2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
3．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．8D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
10．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．与的夹角为B．
C．D．
11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A．的最小值为0
B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C．当的重心在轴上时，的面积为
D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知过点和的直线与斜率为的直线平行，则的值为 ．
13．若圆与圆只有唯一的公共点，则 .
14．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为
（1）当取最小值时，求n的值；
（2）求出的通项公式.
16．已知圆．
(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；
(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．
17．如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点M在线段上，且,平面，求出M点的坐标.
18．已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围.
19．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？
（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.
答案
1．【正确答案】D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】由题可知，
故选：A
3．【正确答案】B
【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，
故选：B．
4．【正确答案】D
【详解】由已知得，
因为直线l的方向向量为，
所以点到直线l的距离为
故选：D
5．【正确答案】B
由题意和椭圆性质可得当时，；当时，.
解不等式后即可得解.
【详解】由，，可得：
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得.
故选：B.
6．【正确答案】A
【详解】解：依题意，设双曲线方程为，
因为，则，
显然圆O的半径为3，
又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
双曲线与圆O交于第一象限内的点为，
于是，解得，
所以双曲线的方程为.
故选：A
7．【正确答案】D
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由点在圆上或圆内即可构造不等式求得结果.
【详解】由得：，
由得：，即直线恒过定点，
当点在圆上或圆内时，直线与圆恒有公共点，
，即，又，，
即的取值范围为.
故选：D.
8．【正确答案】A
【详解】设直线与直线的两个交点为，且设，
则由题意可知，点关于点的对称点在上，
所以，解得，
所以，，
所以,
因为直线过点，，所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，即，
联立：，解得的交点坐标为，
所以到直线的距离为，
所以这三条直线围成的三角形面积为.
故选：A.
9．【正确答案】BCD
【分析】根据数列的定义即可判断A,根据通项公式即可求解项,可判断B,根据规律归纳数列的通项即可判断CD.
【详解】对于A,数列中的项与顺序有关，故数列，0，4与数列4，0，是两个不同的数列，故A错，
对于B,当时，，又是单调递增的数列，故110是该数列的第10项，故B正确，
对于C,数列的一个通项公式是，故第8个数是，故C正确，
对于D,数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为,故D正确，
故选：BCD
10．【正确答案】BD
【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又，
所以与的夹角为，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
，
，故B正确；
对于C，，，，
，，，
，
.故C错误；
对于D，，
.故D正确.
故选：BD.
11．【正确答案】AC
【详解】依题意可得，直线AB的方程为，
代入，消去得，解得，，
因为点在第一象限，所以，．
的准线方程为，设，

则，，
所以，故A正确．
当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，
即，且，解得，故B错误．
的重心坐标为，即，
当的重心在轴上时，，得，
的面积为，故C正确．
当，，三点共线时，，，，
所以，解得．
由A分析知，得为锐角或直角，
当为直角或为直角时，或，
所以，，
解得或，
当为钝角三角形时，且，
所以，，
解得且，
所以点的纵坐标的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】由题意可知，，解得．
故答案为.
13．【正确答案】或
【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，其中，
圆的圆心为，半径为，
由题意可知，两圆外切或内切，且，
若两圆外切，则，即，解得；
若两圆内切，则，即，解得.
综上所述，或.
故或.
14．【正确答案】
【详解】因为四棱柱的底面为菱形，底面，
所以，，又因为，
所以平面，所以，
故在上取点，使得，连接，则，，
在上取点，使得，
设与的交点为，连接，
在中，，，，
在中，，，，
所以，故，
所以，
故的边即为点的轨迹；
而，，，
则动点的轨迹长度为.
故
15．【正确答案】（1）或；（2）
（1）直接对进行配方，由可求出其最小值
（2）由求解的通项公式
【详解】解：（1），
因为，
所以当或时，取最小值，
（2）当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以
16．【正确答案】(1)x=−1或
(2)
【详解】（1）圆C的标准方程为:
因为,
所以点在圆外,
故过点A且与圆C相切的直线有2条，
①当直线的斜率不存在时,
圆心到直线的距离
所以直线与圆C相切.
(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即
所以圆心C到直线的距离,
由题意, 解得,
此时,即,
终上所述,直线的方程为x=−1或.
（2）设因为为DE的中点,
所以,
因为点E在圆C上，
所以,
即，
即，
所以点的轨迹是以为圆心, 32 为半径的圆,
所以的轨迹的长度为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
(3)
【详解】（1）因为平面，又平面,
所以.
因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面，
从而平面.
（2）因为是正方形，所以,
又平面，DA，DC都在平面内，
所以
所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，
如图所示.

因为与平面所成角为，即，
所以.
由，得,
所以，又，.
则，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则.
因为平面，所以为平面的法向量，.
所以.
所以所求角的余弦值为.
（3）点M是线段上一个动点，设.则.
因为平面，所以，即，解得.
此时，点坐标为，
即当时，平面.
18．【正确答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题意，
又，
椭圆C的方程为.
（2）为线段的中点，，
①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，
不妨设所在直线的方程为，得，
则；
②当直线的斜率存在时，设直线，
如下图所示：
由，消去y，得，
，即，
，
，
，
，
化简得，经检验，成立，
线段的中点，
当时，，此时，
当时，射线所在直线方程为，
与椭圆联立，消去y得，
，
，
，
综上，的取值范围为.
19．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设是线段上一点，表示出，根据二次函数性质，即可求出结果；
（2）因为表示在线段上时，线段长度的最大值不超过1，由此得到点集所表示的图形是一个正方形和两个半圆组成，进而可求出其面积；
（3）根据题意，得到两直线方程，确定直线之间关系，进而可得出结果.
【详解】（1）设是线段上一点，则
，，
因此，当时，；
（2）由题意，设的端点为，以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，
则点的集合由如下曲线围成：
；；；
，
其面积为：；
（3）因为，，，，，，
所以；；
因为到两条线段、距离相等的点的集合，根据两条直的方程可知，两条直线间的关系是平行，
所以得到两条线段距离相等的点是轴非负半轴，抛物线，直线，如图所示：
本题主要考查直线方程的应用，直线与直线位置关系，熟记直线的方程，直线与直线位置关系，以及二次函数性质即可，属于常考题型.