江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】，共14页。试卷主要包含了函数的零点所在的大致区间为，函数f，设函数f，已知函数y＝f，若0＜m＜1＜a＜b，则，定义在R上的函数f，已知f等内容，欢迎下载使用。
1．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）
2．函数f（x）＝x+lg2x﹣4的零点为x1，函数g（x）＝x+lga（x﹣1）﹣5（a＞1）的零点为x2，若x2﹣x1＞1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）
3．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减
C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增
D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减
4．已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|lg2x|，若0＜m＜n且f（m）＝f（n），则2m+n的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．D．
二．多选题（共5小题）
（多选）5．设a＞0，b＞0，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．M有最小值B．M没有最大值
C．N有最大值为D．N有最小值为
（多选）6．若0＜m＜1＜a＜b，则（ ）
A．ma＜mbB．am＜bm
C．lgma＜lgmbD．
（多选）7．已知函数y＝f（x），对于任意x，y∈R，＝f（x﹣y），则（ ）
A．f（0）＝1B．f（x2）＝2f（x）
C．f（x）＞0D．≥f（）
（多选）8．定义在R上的函数f（x），对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，且当x＞0时，f（x）＞f（0）恒成立，下列说法正确的是（ ）
A．f（0）＝﹣1
B．函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
C．函数g（x）＝f（x）+1为奇函数
D．函数f（x）为R上的增函数
（多选）9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则（ ）
A．f（x）是以2为周期的周期函数
B．点（﹣3，0）是函数f（x）的一个对称中心
C．f（2021）+f（2022）＝﹣2
D．函数y＝f（x）﹣lg2（x+1）有3个零点
三．填空题（共3小题）
10．设函数，则满足的x的取值范围是 ．
11．已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x都有（x﹣1）f（x）＝xf（x﹣1）成立，则＝ ．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且当x∈[0，4）时，f（x）＝2x+m，若f（2023）＝3f（1），则m＝ ．
四．解答题（共5小题）
13．设函数f（x）和g（x）的定义域为（﹣1，1），若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）﹣g（x）＝2lg（1﹣x）．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给出证明．
14．设a为实数，已知函数，g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a．
（1）若函数f（x）和g（x）的定义域为[1，+∞），记f（x）的最小值为M1，g（x）的最小值为M2.当M2≤M1时，求a的取值范围；
（2）设x为正实数，当g（x）＞0恒成立时，关于x的方程f（g（x））+a＝0是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由．
15．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x），g（x）＝（2x﹣2﹣x）．
（1）利用函数单调性的定义，证明：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（2）已知F（x）＝4f2（x）﹣4mf（x）+9，其中m是大于1的实数，当x∈[0，lg2m]时，F（x）≥0，求实数m的取值范围；
（3）当a≥0，判断与af（x）+（1﹣a）的大小，并证明你的结论．
16．已知函数f（x）＝x2+bx+c，满足f（x）＝f（1﹣x），其一个零点为﹣1．
（1）当m≥0时，解关于x的不等式mf（x）≥2（x﹣m﹣1）；
（2）设h（x）＝3|f（x）+3x﹣1|，若对于任意的实数x1，x2∈[﹣2，2]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤M，求M的最小值．
17．已知函数．
（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；
（2）当b＝1时，若函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足g（x）＝f（x）（3x+1）+3﹣x．
①求f（x）及g（x）的表达式；
②若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：易知函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f（e）＝1﹣＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，
∴f（e）•f（3）＜0，
∴函数的零点所在的大致区间为（e，3）．
故选：D．
2．【解答】解：f（x）＝x+lg2x﹣4的零点为x1，
所以x1+lg2x1﹣4＝0，
因为g（x）＝x+lga（x﹣1）﹣5（a＞1）的零点为x2，所以g（x2）＝x2+lga（x2﹣1）﹣5＝0，
所以x1+lg2x1﹣4＝x2﹣1+lga（x2﹣1）﹣4，
所以x1+lg2x1＝x2﹣1+lga（x2﹣1），
又因为x2﹣x1＞1，
所以x1＜x2﹣1，
又因为y＝x+lg2x，y＝x﹣1+lga（x﹣1）（a＞1）这两个函数均单调递增，
当x1＜x2﹣1时，lg2x1＞lga（x2﹣1），
解得a＞2．
故选：D．
3．【解答】解：由，得x．
又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，
∵＝＝．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，
则（，+∞）上单调递减．
又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．
故选：D．
4．【解答】解：由题意函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|lg2x|，若0＜m＜n且f（m）＝f（n），
可得，﹣lg2m＝lg2n，化简可得 mn＝1．
∴2m+n≥2＝2，当且仅当2m＝n时，等号成立．
故2m+n的取值范围为[2，+∞），
故选：D．
二．多选题（共5小题）
5．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以M＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以M有最小值为2，没有最大值，故A正确，B正确；
因为，所以N＝＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以N有最小值为，没有最大值，故C错误，D正确，
故选：ABD．
6．【解答】解：对于选项A，∵0＜m＜1，
∴函数y＝mx在R上是减函数，
又∵a＜b，
∴ma＞mb，
故错误；
对于选项B，∵0＜m＜1，
∴函数y＝xm在（0，+∞）上是增函数，
又∵a＜b，
∴am＜bm，
故正确；
对于选项C，∵0＜m＜1，
∴函数y＝lgmx在（0，+∞）上是减函数，
又∵1＜a＜b，
∴lgma＞lgmb，
故错误；
对于选项D，
﹣＝，
∵0＜m＜1＜a＜b，
∴＞0，
即＞，
故正确；
故选：BD．
7．【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则有1＝f（0），故正确；
对于B，由已知＝f（x﹣y），可得f（x）＝f（y）f（x﹣y），
所以f（x+y）＝f（x）f（y），①
令f（x）＝ax（a＞0且a≠1）满足题干要求，2f（x）＝2ax，f（x2）＝，则f（x2）≠2f（x），故B错误；
对于C，由①可知：令x＝，y＝，则f（x）＝f（）f（）＝[f（）]2，
又因为＝f（x﹣y），
则f（）≠0，
所以f（x）＝[f（）]2＞0，故C正确；
对于D，因为f（x）＞0，
所以f（x）+f（y）≥2＝2，又由①，令x＝y＝，
则f（x+y）＝f（）f（）＝[f（）]2，
所以≥f（），故D正确．
故选：ACD．
8．【解答】解：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，
可得x1＝x2＝0时，f（0）＝2f（0）+1，解得f（0）＝﹣1，故A正确；
令x1＝x，x2＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）+1，
可得[f（﹣x）+1]+[f（x）+1]＝0，则g（﹣x）＝﹣g（x），即g（x）＝f（x）+1为奇函数，故C正确；
当x＞0时，f（x）＞f（0）恒成立，可得g（x）＝f（x）+1＞0恒成立，
设x1＜x2，即x2﹣x1＞0，可得g（x2﹣x1）＝f（x2﹣x1）+1＝f（x2）+f（﹣x1）+2
＝[f（x2）+1]+[f（﹣x1）+1]＞0，即为g（x2）＞﹣g（﹣x1）＝g（x1），
所以g（x）在R上递增，即f（x）在R上递增，故B错误，D正确．
故选：ACD．
9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即f（﹣x）＝﹣f（2+x），
f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），则（1，0）是函数f（x）的一个对称中心，
又由函数f（x）是周期为4的周期函数，则点（﹣3，0）是函数f（x）的一个对称中心，B正确；
对于C，函数f（x）是周期为4的周期函数，且对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），
则f（2021）+f（2022）＝f（1）+f（2）＝f（1）﹣f（0）＝2，C错误；
对于D，作出函数f（x）与y＝lg2（x+1）的图象，易得两个函数有3个交点，
则函数y＝f（x）﹣lg2（x+1）有3个零点，D正确；
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
10．【解答】解：①当x≤0时，x﹣＜0，
∴f（x）+f（x﹣）＝2x+1+2（x﹣）+1＝4x﹣1≤﹣1，
则在x≤0时无解；
②当0时，x﹣≤0，
∴f（x）+f（x﹣）＝3x+2（x﹣）+1＝3x+2x﹣2，在R上单调递增，且x＝1时，3+2﹣2＝3，
则的解集为（1，]；
③当x时，x﹣＞0，
∴f（x）+f（x﹣）＝＞3，
则在x时恒成立，
综上所述，的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
11．【解答】解：因为对于任意实数x都有（x﹣1）f（x）＝xf（x﹣1）成立，
令x＝0可得，f（0）＝0，
令x＝可得﹣＝，
则f（）＝0，
当x≠0，1时，若f（x﹣1）＝0，则f（x）＝0，
则f（）＝f（）＝f（）＝f（）＝0，
则＝0．
故答案为：0．
12．【解答】解：函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），
则f（x）的周期为4，
f（2023）＝f（3）＝8+m＝3（2+m），解得m＝1．
故答案为：1．
四．解答题（共5小题）
13．【解答】解：（1）根据题意：f（﹣x）﹣g（﹣x）＝2lg（1+x）；
∴f（x）+g（x）＝2lg（1+x），联立f（x）﹣g（x）＝2lg（1﹣x）得：
f（x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）＝lg（1﹣x2），
g（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＝lg；
（2）f（x）＝lg（1﹣x2）在（0，1）上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝lg（1﹣x12）﹣lg（1﹣x22），
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x12＜x22，
∴1﹣x12＞1﹣x22，
∴lg（1﹣x12）＞lg（1﹣x22），
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
14．【解答】解：（1）当x≥1时，2x≥2，﹣，
所以f（x）＝，当x＝1时取等号，即M1＝，
当x≥1时，lnx≥0，g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a＝（lnx﹣1）2+a﹣1，
根据二次函数的性质可知，当lnx＝1，即x＝e时g（x）取得最小值M2＝a﹣1，
当M2≤M1时，a﹣1，
所以a，
故a的取值范围为（﹣∞，]；
（2）因为g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a＝（lnx﹣1）2+a﹣1＞0恒成立，
所以a﹣1＞0，即a＞1，
此时2g（x）＞1，0＜＜1，
则f（g（x））+a＝2g（x）﹣+a＞0，
所以关于x的方程f（g（x））+a＝0不存在实数解．
15．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（+）﹣（+）
＝＝＝（1﹣），
因为0≤x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，＞1，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（2）解：F（x）＝4f2（x）﹣4mf（x）+9＝4（）2﹣4m（）+9，
设t＝，因为f（x）在[0，lg2m]上单调递增，所以t∈[1，]，
所以F（x）≥0，即4t2﹣4mt+9≥0，所以m≤t+，
①m≥时，≥，即t+≥2＝3，当且仅当t＝时等号成立，
此时m≤3，所以≤m≤3；
②1＜m＜时，＜，此时y＝t+在[1，]上单调递减，
即t＝时，ymin＝+，
此时m≤+，化简得m4﹣9m2﹣1≤0，
因为1＜m＜，1＜m2≤，此时m4﹣9m2﹣1≤0恒成立，
综上，实数m的取值范围是（1，3]．
（3）解：﹣af（x）﹣（1﹣a）＝﹣a•﹣1+a＝a﹣﹣a•＝a（1﹣）﹣，
因为2x+≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以≥1，即1﹣≤0，
由已知a≥0，所以a（1﹣）≤0，
又因为2x＞0，所以＞0，所以a（1﹣）﹣＜0，
即﹣af（x）﹣（1﹣a）＜0，所以＜af（x）+（1﹣a）．
16．【解答】解：（1）因为f（x）＝f（1﹣x），则x2+bx+c＝（1﹣x）2+b（1﹣x）+c，得b＝﹣1，
又其一个零点为﹣1，则f（﹣1）＝1+1+c＝0，得c＝﹣2，
则函数的解析式为f（x）＝x2﹣x﹣2，
则m（x2﹣x﹣2）≥2（x﹣m﹣1），即mx2﹣（m+2）x+2＝（mx﹣2）（x﹣1）≥0，
当m＝0时，解得：x≤1，
当m＞0时，①m＝2时，解集为R，
②0＜m＜2时，解得：x≤1或，
③m＞2时，解得：或x≥1，
综上：当m＝0时，x∈（﹣∞，1]，
当m＞0时，
①m＝2时，解集为R，
②0＜m＜2时，x∈（﹣∞，1]∪[，+∞），
③m＞2时，x∈（﹣∞，]∪[1，+∞），
（2）对于任意的x1，x2∈[﹣2，2]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤M，
即M≥h（x）max﹣h（x）min，
令t＝|x2+2x﹣3|＝|（x+1）2﹣4|，则h（t）＝3t，
因为x∈[﹣2，2]，则tmin＝0，tmax＝5，
可得，，
则h（x）max﹣h（x）min＝243﹣1＝242，
即M≥242，即M的最小值为242．
17．【解答】解：（1）f（x）＝3x即＝3x，
设t＝3x，t＞0，可得t2﹣4t﹣5＝0，
解得t＝5（﹣1舍去），
由3x＝5，可得x＝lg35；
（2）①b＝1时，f（x）＝，
若函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
即1+a＝0，解得a＝﹣1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）＝；
函数g（x）满足g（x）＝f（x）（3x+1）+3﹣x＝3x+3﹣x﹣1；
②对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，
即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，即32x+3﹣2x+9≥m（3x+3﹣x﹣1）恒成立．
设k＝3x+3﹣x﹣1，由x∈R且x≠0，可得k＞2﹣1＝1．
由3x+3﹣x＝k+1，可得32x+3﹣2x+9＝（k+1）2+7＝k2+2k+8，k＞2．
所以m≤＝k++2在k＞2恒成立，
由k++2≥2+2＝4+2，当且仅当k＝2时，取得等号，
可得m≤2+4，
则m的最大值为2+4．