福建省泉州市惠安荷山中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

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10．在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，当△A′DE为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．7 B．C．7或 D．以上答案均不对
【解答】解：连接A'D，当∠EA'D＝90°时，如图：
∵把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，
∴AB＝A'B＝5，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，
∴∠EA'D+∠BA'E＝180°，
∴B，A'，D共线，
∵BD＝＝＝13，
∴A'D＝BD﹣A'B＝13﹣5＝8，
在Rt△A'DE中，A'E2+A'D2＝DE2，
∴（12﹣DE）2+82＝DE2，
解得DE＝；
当∠DEA'＝90°时，如图：
∵∠DEA'＝90°，
∴∠AEA'＝90°，
∴∠A＝∠ABA'＝∠AEA'＝90°，
∴四边形ABA'E是矩形，
∵把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，
∴AB＝A'B，
∴四边形ABA'E是正方形，
∴AE＝AB＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣5＝7；
综上所述，DE的长为或7；
二．填空题（共6小题）
16．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，连接AE、CD交于F，∠AFC＝90°，AE＝CD＝AC，CE＝6，DE＝，线段AE的长度为 ．
【解答】解：作AN⊥BC于点N，作DM⊥BC于点M，
∵AC＝AE，CE＝6，
∴CN＝EN＝3，
∵AN⊥EC，∠AFC＝90°，
∴∠ANE＝∠CFE＝90°，
∴∠AEN+∠EAN＝90°，∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
∵DM⊥BC，AN⊥BC，
∴∠DMC＝∠ENA＝90°，
在△DMC和△ENA中
∴△DMC≌△ENA（AAS）
∴DM＝EN，
∵EN＝3，
∴DM＝3，
∵DE＝，∠DME＝90°，
∴ME＝1，
∵EC＝6，
∴MC＝ME+EC＝7，
∵DM＝3，∠DMC＝90°，MC＝7，
∴DC＝＝＝，
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
【解答】解：原式＝3+（﹣2）﹣（﹣1）
＝1﹣+1＝2﹣．
18．因式分解：
（1）3m2﹣6m；
（2）ax2﹣2axy+ay2．
【解答】解：（1）3m2﹣6m
＝3m（m﹣2）；
（2）ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
19．先化简，再求值，其中．
【解答】解：
＝（4a2+4ab+b2﹣3a2+4ab﹣b2﹣a）÷（﹣a）
＝（a2+8ab﹣a）÷（﹣a）
＝﹣2a﹣16b+2，
当时，原式＝﹣2×（﹣1）﹣16×+2
＝2﹣8+2
＝﹣4．
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AC＝BD，AE∥DF，AE＝DF．
求证：∠E＝∠F．
【解答】解：∵AC＝BD，
∴AB＝CD，
又∵AE∥CF，
∴∠A＝∠D，
在ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠E＝∠F．
21．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝＝＝36．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （a+2b）（2a+b） ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
【解答】解：（1）观察图形可得图形面积为2a2+5ab+2b2，
利用长方形面积公式可得面积为（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∴2a2+2b2＝20，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴6a+6b＝24，
联立方程，
解得ab＝3．
∴空白部分面积为5ab＝15平方厘米．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是线段AB的中点，且CD＝CB．
（1）尺规作图：在直线AC右侧，求作一点E，使得△EDC≌△ABC；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，延长CB至点P，使得BP＝BC，连接DP，求证：P，D，E三点共线．
【解答】（1）解：如图：
点E为所求作的；
（2）证明：连接AE，PE，设PE与AB交于点D'，
∵△ABC≌△EDC，
∴AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝EC，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠BCD＝180°﹣2∠CBD，
∴∠BAC＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠ACE，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△ECA（SAS），
∴∠ACB＝∠CAE，BC＝AE，
∴AE∥BC，
∴∠AED'＝∠P，∠EAD'＝∠PBD'，
∵BP＝BC，BC＝AE，
∴AE＝BP，
∴△AD'E≌△BD'P（ASA），
∴AD'＝BD'，
∴D'是线段AB的中点，
∵D是线段AB的中点，
∴D'，D为同一个点，
∴P，D，E三点共线．
24．如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA＝BC＝3，AO＝1．
（1）求CO的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
①当点D在线段OB上时，若AO＝AE，求OD的长；
②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长．
【解答】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．
∴OB＝2．
∵CO⊥AB，
∴∠COB＝∠AOC＝90°．
∴CO＝＝＝．
（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC＝，
∴AC＝＝．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°．
在△AED和△AOC中，
∴△AED≌△AOC（AAS）．
∴AD＝AC＝．
∴OD＝AD﹣AO＝﹣1．
②Ⅰ、点D在线段OB上时，过点O作OM⊥CF于点M．
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，
∴BF：CF＝1：4．
∵BC＝3，
∴BF＝1．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CEF＝90°．
∴∠ADE＝∠CFD．
∵∠BDF＝∠ADE，
∴∠CFD＝∠BDF．
∴BD＝BF＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1．
Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时，过点O作OM⊥CF于点M．
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，
∴BF：CF＝1：4．
∵BC＝3，
∴BF＝3×＝0.6．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CEF＝90°．
∴∠D＝∠CFE．
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠BFD＝∠D．
∴BD＝BF＝0.6，
∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6．
综上，OD的长为：1或2.6．
25．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．
（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；
（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，
①求证：FD＝FB；
②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S△FMN＝5，则OF2+BF2的最小值为 20 ．
【解答】证明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由如下：∵CD⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，
∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，
∴AD⊥BE；
（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，
∵CF⊥AE，
∴∠ACT+∠CAT＝90°，
又∵∠ACT+∠BCG＝90°，
∴∠CAT＝∠BCG，
在△ACT和△BCG中，
，
∴△ACT≌△BCG（ASA），
∴CT＝BG，
同理可证△DCH≌△ECT，
∴CT＝DH，
∴DH＝BG，
在△DHF和△BGF中，
，
∴△DHF≌△BGF（AAS），
∴DF＝BF；
②如图3，过点F作FK⊥BC于K，
∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，点O是AB的中点，
∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∵AT⊥CF，
∴∠OFC+∠FAT＝90°，
∴∠FAT＝∠OCF，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴OM＝OF，
又∵CO⊥AO，
∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，
∴∠OFM＝∠ABC，
∴MF∥BC，
∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，
∴∠ABC＝∠BFK＝45°，
∴FK＝BK，
∴FK＝BF，
∵S△FMN＝5，
∴×MF×FK＝5，
∴OF×BF＝10，
∴OF×BF＝10，
∵（BF﹣OF）2≥0，
∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，
∴BF2+OF2≥2×10＝20，
∴BF2+OF2的最小值为20，
故答案为：20．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
D
B
B
C
B
A
C