2021-2022学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(3, 4) 关于原点对称点的坐标是()
A． (3, 4)B． (3, 4)
C． (3, 4)
D． (4, 3)
2．（3 分）如图，在O 中， OC  AB ，若BOC  40 ，则OAB 等于()
A． 40B． 50C． 80D．120 3．（3 分）抛物线 y  2(x  3)2  4 的对称轴是()
直线 x  3
直线 x  3
直线 x  4
直线 x  4
4．（3 分）连续抛掷两次骰子，它们的点都是奇数的概率是()
1
36
1
9
1
4
1
2
5．（3 分）在一幅长60cm ，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 2816cm2 ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么 x 满足的方程是( )
A． (60  x)(40  2x)  2816
C． (60  2 x)(40  x)  2816
B． (60  x)(40  x)  2816
D． (60  2x)(40  2x)  2816
6．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c 的图象如图所示，则一次函数 y  bx  c 的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长是 4cm ，那么这个正六边形半径 R 和扳手的开口 a 的值分别是()
3
A．2， 2
3
B．4， 4
3
C．4， 2
D．4，
3
8．（3 分）如图，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，得到ADE ，若点 D 恰好在CB 的延长线上，则CDE 等于()
A．B． 90  
2
C． 90  
2
D．180  2
9．（3 分）定义新运算“ a  b ”：对于任意实数 a ， b ，都有 a b  (a  b)2  b ，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3  2  (3  2) 2  2  1 ．若 x  k  0(k 为实数） 是关于 x 的方程，且 x  2 是这个方程的一个根，则 k 的值是()
A．4B． 1 或 4C．0 或 4D．1 或 4
10．（3 分）已知平面直角坐标系中有点 A(4, 4) ，点 B(a, 0) ，二次函数 y  x2  (k  3)x  2k
的图象必过一定点C ，则 AB  BC 的最小值是()
13
4
2
6
3
13
2
2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）若方程 mx2  3x  4  3x2 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 ．
12．（3 分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了 100 条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞 300 条．若其中有标记的鱼有 15 条，则可估计池塘里有鱼 条．
3
13．（3 分）如图，扇形 AOB 的圆心角为120 ，弦 AB  2
，则图中阴影部分的面积是．
14．（3 分）已知O 的直径为8cm ，如果直线 AB 上的一点与圆心的距离为 4cm ，则直线 AB
与O 的位置关系是．
15．（3 分）已知二次函数 y  x2  bx  c 与一次函数 y  mx  n 的图象相交于点 A(2, 4) 和
点 B(6, 2) ，则不等式x2  bx  c  mx  n 的解集是．
16．（3 分）如图，已知RtABC 中， ABC  90 ， ACB  30 ，斜边 AC  4 ，点 P 是三角形内的一动点，则 PA  PB  PC 的最小值是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。）
17．（4 分）解方程： (x  3)2  2x(x  3)  0 ．
18．（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 为 BC 延长线上的一点，点C 为 BD 的中点．若
DCE  110 ，求BAC 的度数．
19．（6 分）如图，已知ABC 中， BD 是中线．
尺规作图：作出以 D 为对称中心，与BCD 成中心对称的EAD ．
猜想 AB  BC 与2BD 的大小关系，并说明理由．
20．（6 分）如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于 A ， B 两点，拱桥最高点C 到 AB 的距离为9m ， AB  36m ， D ， E 为拱桥底部的两点， DE / / AB ．
以C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽
略自变量取值范围）
若 DE  48m ，求 E 点到直线 AB 的距离．
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10
21．（8 分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放 回．小明摸取了 60 次，结果统计如下：
上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是；小明下一次在袋中摸取小球， 摸到“2”号小球的概率是；
若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小 球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为 5 的概率．
22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的O 半径为 3．
试判断点 A(3,3) 与O 的位置关系，并加以说明．
若直线 y  x  b 与O 相交，求b 的取值范围．
若直线 y  x  3 与O 相交于点 A ， B ．点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，以 A ， B ，
P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点 P 的坐标．
23．（10 分）已知关于 x 的方程 ax2  (2a 1)x  a  2  0 ．
若方程有两个实数根，求 a 的取值范围．
若 x  2 是方程的一个根，求另一个根．
在（1）的条件下，试判断直线 y  (2a  3)x  a  5 能否过点 A(1, 3) ，并说明理由．
24．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 1 x2  ax  a  3  0 ．
2
求证：无论 a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
如图，若抛物线 y   1 x2  ax  a  3 与 x 轴交于点 A(2, 0) 和点 B ，与 y 轴交于点C ，
2
连结 BC ， BC 与对称轴交于点 D ．
①求抛物线的解析式及点 B 的坐标；
②若点 P 是抛物线上的一点，且点 P 位于直线 BC 的上方，连接 PC ，PD ，过点 P 作 PN  x
轴，交 BC 于点 M ，求PCD 的面积的最大值及此时点 P 的坐标．
25．（12 分）已知：如图①， AD 为O 的直径，点 A 为优弧 BC 的中点，延长 BO 交 AC 于点 E ．
求证： BAC  2ABE ；
若BCE 是等腰三角形时，求BCE 的度数；
如图②，若弦 BC 垂直平分半径OD ，连接 DE 交 BC 于点 F ， DF  a ， EF  k  DF ，
SBEF  1 ， M 、N 、P 分别为直线 BD 、BF 、DF 上的三个动点，求MNP 周长的最小值．
2021-2022 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(3, 4) 关于原点对称点的坐标是()
A． (3, 4)B． (3, 4)
C． (3, 4)
D． (4, 3)
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 可以直接得到答案．
【解答】解： P(3, 4) ，
关于原点对称点的坐标是(3, 4) ， 故选： C ．
【点评】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关
于原点对称时，它们的坐标符号相反．
2．（3 分）如图，在O 中， OC  AB ，若BOC  40 ，则OAB 等于()
A． 40B． 50C． 80D．120
【分析】根据垂径定理和圆心角、弧、弦的关系定理的推论求出AOC  BOC  40 ，那么AOB  80 ，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出OAB 的度数．
【解答】解：在O 中， OC  AB ，
 AC  BC ，
AOC  BOC  40 ，
AOB  AOC  BOC  80 ，
 OA  OB ，
OAB  OBA  50 ． 故选： B ．
【点评】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也 考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．难度适中．
3．（3 分）抛物线 y  2(x  3)2  4 的对称轴是()
直线 x  3
直线 x  3
直线 x  4
直线 x  4
【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线 y  2(x  3)2  4 ，
该抛物线的对称轴是直线 x  3 ， 故选： A ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3 分）连续抛掷两次骰子，它们的点都是奇数的概率是()
1
36
1
9
1
4
1
2
【分析】列举出所有情况，看点都是奇数的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：列表如下：
由表可知，共 36 种情况，其中它们的点都是奇数的有 9 种结果，
所以它们的点都是奇数的概率为 9  1 ，
364
故选： C ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
5．（3 分）在一幅长60cm ，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂
1
2
3
4
5
6
1
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
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2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
3
3 1
3 2
3 3
3 4
3 5
3 6
4
4 1
4 2
4 3
4 4
4 5
4 6
5
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
5 6
6
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 2816cm2 ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么 x 满足的方程是()
A． (60  x)(40  2x)  2816
C． (60  2 x)(40  x)  2816
B． (60  x)(40  x)  2816
D． (60  2x)(40  2x)  2816
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为(60  2x)cm ，宽为(40  2x)cm ；则运用面积公式列方程即可．
【解答】解：挂图长为(60  2x)cm ，宽为(40  2x)cm ，
所以根据矩形的面积公式可得： (60  2x)(40  2x)  2816 ． 故选： D ．
【点评】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积
 矩形的长 矩形的宽．
6．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c 的图象如图所示，则一次函数 y  bx  c 的图象不经过(
)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由抛物线的对称轴在 y 轴左侧，得到 a 与b 同号号，根据抛物线开口向下得到 a 小于 0，故b 小于 0，再利用抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴，得到c 大于 0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数 y  bx  c 不经过的象限．
【解答】解：根据函数图象得： a  0 ， c  0 ，
 b
2a
 0 ，
b  0 ，
故一次函数 y  bx  c 的图象不经过第四象限． 故选： D ．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌
握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．
7．（3 分）如图，正六边形螺帽的边长是 4cm ，那么这个正六边形半径 R 和扳手的开口 a 的值分别是()
3
A．2， 2
3
B．4， 4
3
C．4， 2
D．4，
3
【分析】设正六边形的中心为 O ，连接 OA ， OC ， OB ， AB ， AB 与 OC 交于 G ，求得
AOC  360  60 ，根据等边三角形的性质得到OA  AC  4cm ，即这个正六边形半径 R 为
6
4cm ；根据菱形的判定定理得到四边形 ACBO 是菱形，根据菱形的性质得到 AB  OC ，
CAG  1 CAO  30 ，根据勾股定理即可得到结论．
2
【解答】解：设正六边形的中心为O ，连接OA ， OC ， OB ， AB ， AB 与OC 交于G ，
则AOC  360  60 ，
6
 OA  OC ，
AOC 是等边三角形，
OA  AC  4cm ，
即这个正六边形半径 R 为 4cm ；
AOC 是等边三角形， 同理BOC 是等边三角形，
 AC  OA  OB  BC ，
四边形 ACBO 是菱形，
 AB  OC ， CAG  1 CAO  30 ，
2
 AC  4cm ，
CG  2cm ，
AC 2  CG2
 AG  2 3(cm) ，
 a  AB  4 3(cm) ，
即 a 的值是 4 3cm ， 故选： B ．
【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 8．（3 分）如图，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，得到ADE ，若点 D 恰好在CB 的延长线 上，则
CDE 等于()
A．B． 90  
2
C． 90  
2
D．180  2
【分析】证明ABE  ADE  180 ，推出BAD  BED  180 即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知： AB  AD ， ABC  ADE ， BAD  ，
ABC  ABD  180 ，
ABD  ADE  180 ，
 AB  AD ，
ABD  ADB ，
ADB  ADE  2ADB  BED  180 ，
BAD  ，
 2ABD  180 ，
BED  180  (180  )  ． 故选： A ．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于 中考常考题型．
9．（3 分）定义新运算“ a  b ”：对于任意实数 a ， b ，都有 a b  (a  b)2  b ，其中等
式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3  2  (3  2) 2  2  1 ．若 x  k  0(k 为实数） 是关于 x 的方程，且 x  2 是这个方程的一个根，则 k 的值是()
A．4B． 1 或 4C．0 或 4D．1 或 4
【分析】根据定义运算“ a  b ”：对于任意实数 a ， b ，都有 a b  (a  b)2  b ，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
2  k  0 ，
(2  k)2  k  0 ，
 k 2  5k  4  0 ，
 k1  1 ， k2  4 ， 故选： D ．
【点评】本题考查了实数的运算，方程的定义，解一元二次方程 因式分解法，理解定义新运算“ a  b ”是解题的关键．
10．（3 分）已知平面直角坐标系中有点 A(4, 4) ，点 B(a, 0) ，二次函数 y  x2  (k  3)x  2k
的图象必过一定点C ，则 AB  BC 的最小值是()
13
4
2
6
3
13
2
2
【分析】先通过二次函数的解析式求得C 的坐标，然后作C 关于 x 轴的对称点C(2, 2) ，连接 AC ，交 x 轴于 B ，此时，
AB  BC 的值最小，最小值为 AC ．
【解答】解：二次函数 y  x2  (k  3)x  2k  (x  2)(x 1)  (x  2)k  2  (x  2)(x 1  k)  2 ，
图象必过一定点C(2, 2) ，
点C 关于 x 轴的对称点C(2, 2) ，
 A(4, 4) ，
(4  2)2  (4  2)2
2
 AC  6，
2
 AB  BC 的最小值是6，
故选： C ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，轴对称  最小距离问题，正确求得C 的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）若方程 mx2  3x  4  3x2 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 m  3 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是 2；
二次项系数不为 0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：把方程 mx2  3x  4  3x2 转化成一般形式，(m  3)x2  3x  4  0 ，(m  3) 是二次项系数不能为 0，即 m  3  0 ，得 m  3 ．
故答案为： m  3 ．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2  bx  c  0 （且 a  0) ．特别要注意 a  0 的条件．这
是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．（3 分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了 100 条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞 300 条．若其中有标记的鱼有 15 条，则可估计池塘里有鱼 2000 条．
【分析】用原做有标记的鱼的数量除以抽取样本中标记的鱼的数量所占比例即可．
【解答】解：估计池塘里有鱼100  15
300
 2000 （条) ，
故答案为：2000．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表 性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
3
13．（3 分）如图，扇形 AOB 的圆心角为120 ，弦 AB  2
3
4 ．
3
，则图中阴影部分的面积是
【分析】过O 作OC  BA 于 D ，交O 于C ，求出OAB  30 ，根据含30 角的直角三角形的性质得出OA  2OD ，根据勾股定理求出OD ，求出OA ，再分别求出扇形 AOB 和AOB
的面积即可．
【解答】解：过O 作OC  BA 于 D ，交O 于C ，则ADO  90 ，
3
 OC  AB ， OC 过圆心O ， AB  2，
3
 AD  BD ，
 AOB  120 ， OA  OB ，
OAB  OBA  1 (180  AOB)  30 ，
2
OA  2OD ，
由勾股定理得： OA2  OD2  AD2 ，
(2OD)2  OD2  ( 3)2 ，
解得： OD  1 （负数舍去），
 OA  2OD  2 ，
阴影部分的面积 S  S扇形AOB  SAOB
 120 22  1 
3
2
3602
3
 4 ，
3
(2 1)
3
故答案为： 4 ．
3
【点评】本题考查了扇形的面积计算，三角形的面积，直角三角形的性质等知识点，能把求 不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
14．（3 分）已知O 的直径为8cm ，如果直线 AB 上的一点与圆心的距离为 4cm ，则直线 AB
与O 的位置关系是 相切或相交 ．
【分析】分OM  AB 、OM 与 AB 不垂直两种情况，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：设直线 AB 上与圆心的距离为 4cm 的点为 M ， 当OM  AB 时， OM  O 的半径，
直线 AB 与O 相切，
当OM 与 AB 不垂直时，圆心O 到直线 AB 的距离小于OM ，
圆心O 到直线 AB 的距离小于O 的半径，
直线 AB 与O 相交，
综上所述：直线 AB 与O 的位置关系是相切或相交， 故答案为：相切或相交．
【点评】本题考查的是直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r ， 圆心 O 到直线l 的距离为 d ．①直线l 和O 相交 d  r ②直线l 和O 相切 d  r ③直线l 和O 相离 d  r ．
15．（3 分）已知二次函数 y  x2  bx  c 与一次函数 y  mx  n 的图象相交于点 A(2, 4) 和
点 B(6, 2) ，则不等式x2  bx  c  mx  n 的解集是2  x  6 ．
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的 x 的取值范围即可．
【解答】解：根据题意画出函数大致图象如图，
观察函数图象知，当2  x  6 时，抛物线在直线的上方，即x2  bx  c  mx  n ，
不等式x2  bx  c  mx  n 的解集是2  x  6 ． 故答案为2  x  6 ．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用函数图象判定两函数的大小关系， 此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．
16．（3 分）如图，已知RtABC 中， ABC  90 ， ACB  30 ，斜边 AC  4 ，点 P 是三
7
角形内的一动点，则 PA  PB  PC 的最小值是2．
【分析】将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60 ，得到BHG ，连接 PH ， AG ，过点G 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 N ，可证 PA  PB  PC  PA  PH  HG ，则当点 A ，点 P ，点 H ， 点G 共线时， PA  PH  HG 有最小值，最小值为 AG ，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，将 BPC 绕点 B 顺时针旋转60 ，得到 BHG ，连接 PH ， AG ，过点G 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 N ，
ABC  90 ， ACB  30 ， AC  4 ，
3
 AB  2 ， BC  2，
将BPC 绕点 B 顺时针旋转60 ，得到BHG ，
BPC  BHG ，
3
 BP  BH ， PBH  60 ， HG  PC ， BC  BG  2， PBC  GBN ，
PBH 是等边三角形，
 PH  BP ，
 PA  PB  PC  PA  PH  HG ，
当点 A ，点 P ，点 H ，点G 共线时， PA  PH  HG 有最小值，最小值为 AG ，
ABP  PBH  GBH  ABP  PBC  PBH  150 ，
ABG  150 ，
GBN  30 ，
 GN  AB ，
3
GN  1 BG ， BN 
2
 AN  5 ，
3NG  3 ，
AN 2  NG2
25  3
7
 AG  2，
7
 PA  PB  PC 的最小值是 2，
7
故答案为： 2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性
质，勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题，属
于中考压轴题．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。）
17．（4 分）解方程： (x  3)2  2x(x  3)  0 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解： (x  3)(x  3  2x)  0 ，
x  3  0 或 x  3  2x  0 ， 所以 x1  3 ， x2  3 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化 为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 为 BC 延长线上的一点，点C 为 BD 的中点．若
DCE  110 ，求BAC 的度数．
【分析】首先利用圆内接四边形的性质求得BAD ，然后根据等弧对等角求得答案即可．
【解答】解：四边形 ABCD 内接于O ， DCE  110 ，
BAD  DCE  110 ，
点C 为 BD 的中点，
BAC  DAC  1 BAD  55 ．
2
【点评】考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的内接四边形的外角等于它的内 对角，难度不大．
19．（6 分）如图，已知ABC 中， BD 是中线．
尺规作图：作出以 D 为对称中心，与BCD 成中心对称的EAD ．
猜想 AB  BC 与2BD 的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质以及三角形三边关系解决问题即可．
【解答】解：（1）如图， ADE 即为所求．
（2）结论： AB  BC  2BD ． 理由：在ADE 和CDB 中，
DA  DC

ADE  CDB ，

DE  DB
ADE  CDB(SAS ) ，
 AE  BC ，
 AB  AE  BE ，
 AB  BC  2BD ．
【点评】本题考查作图 旋转变换，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（6 分）如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于 A ， B 两点，拱桥最高点C 到 AB 的距离为9m ， AB  36m ， D ， E 为拱桥底部的两点， DE / / AB ．
以C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽
略自变量取值范围）
若 DE  48m ，求 E 点到直线 AB 的距离．
【分析】（1）根据建立的坐标系，用待定系数法求函数解析式；
（2）把 x  24 代入（1）中解析式求出 y 的值，再求 EF 即可．
【解答】解：（1）由题意建立如图所示坐标系：
 AB  36m ， CH  9m ，
 B(18, 9) ，
设抛物线解析式为 y  ax2 ，
把点 B 坐标代入抛物线解析式得： 9  324a ，
解得： a   1 ，
36
抛物线解析式为 y   1
36
x2 ；
（2） DE  48 ，
当 x  24 时， y   1  242  16 ，
36
 EF  9  (16)  9  16  7 ，
 E 点到直线 AB 的距离7m ．
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解答本题是建立平面直角坐标系求函数解析式． 21．（8 分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放 回．小明摸取了 60 次，结果统计如下：
上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是7
30
；小明下一次在袋中摸取小球，
摸到“2”号小球的概率是；
若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小 球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为 5 的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有 16 种等可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有 4
种，再由概率公式求解即可；
画树状图，共有 12 种等可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为 5 的结果有 4 种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由图表中数据，小明摸取到“2”号小球的频率是： 14  7 ，
小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是： 1 ，
4
6030
故答案为： 7
30
， 1 ；
4
画树状图如下：
共有 16 种等可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有 4 种，
小明两次摸取到小球的标号相同的概率为 4  1 ；
164
画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为 5 的结果有 4 种，
小明摸出两个小球标号的和为 5 的概率为 4  1 ．
123
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概 率 所求情况数与总情况数之比．
22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的O 半径为 3．
试判断点 A(3,3) 与O 的位置关系，并加以说明．
若直线 y  x  b 与O 相交，求b 的取值范围．
若直线 y  x  3 与O 相交于点 A ， B ．点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，以 A ， B ，
P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点 P 的坐标．
【分析】（1）计算OA 与半径 3 进行比较即可；
当直线 y  x  b 与O 相切于点C 时，求出OB 的长度，即可得出相交时b 的范围；
首先得出 A(0, 3) ， B(3, 0) ，分 AB  AP ， BA  BP ， PA  PB 三种情形，分别计算即可．
【解答】解：（1） A(3, 3) ，
2
OA  3，
2
3 3 ，
点 A 在O 外；
如图，当直线 y  x  b 与O 相切于点C 时，连接OC ， 则OC  3 ，
CBO  45 ，
2
OB  3，
2
2
直线 y  x  b 与O 相交时， 3 b  3；
直线 y  x  3 与O 相交于点 A ， B ．
 A(0, 3) ， B(3, 0) ，
2
 AB  3，
2
当 BA  BP  3时，
2
 P1 (3  3
， 0) ， P2 (3  3
， 0) ，
2
当 AB  AP 时，
 AO  x 轴，
 BO  OP ，
 P3 (3, 0) ，
当 PB  PA 时，点 P 与O 重合，
 P4 (0, 0) ，
2
点 P 的坐标为(3  3
， 0) 或(3  3
， 0) 或(3, 0) 或(0, 0) ．
2
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三 角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
23．（10 分）已知关于 x 的方程 ax2  (2a 1)x  a  2  0 ．
若方程有两个实数根，求 a 的取值范围．
若 x  2 是方程的一个根，求另一个根．
在（1）的条件下，试判断直线 y  (2a  3)x  a  5 能否过点 A(1, 3) ，并说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于 0，求出 a 的范围即可；
把 x  2 代入方程求出 a 的值，进而求出另一根即可；
把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，根据（1）的范围判断即可．
【解答】解：（1）关于 x 的方程 ax2  (2a 1)x  a  2  0 ，有两个实数根，
 a  0 ， (2a  1)2  4a(a  2)0 ，
整理得： 4a2  4a  1  4a2  8a0 ，即12a1， 解得： a  1 且 a  0 ；
12
（2）把 x  2 代入方程得： 4a  2(2a  1)  a  2  0 ， 去括号得： 4a  4a  2  a  2  0 ，
解得： a  4 ，
方程为 4x2  9x  2  0 ，
设另一根为 m ，则有 2m  2 ， 解得： m  1，
两根之积为 1 ，一根为 2，
2
另一根为 1 ；
4
（3）把 A(1, 3) 代入直线解析式得： 3  (2a  3)  a  5 ， 去括号得： 3  2a  3  a  5 ，
移项合并得： 3a  5 ，
解得： a  5 ，
3
经检验： a  5 满足（1）中的范围，
3
则直线 y  (2a  3)x  a  5 过点 A(1, 3) ，此时 a  5 ．
3
【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的解，以及一次函数图象 上点的坐标特征，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
24．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 1 x2  ax  a  3  0 ．
2
求证：无论 a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
如图，若抛物线 y   1 x2  ax  a  3 与 x 轴交于点 A(2, 0) 和点 B ，与 y 轴交于点C ，
2
连结 BC ， BC 与对称轴交于点 D ．
①求抛物线的解析式及点 B 的坐标；
②若点 P 是抛物线上的一点，且点 P 位于直线 BC 的上方，连接 PC ，PD ，过点 P 作 PN  x
轴，交 BC 于点 M ，求PCD 的面积的最大值及此时点 P 的坐标．
【分析】（1）令 y  0 ，得到一元二次方程，说明方程的判别式△  0 即可；
（2）①利用待定系数法将点 A 坐标代入解析式求得 a 值即可求出二次函数的解析式；令
y  0 ，解一元二次方程 1 x2  x  4  0 即可得出结论；
2
② 设点 P(x ， 1 x2  x  4)(0  x  4) ， 则线段 ON ， PN ， NE 的长度可得， 利用
2
SPCD  S四边形OCPN  S四边形OCDE  S四边形DENP ，得到 SPCD 与 x 的函数关系式，利用配方法即可求得PCD 的面积的最大值，利用此时的 x 的值即可求得点 P 坐标．
【解答】（1）证明：关于 x 的一元二次方程 1 x2  ax  a  3  0 ，
2
△  a2  4  ( 1 )  (a  3)  a2  2a  6  (a  1)2  5 ，
2
(a 1)20 ，
△  (a 1)2  55 ，
△  0 ，
无论 a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：①抛物线 y   1 x2  ax  a  3 与 x 轴交于点 A(2, 0) ，
2
 1  (2)2  2a  a  3  0 ，
2
解得： a  1，
 y   1 x2  x  4 ，
2
令 y  0 ，则 1 x2  x  4  0 ，
2
解得： x1  2 ， x2  4 ，
抛物线与 x 轴的交点为(2, 0) 和(4, 0) ，
 A(2, 0) ，
 B(4, 0) ，
抛物线的解析式为 y   1 x2  x  4 ， B 点坐标为(4, 0) ；
2
②由（2）知，抛物线解析式为 y   1 x2  x  4 ，
2
对称轴为 x  
1
2  ( 1)
2
 1 ，
令 x  0 ，则 y  4 ，
C(0, 4) ，
设直线 BC 的解析式为 y  kx  b ，
 B(4, 0) ， C(0, 4) ，
b  4
则4k  b  0 ，

b  4
解得： k  1 ，

直线 BC 的解析式为 y  x  4 ，
 D(1, 3) ，
设抛物线的对称轴于 x 轴交于点 E ，如图，
OE  1， DE  3 ．
 C(0, 4) ，
 OC  4
设点 P(x ， 1 x2  x  4)(0  x  4) ，
2
ON  x ， PN   1 x2  x  4 ，
2
 EN  ON  OE  x  1，
 SPCD  S四边形OCPN  S四边形OCDE  S四边形DENP
 1 (OC  PN )  ON  1 (OC  DE)  OE  1 (DE  PN )  EN
222
 1 (4  1 x2  x  4)  x  1 (4  3) 1  1 (3  1 x2  x  4)(x  1)
22222
  1 x2  x
4
  1 (x  2)2  1 ，
4
 1  0 ，
4
当 x  2 时， SPCD 有最大值 1． 此时点 P 的坐标为(2, 4) ．
【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，待定系数法，配方法确定抛物线的顶点坐标，
一元二次方程根的判别式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象 上点的坐标的特征，梯形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
25．（12 分）已知：如图①， AD 为O 的直径，点 A 为优弧 BC 的中点，延长 BO 交 AC 于点 E ．
求证： BAC  2ABE ；
若BCE 是等腰三角形时，求BCE 的度数；
如图②，若弦 BC 垂直平分半径OD ，连接 DE 交 BC 于点 F ， DF  a ， EF  k  DF ，
SBEF  1 ， M 、N 、P 分别为直线 BD 、BF 、DF 上的三个动点，求MNP 周长的最小值．
【分析】（1）可证得点 D 是 BC 的中点，所以BAC  2BAD ，而BAD  ABE ，进而命题得证；
设ABE  x ，则BAC  2x ，当 BE  BC 时，表示出BEC  ABE  BAC  3x ， 进而ABC  C  3x ，在ABC 中，由三角形内角和定理可求得结果，当 BC  BE 时，同样方法求得结果；
作 BP  DE 于 P ．作 FM  BD 于 M ， AD 与 BF 交于 N ，则MNP 的周长最小，作点 P 关于 BF 的对称点 P ， P 点关于 BD 的对称点 P ，连接 PP ，先求出CBD  30 ， 进而可得出△ PBP 是等边三角形，进一步求得结果．
【解答】（1）证明： OA  OB ，
BAD  ABE ，
点 A 为优弧 BC 的中点， AD 是直径，
点 D 是 BC 的中点，
BAC  2BAD ，
BAC  2ABE ；
解：设ABE  x ，则BAC  2x ， 当 BE  BC 时， ABC  C  BEC ，
BEC  ABE  BAC  3x ，
ABC  C  3x ，
在ABC 中，由三角形内角和定理得，
2x  3x  3x  180 ，
 x  22.5 ，
BCE  3x  67.5 ， 当 BC  BE 时，
CBE  BEC  3x ，
C  ABC  ABE  CBE  4x ，
 2x  4x  4x  180 ，
 x  18 ，
BCE  4x  72 ，
综上所述： BEC  67.5 或72 ；
解：如图，
作 BP  DE 于 P ．作 FM  BD 于 M ， AD 与 BF 交于 N ，则MNP 的周长最小， 作点 P 关于 BF 的对称点 P ， P 点关于 BD 的对称点 P ，连接 PP ，
 BP  BP  BP ， PBC  NBP ， PBD  PBD ，
PBP  2CBD ，
 BC 垂直平分OD ，
OD  OB  BD ，
ADB  60 ，
 AB  AB ，
C  ADB  60 ，
 AB  AC ，
 AB  AC ，
ABC 是等边三角形，
DAC  BAD  1 BAC  30 ，
2
 DC  DC ，
CBD  DAC  30 ，
PBP  60 ，
△ BPP 是等边三角形，
 PP  BP  BP ，
 MN  PN  PM 
 EF  k  DF ， SBEF  1 ，
 SBDF
 1 ，
k
 1 DF  BP  1 ，
2k
即： 1 a  BP  1 ，
2k
 BP  2 ，
ak
MNP 的周长最小值是： 2 ．
ak
【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理的推论，圆周角定 理等知识，解决问题的关键熟悉“垂足三角形”的周长最小．