2024-2025学年广东省高二上册期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省高二上册期中联考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．3D．2
2．在正方体中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（ ）
A．18海里B．16海里C．14海里D．12海里
5．若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
7．已知点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．1D．
8．若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知圆：的半径为2，则（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
10．在空间直角坐标系中，已知，则（ ）
A．为质数
B．为直角三角形
C．与所成角的正弦值为
D．几何体的体积为
11．“曼哈顿距离”用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上的任意两点的曼哈顿距离.下列命题是真命题的是（ ）
A．若点，，则的值可能是
B．若点，，则在轴上存在点，使得
C．若点，，，则在线段上存在点，使得
D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线：与直线：平行，则 ，的倾斜角为 .
13．若直线：与：相交于点，，则 .
14．已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的面积.
16．已知圆：，直线过点.
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若与圆相切，求的方程；
(3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程.
17．如图，在三棱柱中，平面，，

(1)证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角.
18．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点.
(1)证明：平面PAB.
(2)证明.
(3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程.
(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.
（i）求的方程.
（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】根据题意可得直线的斜率.
故选：C．
2．【正确答案】B
【详解】.
故选：B
3．【正确答案】D
【详解】由题意可得直线的斜率为1，则直线的方程为，即.
故选：D
4．【正确答案】C
【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示.
依题意得海里，海里，.
在中，由余弦定理得，
所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】若方程表示一个圆，则，
方程可化为，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D
6．【正确答案】D
【详解】如图，设关于直线对称的点为，则
解得，则，
所以.
故选：D.

7．【正确答案】B
【详解】,
故点到直线的距离为,
故选：B
8．【正确答案】A
【详解】圆的圆心为，半径，
且圆心到直线的距离，
由题意可知：，则，
即，解得或，
所以m的取值范围为.
故选：A.
9．【正确答案】ABC
【详解】根据题意可得，所以，A正确.
圆：，因为，所以点1,4在圆的外部，B正确.
圆的圆心为，半径为8，因为，
所以圆与圆外切，C正确.
圆的圆心坐标为，半径为2，若直线平分圆的周长，则直线过点，则，得，D错误.
故选：ABC．
10．【正确答案】BCD
【详解】对于选项A：因为，
所以不是质数，A错误；
对于选项B：因为，则，
所以为直角三角形，B正确；
对于选项C：因为，
所以与所成角的正弦值为，C正确；
对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，
且与该三棱台的底面垂直，，
所以几何体的体积为，D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】BD
【详解】对于A，，不可能为，A错误；
对于B，设，则，
（当且仅当时取等号），
，在轴上存在点，使得，B正确；
对于C，当点与点不重合时，作，垂足为，则，
，
直线斜率，，即，，
；
当点与点或点重合时，；
恒成立，C错误；
对于D，若点，点，则满足点在圆上，点在直线上，
此时，D正确.
故选：BD.
12．【正确答案】
【详解】根据题意可得，解得，
经验证，符合题意，则的斜率为1，故的倾斜角为.
故；．
13．【正确答案】
【详解】因为圆心到的距离为，
所以.
故
14．【正确答案】144
【详解】因为，
又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，
则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，
且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，
可得，所以的最大值144.
故144.
15．【正确答案】(1)7；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，因为，所以，
根据余弦定理得.
（2）根据正弦定理，得，则，，
故.
（3）的面积.
16．【正确答案】(1)或.
(2)
(3)或.
【详解】（1）若经过原点，设方程为，由得，则的方程为.
若不经过原点，则可设的方程为，
因为过点，所以，解得，
所以的方程为，即.
故的方程为或.
（2）由圆：，可得圆心，半径为2.
因为点在圆上，轴，所以直线的方程为.
（3）因为为直角三角形，且，所以，
则圆心到的距离为.
由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即.
由，解得或，
故的方程为或.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为，所以.
在菱形中，.
因为，
所以平面.
（2）如图，取的中点，连接，.取的中点.连接.
因为平面，所以，
易得为等边三角形.所以.
因为，所以平面.
以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，B1,0,0，，，.
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得.
由（1）知平面的一个法向量为，
因为，所以平面与平面的夹角为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在；答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面PAB.
（2）
作交于，
因为，所以，又，所以，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，即，所以，
又E为AD的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以，所以，
又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，
所以平面，
平面，所以.
（3）设存在，
作交与，
由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，
，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设直线CM与平面PBC所成角的为，
则，
解得，所以在线段PE上存在点，此时.
19．【正确答案】(1)；
(2)（i）；（ii）直线过定点
【详解】（1）因为圆心在直线上，设，
且点，均在圆上，则，
可得，解得，
即圆心为，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）（i）因为，由题意可得，
可知圆心的轨迹是以为圆心，半径的圆，
所以的方程为；
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，
联立方程，消去y可得，
则，且，
，
整理可得，
则
可得，即或，
当，直线过定点；
当，直线过定点，不合题意；
可知直线过定点；
若直线l的斜率不存在，设，
则，即，
且在圆上，则，
即，解得，不合题意；
综上，直线过定点.
【方法总结】
1.动直线l过定点问题．
解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点；
2.动曲线C过定点问题．
解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．