2024-2025学年广东省深圳市高三上学期第二次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高三上学期第二次月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的部分图像大致为
A．B．C．D．
5．已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（ ）
A．－6B．6
C．－8D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
10．设函数，已知在有且仅有5个零点，则（ ）
A．在有且仅有3个极大值点
B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增
D．ω的取值范围是
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．
C．当时，
D．函数有5个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ．
13．已知是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F．使得，则 ．
14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知椭圆C：的离心率，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，直线l过椭圆C的右焦点F且与C交于A，B两点，证明：直线与的斜率之和为定值．
16．如图，在四棱锥中，，且．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18．已知函数的最小值为0，其中．
(1)求a的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数k的取值范围．
19．若数列：，，，满足，则称为数列.记.
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或x≥1，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
3．【正确答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，
所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，
所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．【正确答案】C
【详解】
由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．
函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
5．【正确答案】B
【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.
【详解】由题干得
所以 ，
故选B.
6．【正确答案】B
【详解】对于A，由图可知，，函数的最小正周期，
故A正确；
由，，知，
因为，所以，所以，，
即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，
所以，故B不正确；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象，
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
8．【正确答案】C
由奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)可推出周期为8，对称轴为，画出函数大致图象，由图象分析f(x)＝m的根的分布情况即可
【详解】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，画出大致图象，如图：
由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，
则，故，
故选：C
9．【正确答案】BC
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
10．【正确答案】ACD
【详解】因为在有且仅有5个零点，如图所示，

所以，所以，所以D正确，
对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，
对于C，当时，，
因为，所以，所以，
所以在单调递增，所以C正确，
故选：ACD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，由，
当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在0,2上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故A正确；
对于B，易知
，
故B正确；
对于C，当时，，
因为函数在上单调递增，在0,1上单调递减，
又，，，所以，所以C错误：
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，

所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，故D正确．
故选:ABD．
12．【正确答案】
【详解】由余弦定理可得，
解得，
所以，
故答案为.
13．【正确答案】2
【详解】如图：
以为基底，则，.
所以，，
所以.
所以.
故2
14．【正确答案】
【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)．
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，所以设，
所以，
又因为点在椭圆C上，所以，
所以，所以椭圆C的方程为.
（2）证明：因为右焦点，
当直线l不为轴时，设直线l的方程为，

联立消去得，，
易知，
设直线l与椭圆C交于两点，
由韦达定理可知，，.
所以
；
当直线l为轴时，交点，
所以；
综上所述，直线与的斜率之和为定值0.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）

取的中点，的中点，连接，，
因为，所以，
由（1）知平面，又平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
所以，
因为二面角为钝角，
所以面角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
又，所以；
（2）由（1）可知，
所以，
由正弦定理，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，即，
又，
所以，所以面积的取值范围为.
18．【正确答案】(1)1；
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，求导得.
由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，所以.
（2）设，依题意，，恒成立，
而，，则，求导得，
当，即时，由，得，
函数在上单调递减，，，不符合题意，
当时，恒有，则函数在上单调递增，恒成立，符合题意，
所以的取值范围是.
19．【正确答案】(1)0，1，2，1，0
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，
所以0，1，2，1，0是一个满足条件的数列；（答案不唯一）
（2）必要性：因为数列是递增数列，
所以，所以是首项为12，公差为1的等差数列，
所以；
充分性：由于，，，，
所以，即，
又因为，，所以，
故，即是递增数列，
综上所述，结论成立；
（3）令，则，
因为，，，，
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数，
所以要使，必须使为偶数，
即4整除，亦即或，
当时，数列的项满足，，时，有，；
当时，数列的项满足，，，时，有，；
当，时，不能被4整除，
所以对任意给定的整数，不存在数列使得，.