体几何中的距离问题，一般的思路是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.

（1）用，，表示；
（2）用，，表示
【正确答案】（1）
（2）
【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，
则.
16. 小欣和小敏打算利用节假日在内江游玩，其中4个景点分别是：“张大千纪念馆”､“重龙山”､“罗泉古镇”和“古宇湖”.他们各自在这4个景点中任意选择一个游览，每个被选择的可能性相同.
（1）小欣选择“罗泉古镇”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小欣和小敏恰好选择同一景点的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）小欣有4种选择，去罗泉古镇情况有1种，即可得到概率；
（2）画树状图得到所有可能出现的情况，计算两人都去同一景点的情况数，进而用古典概率公式计算即可.
【小问1详解】
在这四个景点中任选一个，每个被选中的可能性相同，
所以小欣选择“罗泉古镇”的概率是.
【小问2详解】
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小欣和小敏恰好选择同一景点的结果有4种，
则小欣和小敏恰好选择同一景点的概率概率为.
17. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【正确答案】（1）乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和．
（2）
【分析】（1）根据独立事件概率公式可得，，，即可求解，
（2）先分别求出有0个家庭回答正确的概率和有1个家庭回答正确的概率，利用对立事件概率计算公式能求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【小问1详解】
由于甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和．
【小问2详解】
有0个家庭回答正确的概率为：
，
有1个家庭回答正确的概率为：
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
18. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值．
【小问1详解】
连接，

在中，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
建立空间直角坐标系，

则，A2,0,0，，，，
因此，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以．
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，点为中点，证明见解析
【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
因为平面平面，平面平面，，平面,
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，，
所以，.
则，，,，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
【小问3详解】
线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.