吉林省通化市第一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份吉林省通化市第一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知圆A， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第二、三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得.
【详解】由，得倾斜角为．
故选：C.
2. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解.
【详解】由抛物线可得，
所以，，
故抛物线的焦点到准线的距离是.
故选：B
3. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数.
【详解】由的短轴长为4，得，即，则，
若，则，显然矛盾；
若，则．
经验证，当时，椭圆的短轴长为4，
故选：B
4. 若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为圆一般方程，利用列式即可求.
【详解】若方程表示一个圆，则，
方程可化为，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D
5. 已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在抛物线上，利用点差法可求直线斜率.
【详解】设，则，两式相减得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以.
故选：A.
6. 如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处直径为得解.
【详解】依题意可得，所以，
所以该笔筒中间最窄处的直径为.
故选：B.
7. 已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
设圆的半径为，
由于圆内切于圆，所以；
由于圆内切于圆，所以；
由于，
所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆.
则，，所以，；
所以动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：A
8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【详解】由，得，所以为双曲线右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则，
所以．所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，则（ ）
A. 当时，B. 存在实数m，使得
C. 当时，D. 与直线之间的距离为
【答案】AD
【解析】
【分析】通过的取值结合垂直和平行的要求判断A，B，C；，利用平行线间的距离公式判断D.
【详解】对于A，当时，：，：，
此时，所以，故A正确；
对于B，当时，且，无解，
故不存实数m，使得；故B错误；
对于C，当时，：，：，
此时，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为且，所以与直线平行，
距离为，故D正确，
故选：AD.
10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线与圆相切
B. 若圆上存在两点关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆上存在两点关于直线对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误.
【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径.
∴圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离，故A不正确.
B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，
∴，解得，故B正确.
C.
若，则圆心到直线的距离，
∴，故C正确.
D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示，
，
当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.
故选：BC.
11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C. 当的重心在轴上时，的面积为
D. 当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】求得直线的方程与抛物线方程联立求得，，利用向量数量积的坐标运算求得最小值，可判断A；要使得点的纵坐标最大，则，据此计算可判断B；求得重心坐标，重心在轴上时，可求，进而可求面积判断C；为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围判断D.
【详解】依题意可得，直线AB的方程为，
代入，消去得，解得，，
因为点在第一象限，所以，．
的准线方程为，设，

则，，
所以，故A正确．
当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，
即，且，解得，故B错误．
的重心坐标为，即，
当的重心在轴上时，，得，
的面积为，故C正确．
当，，三点共线时，，，，
所以，解得．
由A分析知，得为锐角或直角，
当为直角或为直角时，或，
所以，，
解得或，
当为钝角三角形时，且，
所以，，
解得且，
所以点的纵坐标的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得答案.
【详解】由，得，则，，故，
所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为，
则所求圆的标准方程为．
故答案为：；
13. 在中，，，，则点的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设点，分别表示与，化简即可.
【详解】设点，
则，，
则，
化简可得，
故答案为：.
14. 已知P为椭圆C上一点，，为C的两个焦点，，，则C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可
【详解】如图，取线段的中点M，连接，
因为，，
所以，且，
所以，
设，
所以C的离心率为
，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；
（2）焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程.
【小问1详解】
因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以，
解得，所以，
所以所求双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，可设所求双曲线的标准方程为.
因为焦距为，所以，
所以.
又渐近线方程为，所以，
则，所以所求双曲线的标准方程为.
16. 已知是抛物线上的一点.
（1）求的焦点坐标与准线方程；
（2）若直线经过的焦点，且与交于两点，求的最小值.
【答案】（1）焦点坐标为，
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线，求出的值，即可得到结果.
（2）联立直线和抛物线，表示弦长，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
∵是抛物线上的一点，
∴，解得，，
∴的焦点坐标为，准线方程为.
【小问2详解】
由（1）得抛物线.
∵直线经过的焦点，∴.
由得.
设Px1,y1，Qx2,y2，则，
∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
17. 已知圆（为常数）．
（1）当时，求直线被圆截得的弦长．
（2）证明：圆经过两个定点．
（3）设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案；
（2）由令与联立解方程组可得答案；
（3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案．
【小问1详解】
当时，圆，
此时，圆的圆心为，半径．
则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长
为；
【小问2详解】
由，得，
令，因为为常数
所以得，由
解得或，
所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；
【小问3详解】
（方法一）设的中点为，
不妨设，则点的坐标为．
因为，所以，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
（方法二）不妨设，因为，
所以，
解得，
所以圆的标准方程为．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，.
（1）若，求C的方程；
（2）若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出即可.
（2）令，，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，进而求出四边形周长.
【小问1详解】
由椭圆定义知，，，
由，得，
若，则等腰直角三角形，，解得，
所以C的方程为.
【小问2详解】
若，不妨设，，则，且，
，.
由，点P在y轴上，且，
得，且，
由余弦定理得，
整理得，而，则，
同理得，
即，整理得，
令此方程二根为，则，，即有，
则， 解得，
所以四边形AF1BF2的周长为.
19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线.
（1）判断曲线为何种圆锥曲线.
（2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？
（3）设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点.
（i）若，求；
（ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点.
【答案】（1）椭圆 （2）且
（3）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果.
（2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果.
（3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果；
（ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标.
【小问1详解】
设，由，得，
当时，，即，所以曲线为椭圆.
【小问2详解】
由，得.
若曲线为双曲线，则，
所以可化为，
所以，则；
故应满足且曲线为双曲线.
【小问3详解】
由，得曲线的方程为，
则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.
联立得.
设，则
（i）若，则
.
（ii）因为点关于轴的对称点为点，所以，
则直线的方程为，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
.
当且时，
，
故直线过定点.
【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用.