通化市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份通化市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
3．已知为定义在上的奇函数,当时,,则( )
A.B.C.3eD.
4．若,则函数的最小值是( )
A.B.C.D.
5．已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
6．已知函数,且,则( )
A.3B.C.17D.
7．我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族:,,.若集合B中有3个元素,则B的不同子集族有( )
A.128个B.127个C.256个D.255个
8．已知函数的定义域是,则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在四边形中,“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是( )
A.平行于,且等于B.平行于,且不等于
C.平行于,且不平行于D.平行于或平行于
10．已知,,,,则( )
A.a的最小值为B.b的最小值为
C.a的最大值为D.b的最小值为1
11．已知函数的定义域为R,,,则( )
A.
B.是奇函数
C.的图象关于点对称
D.
三、填空题
12．若,则________.
13．已知幂函数在上单调递减,则不等式的解集是________
14．已知函数是定义在R上的增函数,则a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的既不充分也不必要条件,求a的取值范围.
16．已知,,且.
（1）求的最小值;
（2）证明:.
17．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄,深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客,提供两种购买大果榛子的优惠方案:第一种方案,每斤的售价为24元,顾客买x（）斤,每斤的售价降低x元;第二种方案,顾客买x（）斤,每斤的售价为元.已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元,按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元.
（1）分别求函数,的解析式;
（2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子,甲、乙的付款总额为135元,且甲购买了5斤大果榛子,试问乙购买了多少斤大果榛子?
18．（1）若函数满足,求在上的值域;
（2）已知函数的定义域为,对任意,,当时,恒成立,若,求不等式的解集.
19．已知函数的定义域为A,的定义域为B,若对任意的,存在,使得（为常数）,则称与存在线性关系,其中k为线性关系值.已知函数.
（1）若函数,判断与是否存在线性关系,并说明理由;
（2）若函数,且与存在线性关系,求的最大值;
（3）若函数,且与存在线性关系,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：存在量词命题的否定格式:首先存在量词改为全称量词,然后否定命题的结论,故原命题的否定为:,.
故选:A.
2．答案：D
解析：由题意得,则,,,.
故选:D.
3．答案：B
解析：由于为定义在上的奇函数,故,得,
当时,,所以.
故选:B
4．答案：D
解析：因为,可得,所以,
当且仅当时,即时,y取得最小值.
故选:D.
5．答案：A
解析：,则,
对于A,,
所以,A选项正确;
对于BCD,当时,,,无意义,故BCD选项错误.
故选:A
6．答案：A
解析：在中取可得,所以,
故选:A
7．答案：D
解析：我们定义全子集族为:子集族内的集合加上空集本身,
一般地,设集合S中有n个元素,则它有个子集,
我们对所有子集按元素个数分类为:0,1,2,…,n,
则集合S不同的全子集族个数为个,
从而集合S不同的子集族个数为个,
若集合B中有3个元素,
从而B的不同子集族有个.
故选:D.
8．答案：D
解析：因为的定义域是,所以的定义域是,
令,解得,则的定义域是.
故选:D
9．答案：BC
解析：对于选项A,由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”,所以选项A错误,
对于选项B,因为“平行于,且不等于”可以推出“四边形是梯形”,
但“四边形是梯形”推不出“平行于,且不等于”,如图所示,
当,且时,是梯形,但不满足“平行于,且不等于”,所以选项B正确,
对于选项C,“平行于且不平行于”可以推出“四边形是梯形”,
但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”,如图所示,
当,且不平行时,是梯形,但不满足“平行于且不平行于”,所以选项C正确,
对于选项D,由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”,所以选项D错误,
故选:BC.
10．答案：BC
解析：因为,,所以,
当且仅当时等号成立,故a的最大值为;
而,
当且仅当且时等号成立,故b取得最小值.
故选:BC.
11．答案：ABD
解析：令,,则,即,解得,故A正确;
令,则,得,由A可知,则,即,故是奇函数,B正确;
对任意的x都有,可得,因此的图象关于点对称,故C错误;
由于且是奇函数,得,即,因此,,,…,,所以D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：依题意可得或,且,
所以,.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为是幂函数,所以,解得或.
又因为在上单调递减,所以,所以,则.
由,解得,所以不等式的解集是.
故答案为:
14．答案：
解析：是开口方向向上的二次函数,对称轴为,
为增函数,则;
在R上为增函数,,解得:或,
的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）由,得,则,
当时,,则或,
所以或.
（2）由题意可知,,
则或,得或,
所以实数a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,所以,
,,故,当且仅当,即,时取等号,
所以,即的最小值为8;
（2）证明:,
当且仅当,即时取等号,所以.
17．答案：（1）,;,.
（2）乙购买了2斤大果榛子
解析：（1）根据题意,,,
,.
（2）由（1）,,,所以,则甲选择方案二购买,花费91元,
则乙花费元,
若乙按照方案一购买,则,解得或,又,
,即乙可以购买2斤大果榛子,
若乙按照方案二购买,则,解得,
所以乙应该按照方案一购买,乙购买2斤大果榛子.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）将原式中的x替换为,得,
则,
所以,
即,解得.
因为在上单调递减,
所以在上的值域为;
（2）由题意得对任意,,当时,恒成立.
设函数,则在上单调递减.
因为,所以,
所以等价于.
根据在上单调递减,得,
解得,
故不等式的解集为.
19．答案：（1）不存在线性关系,理由见解析
（2）6
（3）
解析：（1）假设与存在线性关系,
则对任意的,存在,使得,
即,
若在上的值域为集合P,在上的值域为集合Q,则;
,
,,;
在上单调递增,在上单调递减,
,即;
不满足,假设错误,即与不存在线性关系.
（2）与存在线性关系,
则对任意的,存在,使得,
由（1）知:在上的值域为集合,
若在上的值域为集合N,则;
在上单调递减,在上单调递增,
,即,
,,解得:,的最大值为6.
（3）与存在线性关系,
则对任意的,存在,使得,
由（1）知:在上的值域为集合,
若在上的值域为T,则;
,
令,在上单调递减,在上单调递增,
又时,;时,;时,,,
令,则为开口方向向下,对称轴为的抛物线,
①当,即时,在上单调递减,
,,即,
,,又,解得:;
②当,即时,在上单调递增,
,,
即,
,,又,解得:;
③当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
,
当时,,
此时不成立,不合题意;
综上所述:a的取值范围为.