2024-2025学年广东省茂名市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省茂名市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析），共11页。试卷主要包含了下列说法正确的是，记|X|为集合X中的元素个数．等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x2−2x2”是“2x−42x>3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若∃x1∈[2,3]，∀x2∈[2,3]，使得f(x1)⩾g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−113]B. (−∞,0]C. (−∞,13]D. (−∞,−4]
6.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=1，an=an−1+2an−2(n≥3)，则S9=( )
A. 341B. 340C. 61D. 60
7.若函数fx的定义域为R，其图象关于点2,2成中心对称，且f(x+1)是偶函数，则f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=( )
A. 2023B. −2023C. 4048D. −4048
8.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件A={2,4,6,8}，事件B={5,6,7,8}，若事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，P(BC)≠P(B)P(C)，则满足条件的事件C的个数为( )
A. 4B. 8C. 16D. 24
二、多选题：本题共3小题，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 复数z=3i−2i2的虚部为−2
B. 方程x2−4x+5=0的复数根为2±i
C. 若z=(1+i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10.已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)，且AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是( )
A. x+2y=1B. xy的最大值为19
C. x2+y2的最小值为15D. 1x+2y的最小值是9
11.已知函数f(x)=ex−x，g(x)=x−lnx，则下列说法正确的是( )
A. g(ex)在(0,+∞)上单调递增
B. ∀x>1，不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，则正实数a的最小值为2e
C. 若f(x)=t有两个零点x1，x2，则x1+x2>0
D. 若f(x1)=g(x2)=t(t>2)，且x2>x1>0，则lntx2−x1的最大值为1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x2−2ax+5,x≤1ax,x>1是R上的减函数，则a的取值范围为______．
13.设f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，并且f(x)−g(x)=x2−x，则f(x)的解析式是______．
14.已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，a,b=π3，且(c−a)·(c−b)=0，则b⋅c的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间(单位：分钟)，整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；
(2)从所抽查的每天体育锻炼时间在[10,20)，[60,70)内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinBc=sinB+sinCa−b．
(1)求A;
(2)若BC=3BD，AB⋅AD=0，|AD|=2，将△ABC沿AD折成直二角B′−AD−C，求直线AB′与平面B′CD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax(a∈R)的一个极值点为x=1．
(1)求a的值;
(2)若过点(3,m)可作曲线y=f(x)的三条不同的切线，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
在数列{an}中，a1=1，∀k∈N∗都有a2k−1，a2k，a2k+1成等差数列，且公差为2k．
(1)求a2，a3，a4，a5;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在x，使得∀k∈N∗，a2k+x，a2k+1+x，a2k+2+x成等比数列.若存在，求出x的值;若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知实数集X={x1,x2,⋯,xn}，定义：X⊗X={xixj|xi,xj∈X}(xi与xj可以相同).记|X|为集合X中的元素个数．
(1)若X={1,2,3,6}，请直接给出X⊗X和|X⊗X|;
(2)若x1，x2，⋯，xn均为正数，且|X⊗X|=300，求|X|的最小值;
(3)若|X|=11，求证：|X⊗X|≥17．
答案和解析
1.【正确答案】D M={x|03化为t2−3t−4>0，解得t>4或t4，解得x>2，所以“x>2”是“2x−42x>3”的充要条件．
5.【正确答案】A 因为f(x)=x+4x在[2,3]上单调递增，故f(x)max=f(3)=133，
因为g(x)=2x+a在[2,3]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=8+a，若∃x1∈[2,3]，∀x2∈[2,3]，使得f(x1)⩾g(x2)，则f(x1)max⩾g(x2)max，即133≥8+a，所以a≤−113．
6.【正确答案】A 因为an=an−1+2an−2(n≥3)，所以an+an−1=2an−1+2an−2=2(an−1+an−2)(n≥3)，因为a1=a2=1，所以a3=a1+2a2=3，a3+a2=4=2(a2+a1)，
所以数列{an+an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+an+1=2⋅2n−1=2n，
因为an=an−1+2an−2(n≥3)，所以an−2an−1=2an−2−an−1=−(an−1−2an−2)(n≥3)，
又a3−2a2=3−2=1，a2−2a1=1−2=−1，所以{an+1−2an}是首项为−1，公比为−1的等比数列，an+1−2an=−1⋅(−1)n−1=(−1)n，由an+1+an=2nan+1−2an=(−1)n，得an=2n−(−1)n3，S9=a1+a2+⋯+a9=2−(−1)3+22−(−1)23+⋯+29−(−1)93
=(2+22+⋯+29)−[(−1)+(−1)2+⋯+(−1)9]3
=13×[2(1−29)1−2−(−1)×[1−(−1)9]1−(−1)]=13(210−2+1)=341．
7.【正确答案】C 由fx+1是偶函数知，fx的图象关于直线x=1对称，f2−x=fx①，又fx的图象关于2,2中心对称，所以f4−x=−fx+4②，则f2+x=−f2−x+4③，由①②③可得，f4−x=f2+x=f−x，故函数f(x)的周期为4，
则f(2)=2，f(1)+f(3)=4，f(4)=f(0)=f(2)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，
则f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=2+505×8+6=4048．
8.【正确答案】C 由题意可得，P(A)=P(B)=12，因为A∩B={6,8}，若A∩B∩C={6,8}，则P(ABC)=14，此时由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)可得，P(C)=1，即C={1,2,3,4,5,6,7,8}，此时P(BC)=P(B)，与题意不符，所以A∩B∩C≠{6,8}，若A∩B∩C={6}，则C中元素不含8，且P(ABC)=18=P(A)P(B)P(C)=14P(C)，即P(C)=12，C中有4个元素，又因为P(B)P(C)=14=28，则B∩C的元素不能是2个，所以C中元素要么只含6或含5，6，7，
含6时，有C43=4种，含5，6，7时，C41=4种，此时满足事件的事件C的个数为8，
同理若A∩B∩C={8}，则C中元素不含6，此时满足事件的事件C的个数也为8，故总个数为：8+8=16个．
9.【正确答案】BD 对于A，z=3i−2i2=2+3i，虚部为3，A错误；对于B，x2−4x+5=0，则(x−2)2=−1，解得x=2±i，故B正确；对于C，z=(1+i)2=2i，则z−=−2i，复平面内z−对应的点(0,−2)在y轴负半轴上，故C错误；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确．故选：BD．
10.【正确答案】ACD 因为AP=xAB+yAC，所以AP=xAB+2yAD，
又B，P，D三点共线，所以x+2y=1，选项A正确；且x，y>0，1=x+2y≥22xy，当且仅当x=１2，y=１4时，等号成立，∴xy≤18，当且仅当x=１２，y=１４时，等号成立，选项 B错误；x2+y2=y2+(1−2y)2=5(y−25)2+15，当y=25时，有最小值15，故C选项正确；因为1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+22yx×2xy=9，当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时，等号成立，所以选项D正确．
11.【正确答案】ABD f(x)=ex−x，则f′x=ex−1，可知函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，对于A，g(ex)=ex−x=fx，由fx在x∈0,+∞上单调递增，可知g(ex)在(0,+∞)上单调递增，所以A正确；对于B，当x>1时，lnx2>0，
又a为正实数，所以ax>0，则不等式f(ax)⩾f(lnx2)即为ax⩾lnx2，即a⩾2ln xx对∀x>1恒成立，令φ(x)=2lnxx，知φ′(x)=2−2lnxx2，所以φ(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以φ(x)max=φ(e)=2e，则a⩾2e，所以B正确；对于C，fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，f(x)min=f(0)=1，所以t>1，不妨设x10，g(x)单调递增;分
当x∈(0,3)时，g′(x)0，g(x)单调递增，分
g(x)有3个零点，等价于g(0)>0,g(3)