2021-2022学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）如果 2 是关于 x 的一元二次方程 x2  k  0 的一个根，则 k 的值是()
A．2B．4C． 2D． 2
2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
3．（3 分）如果将抛物线 y  x2  2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是()
A． y  (x 1)2  2
B． y  (x  1)2  2
C． y  x2  1
D． y  x2  3
4．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  1  0 时，配方结果正确的是()
A． (x  1)2  2
B． (x 1)2  2
C． (x  2)2  3
D． (x 1)2  3
5．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
购买 1 张体育彩票中奖
从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标
汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
6．（3 分）如图， O 是ABC 的外接圆， BOC  110 ，则A 的度数为()
A． 65B． 55C． 70D． 30
7．（3 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元．设两次降价的百分率都为
x ，则 x 满足()
A．16(1  2x)  25
B． 25(1  2 x)  16
C．16(1  x)2  25
D． 25(1  x)2  16
8．（3 分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，随机
摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为 5 的概率是(
)
1
6
2
9
1
3
1
2
9．（3 分）如图，在RtABC 中， BAC  90 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转90 后得到的△
ABC（点 B 的对应点是点 B ，点C 的对应点是点C) ，连接CC ．若CCB  20 ，则B
的大小是()
A． 70B． 65C． 60D． 55
10．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ， AC  4 ， BC  7 ，点 D 在边 BC 上，CD  3 ，
以点 D 为圆心作D ，其半径长为 r ，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内，那么 r 的取值范围是()
A． 4  r  5
B． 3  r  4
C． 3  r  5
 r  7
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）一元二次方程 x2  9  0 的解是 ．
12．（3 分）抛物线 y  2(x  3)2  7 的顶点坐标是 ．
13．（3 分）如图， PA ， PB 分别是O 的切线， A ， B 为切点， AC 是O 的直径．已知
BAC  25 ，则P 的度数为．
14．（3 分）已知点 A(a,1) 与点 B(5, b) 是关于原点O 的对称点，则 a  b  ．
15．（3 分）如图，圆锥的高 AO  4 ，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积为 ．
16．（3 分）已知二次函数 y  x2  2x ，当1  x  a 时， y 随 x 的增大而增大，则实数 a 的取值范围是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）如图， AB 为O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，若 AB  10 ， EB  2 ，求弦CD的长．
18．（4 分）解方程： x2  6x  4  0 ．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中， RtABC 三个顶点都在格点上，点 A ， B ， C 的坐标分别为 A(1, 3) ， B(4,1) ， C(1,1) ．解答下列问题：
画出ABC 关于原点对称的△ A1 B1C1 ，并写出点 B1 的坐标；
画出△ A1 B1C1 绕点C1 逆时针旋转90 后得到的△ A2 B2C1 ，并求出点 A1 经过的路径长．
20．（6 分）已知二次函数 y  x2  4x  3 ．
在坐标系中画出函数图象，并求它与 x 轴的交点坐标；
自变量 x 在什么范围内， y 随 x 的增大而增大？
21．（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2  (2m  1)x  m2 1  0 有两个不相等的实数根．
求 m 的取值范围；
写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．
22．（10 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 米时，水面宽 4 米．
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式；
当水面下降 1 米时，水面宽度增加了多少米？
23．（10 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率；
请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
24．（12 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BAC 与ABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交ABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
求证： BAD  DBC ；
证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
若 AB  5 ， BC  8 ，求ABC 内心与外心之间的距离．
25．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax2  bx  c 的开口向上，且经过点 3
A(0, )
2
若此抛物线经过点 B(2,  1 ) ，且与 x 轴相交于点 E ， F ．
2
①填空： b  （用含 a 的代数式表示）；
②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
若 a  1 ，当0x1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2
2021-2022 学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）如果 2 是关于 x 的一元二次方程 x2  k  0 的一个根，则 k 的值是()
A．2B．4C． 2D． 2
【分析】把 x  2 代入 x2  k  0 得4  k  0 ，然后解关于 k 的方程即可．
【解答】解：把 x  2 代入 x2  k  0 得4  k  0 ， 解得 k  4 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．
2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形， 以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解： A 、此图形旋转180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是
轴对称图形，故此选项正确；
B 、此图形旋转180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形， 故此选项错误；
C 、此图形旋转180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D 、此图形旋转180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故此选项错误． 故选： A ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题 的关键．
3．（3 分）如果将抛物线 y  x2  2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是()
A． y  (x 1)2  2
B． y  (x  1)2  2
C． y  x2  1
D． y  x2  3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线 y  x2  2 向下平移 1 个单位，
抛物线的解析式为 y  x2  2 1 ，即 y  x2  1 ． 故选： C ．
【点评】主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接 代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  1  0 时，配方结果正确的是()
A． (x  1)2  2
B． (x 1)2  2
C． (x  2)2  3
D． (x 1)2  3
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解： x2  2x  1 ，
x2  2x  1  2 ，
(x  1)2  2 ． 故选： A ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 配方法：将一元二次方程配成(x  m)2  n 的形式，
再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
购买 1 张体育彩票中奖
从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标
汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义判断即可．
【解答】解： A ．购买 1 张体育彩票中奖，这是随机事件，故 A 不符合题意； B ．从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标，这是随机事件，故 B 不符合题意； C ．汽车累积行驶10000km ，从未出现故障，这是随机事件，故C 不符合题意；
D ．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，这是不可能事件，故 D 符合题意； 故选： D ．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的定义是解题的 关键．
6．（3 分）如图， O 是ABC 的外接圆， BOC  110 ，则A 的度数为()
A． 65B． 55C． 70D． 30
【分析】由O 是ABC 的外接圆， BOC  110 ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得A 的度数．
【解答】解：O 是ABC 的外接圆， BOC  110 ，
A  1 BOC  1 110  55 ．
22
故选： B ．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．
7．（3 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元．设两次降价的百分率都为
x ，则 x 满足()
A．16(1  2x)  25
B． 25(1  2 x)  16
C．16(1  x)2  25
D． 25(1  x)2  16
【分析】等量关系为：原价(1  降价的百分率） 2  现价，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的价格为： 25  (1  x) ； 第二次降价后的价格为： 25  (1  x)2 ；
两次降价后的价格为 16 元，
25(1  x)2  16 ． 故选： D ．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a ，变化后的量为b ，平均变化
率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a(1  x)2  b ．
8．（3 分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为 5 的概率是(
)
1
6
2
9
1
3
1
2
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球 标号和 5 为的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：根据题意，画树状图如下：
共有 9 种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为 5 的有 2 种，
两次摸出的小球标号的和为 5 的概率是 2 ，
9
故选： B ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率  所求情况数与总情况数之比．
9．（3 分）如图，在RtABC 中， BAC  90 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转90 后得到的△
ABC（点 B 的对应点是点 B ，点C 的对应点是点C) ，连接CC ．若CCB  20 ，则B
的大小是()
A． 70B． 65C． 60D． 55
【分析】由旋转的性质可得 AC  AC ， CAC  90 ， B  ABC ，由等腰直角三角形的性质可得ACC  45 ，由外角的性质可求解．
【解答】解：将ABC 绕点 A 顺时针旋转90 后得到的△ ABC ，
 AC  AC ， CAC  90 ， B  ABC ，
ACC  45 ，
ABC  ACC  CCB  45  20  65 ，
B  ABC  65 ， 故选： B ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（3 分）如图，在RtABC 中，C  90 ， AC  4 ， BC  7 ，点 D 在边 BC 上，CD  3 ，
以点 D 为圆心作D ，其半径长为 r ，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内，那么 r 的取值范围是()
A． 4  r  5
B． 3  r  4
C． 3  r  5
 r  7
【分析】先根据勾股定理求出 AD 的长，进而得出 BD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在RtADC 中， C  90 ， AC  4 ， CD  3 ，
AC2  CD2
42  32
 AD  5 ．
 BC  7 ， CD  3 ，
 BD  BC  CD  7  3  4 ．
以点 D 为圆心作D ，其半径长为 r ，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内，
 r 的范围是 4  r  5 ， 故选： A ．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系：设O 的半径为 r ，点 P 到圆心的距离OP  d ，
则有：①点 P 在圆外 d  r ；②点 P 在圆上 d  r ；③点 P 在圆内 d  r ．，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）一元二次方程 x2  9  0 的解是 x  3 ， x  3 ．
12
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解： x2  9  0 ，
 x2  9 ，
解得： x1  3 ， x2  3 ．
故答案为： x1  3 ， x2  3 ．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12．（3 分）抛物线 y  2(x  3)2  7 的顶点坐标是 (3, 7) ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解： y  2(x  3)2  7 为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标为(3, 7) ，
故答案为(3, 7) ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
13．（3 分）如图， PA ， PB 分别是O 的切线， A ， B 为切点， AC 是O 的直径．已知
BAC  25 ，则P 的度数为 50 ．
【分析】根据切线长定理得等腰PAB ，运用内角和定理求解即可．
【解答】解：根据切线的性质定理得PAC  90 ，
PAB  90  BAC  90  25  65 ． 根据切线长定理得 PA  PB ，
所以PBA  PAB  65 ， 所以P  50 ．
故答案为： 50 ．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算 能力．
14．（3 分）已知点 A(a,1) 与点 B(5, b) 是关于原点O 的对称点，则 a  b  6 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反
可直接得到 a 、b 的值，再算出 a  b 即可．
【解答】解：点 A(a,1) 与点 B(5, b) 是关于原点O 的对称点，
 a  5 ， b  1 ，
 a  b  6 ． 故答案为： 6 ．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标 规律：
关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．（3 分）如图，圆锥的高 AO  4 ，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积为 15 ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的高 AO  4 ，底面圆半径为 3，
32  42
圆锥的母线长 5 ，
圆锥的侧面积 1  2 3  5  15．
2
故答案为：15．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3 分）已知二次函数 y  x2  2x ，当1  x  a 时， y 随 x 的增大而增大，则实数 a 的
取值范围是1  a1 ．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，再根据当 1  x  a 时， y 随
x 的增大而增大和二次函数的性质，即可得到 a 的取值范围．
【解答】解：二次函数 y  x2  2x  (x 1)2  1，
该函数图象开口向下，对称轴为直线 x  1 ，
当1  x  a 时， y 随 x 的增大而增大，
1  a1 ，
故答案为： 1  a1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出 a 的取值范围，注意
a 要大于1 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）如图， AB 为O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，若 AB  10 ， EB  2 ，求弦CD的长．
【分析】连接OC ，由垂径定理知CE  1 CD ，再由勾股定理得出CE  4 ，从而得出CD 的
2
长．
【解答】解：连接OC ，如图所示：
 AB 为O 的直径， CD  AB ，
CE  DE  1 CD ， OC  OA  OB  5 ，
2
52  32
OE  OB  EB  5  2  3 ，
OC2  OE2
在RtOCE 中，由勾股定理得： CE 
CD  2CE  8 ．
 4 ，
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（4 分）解方程： x2  6x  4  0 ．
【分析】找出 a ， b 及 c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里 a  1 ， b  6 ， c  4 ，
△  b2  4ac  36  16  20 ，
5
 x  6  2 5  3，
2
5
5
则 x1   3 ， x2    3 ．
【点评】此题考查了解一元二次方程  公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出 a ， b 及 c 的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于 0 时， 代入求根公式即可求出解．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中， RtABC 三个顶点都在格点上，点 A ， B ， C 的坐标分别为 A(1, 3) ， B(4,1) ， C(1,1) ．解答下列问题：
画出ABC 关于原点对称的△ A1 B1C1 ，并写出点 B1 的坐标；
画出△ A1 B1C1 绕点C1 逆时针旋转90 后得到的△ A2 B2C1 ，并求出点 A1 经过的路径长．
【分析】（1）根据网格结构找出点 A 、 B 、C 关于 y 轴的对称点 A1 、 B1 、C1 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图， B1(4,1) ；
（2）如图， A 走过的路径长： 1  2  2  ．
14
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握 网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
20．（6 分）已知二次函数 y  x2  4x  3 ．
在坐标系中画出函数图象，并求它与 x 轴的交点坐标；
自变量 x 在什么范围内， y 随 x 的增大而增大？
【分析】（1）顶点坐标为(2, 1) ，与 x 轴的交点的坐标为(1, 0) ，(3, 0) 以及抛物线与 y 轴的交点和其关于对称轴的对称点，然后用五点法画出函数图象；
（2）由图象可得当 x  2 时， y 随 x 的增大而增大．
【解答】解：（1）由 y  x2  4x  3  (x  2)2 1 ，
顶点坐标为(2, 1) ，
令 y  0 ，则0  x2  4x  3 ， 解得 x1  1 ， x2  3 ，
与 x 轴的交点的坐标为(1, 0) ， (3, 0) ，
令 x  0 ，则 y  3 ，
二次函数的图象与 y 轴的交点为(0, 3) ，
抛物线对称轴为直线 x  2 ，
(0, 3) 关于 x  2 对称的点(4,3) 也在抛物线上， 用五点法画出函数 y  x2  4x  3 的图象，
（2）由（1）中的函数图象知，当 x  2 时， y 随 x 的增大而增大．
【点评】本题考查了二次函数的性质，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一 步．
21．（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2  (2m  1)x  m2 1  0 有两个不相等的实数根．
求 m 的取值范围；
写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△  0 ，代入数据即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令 m  1，将 m  1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 x2  (2m  1)x  m2 1  0 有两个不相等的实数根，
△  (2m  1)2  4 1 (m2 1)  4m  5  0 ， 解得： m   5 ．
4
（2） m  1，此时原方程为 x2  3x  0 ， 即 x(x  3)  0 ，
解得： x1  0 ， x2  3 ．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解 题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于 m 的一元一次不等式；（2）选取 m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出 方程（不等式或不等式组）是关键．
22．（10 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 米时，水面宽 4 米．
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式；
当水面下降 1 米时，水面宽度增加了多少米？
【分析】（1）根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式；
（2）再根据通过把 y  1 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得：顶点坐标为(0, 0) ，
设抛物线的解析式为 y  ax2 ，
把点坐标(2, 2) 代入得出： a   1 ，
2
所以抛物线解析式为 y  0.5x2 ；
（2）当水面下降 1 米，
即当 y  3 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y  3 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 y  3 代入抛物线解析式得出：
3  0.5x2 ，
6
解得： x  ，
6
所以水面宽度增加到 2米，
6
答：当水面下降 1 米时，水面宽度增加了(2
 4) 米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是 解决问题的关键．
23．（10 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率；
请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从 其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两 人的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，
再从其余的三位同学中随机选取一位，
1
恰好选到丁的概率是 ；
3
（2）画树状图得：
共有 12 种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有 2 种情况，
恰好选中甲、乙两人的概率为 2  1 ．
126
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
24．（12 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BAC 与ABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交ABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
求证： BAD  DBC ；
证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
若 AB  5 ， BC  8 ，求ABC 内心与外心之间的距离．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得2  DBC ，再由 AD 平分BAC ，得1  2 ，从而证明结论；
（ 2 ） 由 BD  CD ， 得 BD  CD ， 再根据 BED  1  3 ， DBE  4  DBC ， 得
DBE  BEO ，从而有 BD  DE ，即可证明；
（3）由题意知 E 为内心，O 为ABC 外心，设 BO  x ，OH  x  3 ，则 BO2  BH 2  OH 2 ， 可求出 BO 的长，再根据勾股定理求出 BD 的长，而 BD  BD ，从而得出答案．
【解答】（1）证明： AD 平分BAC ，
1  2 ，
又2  DBC ，
BAD  DBC ；
证明： AB  AC ， AD 平分BAC ，
 BD  CD ，连接CD ，
 BD  CD ，
 BE 平分ABE ，
3  4 ，
BED  1  3 ， DBE  4  DBC ，
DBE  BEO ，
 BD  DE ，
 BD  DE  DC ，
点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
解： AD  BC ，
 BH  1 BC  4 ，
2
在RtABH 中， AH  3 ，
在RtBHO 中，设 BO  x ， OH  x  3 ， 则 BO2  BH 2  OH 2 ，
即 x2  16  (x  3)2 ，
解得： x  25 ，
6
即 BO  25 ，
6
 AD 为直径，
ABD  90 ， 在RtABD 中，
BD 
 DE  20 ，
3
 20 ，
AD2  AB2
3
OE  20  25  5 ，
362
 E 为ABC 角平分线的交点，
 E 为内心，
OE 为ABC 内心与外心之间的距离，
ABC 内心与外心之间的距离为 5 ．
2
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形的内心和外心的性质，圆的定 义，勾股定理等知识，利用（2）中证明结论 BD  DE 是解决问题（3）的关键．
A(0, )
25．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax2  bx  c 的开口向上，且经过点 3
2
若此抛物线经过点 B(2,  1 ) ，且与 x 轴相交于点 E ， F ．
2
①填空： b  2a  1 （用含 a 的代数式表示）；
②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
若 a  1 ，当0x1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2
【分析】（1）①由 A 点坐标可求得 c ，再把 B 点坐标代入可求得b 与 a 的关系式，可求得答案；②用 a 可表示出抛物线解析式，令 y  0 可得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可用 a 表示出 EF 的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时 a 的值，可求得抛物线解析式；
（2）可用b 表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为 x  b ，由题意可得出当 x  0 、x  1
或 x  b 时，抛物线上的点可能离 x 轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b 的方程，可
求得b 的值．
A(0, )
【解答】解：（1）①抛物线 y  ax2  bx  c 的开口向上，且经过点3 ，
2
c  3 ，
2
抛物线经过点 B(2,  1 ) ，
2
 1  4a  2b  3 ，
22
b  2a  1 ，
故答案为： 2a  1 ；
②由①可得抛物线解析式为 y  ax2  (2a  1)x  3 ，
2
令 y  0 可得 ax2  (2a  1)x  3  0 ，
2
△  (2a  1)2  4a  3  4a2  2a  1  4(a  1 )2  3  0 ，
244
方程有两个不相等的实数根，设为 x1 、 x2 ，
 x  x
 2a  1 ， x x
 3 ，
12a1 22a
222
4a2  2a  112
EF  (x1  x2 )
 (x1  x2 )
 4x1 x2 a2
 ( 1)
a
 3 ，
当 a  1时， EF 2 有最小值．
抛物线解析式为 y  x2  3x  3 ；
2
（2）当 a  1 时，抛物线解析式为 y  1 x2  bx  3 ，
222
抛物线对称轴为 x  b ，
只有当 x  0 、 x  1 或 x  b 时，抛物线上的点才有可能离 x 轴最远，
当 x  0 时 ，
y  3 ， 当
2
x  1 时 ，
y  1  b  3  2  b
22
， 当 x  b 时 ，
y  1 (b)2  b(b)  3   1 b2  3 ，
2222
①当| 2  b | 3 时， b  1 或b  5 ，且顶点不在范围内，满足条件；
②当|  1 b2  3 | 3 时， b  3 ，对称轴为直线 x  3 ，不在范围内，故不符合题意，
22
综上可知b 的值为 1 或5 ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）①中注意利用待定系数法的应用，在（1）②中用 a 表示出 EF 2 是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用， 在（2）中确定出抛物线上离 x 轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．