江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】，共20页。试卷主要包含了若sin是函数f，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
1．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，BC＝2AD＝2AB＝2，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．2π
2．在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆C1：x2+（y﹣3）2＝1上的一点，B，C是圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上的两点，则∠BAC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正实数a，b，c满足＝2a﹣a，＝3b﹣b，＝4c﹣c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜a＜c
4．若sin是函数f（x）＝ax3﹣bx+1（a，b∈N*）的一个零点，则f（1）＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an+1＝an+bn，bn+1＝an﹣bn，则an＝（ ）
A．2n﹣1B．
C．D．
6．已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小为π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84π
二．多选题（共5小题）
（多选）7．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x﹣2经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与抛物线相交于A，B两点，则（ ）
A．p＝2
B．|AB|＝16
C．线段AB的中点到y轴的距离为6
D．OA⊥OB
（多选）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝，AA1＝1，P为棱C1D1的中点，Q为底面ABCD上（含边界）的一动点．记点Q轨迹的长度为L，则下列说法正确的有（ ）
A．若PQ⊥B1C，则L＝2
B．若PQ∥平面A1BC1，则L＝
C．若PQ＝，则L＝π
D．若C到平面A1PQ的距离为，则L＝2
（多选）9．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形且∠DAB＝，A1A＝AB，∠A1AB＝∠A1AD，O为A1C1的中点，P为线段AB1上的动点，则下列命题正确的是（ ）
A．可作为一组空间向量的基底
B．可作为一组空间向量的基底
C．直线OP∥平面C1BD
D．向量在平面AB1D1上的投影向量为
（多选）10．已知函数f（x）＝cs2x，，则（ ）
A．将函数y＝f（x）的图象右移个单位可得到函数y＝g（x）的图象
B．将函数y＝f（x）的图象右移个单位可得到函数y＝g（x）的图象
C．函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线对称
D．函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于点对称
（多选）11．已知数据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，若去掉x4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记x1，x2，x3，x4的平均数与方差为，，记x4，x5，x6，x7的平均数与方差为，，则（ ）
A．
B．
C．﹣＞[（xk﹣x4）2﹣（xk﹣x4）2]
D．﹣＜[（xk﹣x4）2﹣（xk﹣x4）2]
三．填空题（共3小题）
12．已知单位向量，的夹角为θ，向量＝﹣，若|c|∈Z，则csθ＝ ．（写出一个可能值）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过O的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若FB⊥AB，∠AFB+∠AOF＝π，则C的离心率为 ．
14．已知点P是双曲线C：＝1（a，b＞0）与圆x2+y2＝a2+c2在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率e＝ ．
四．解答题（共6小题）
15．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，设Sn为{an}的前项和，数列{bn}满足bn＝4Sn﹣2n（n∈N*）．
（1）若a1＝﹣1，d＝1，且bn＜an，求n；
（2）若数列{}也是公差为d的等差数列，求数列{（﹣1）nbn}的前n项和Tn．
16．已知函数f（x）＝．
（1）求f（x）的极值；
（2）证明：f（x）＜+．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：（a＞b＞0）经过点A（﹣4，0），B（2，3），直线AB与y轴交于点P，过P的直线l与Γ交于C，D两点（异于A，B），记直线AC和直线BD的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．
（1）求Γ的标准方程；
（2）求﹣的值；
（3）设直线AC和直线BD的交点为Q，求证：Q在一条定直线上．
18．已知点F1，F2为椭圆C：+y2＝1的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足F1P∥F2Q，且P，Q在x轴上方，直线F1Q，F2P交于点G．已知直线PF1的斜率为k（k＞0）．
（Ⅰ）当k＝1时，求|PF1|+|QF2|的值；
（Ⅱ）记△PF1G，△QF2G的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值．
19．我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水．某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
（Ⅰ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？
（Ⅱ）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求P（B|A）．
参考公式与数据：．
20．定义满足f（x0）＝f'（x0）的实数x0为函数y＝f（x）的然点．已知f（x）＝（lnx+a）e﹣x．
（Ⅰ）证明：对于∀a∈R，函数y＝f（x）必有然点；
（Ⅱ）设x0为函数y＝f（x）的然点，判断函数g（x）＝f（x）﹣f（x0）的零点个数并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：如图，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，BC＝2AD＝2AB＝2，
以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，
则该几何体为圆锥与圆柱的组合体，圆锥与圆柱的底面半径为1，高均为1，
则该几何体的体积V＝．
故选：B．
2．【解答】解：A是圆C1：x2+（y﹣3）2＝1上的一点，B，C是圆C2：（x﹣4）2+y2＝4上的两点，
可知A与圆C2距离最短，并且过A与圆C2：（x﹣4）2+y2＝4相切时，∠BAC取得最大值，
此时|AC2|＝﹣1＝4，sin∠BAC2＝＝，可得∠BAC2＝，∠BAC＝．
故选：B．
3．【解答】解：由＝2a﹣a得，2+＝2a﹣a，
∴，
∴函数y＝x+与函数y＝2x﹣2的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为a，
同理，函数y＝x+与函数y＝3x﹣3的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为b，
函数y＝x+与函数y＝4x﹣4的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为c，
在同一个平面直角坐标系中画出函数函数y＝x+，y＝2x﹣2，y＝3x﹣3，y＝4x﹣4的图象，如图所示：
由图可知，c＜b＜a．
故选：A．
4．【解答】解：由顶角为36°的等腰三角形可得sin＝＝，所以sin3＝＝﹣，
故a（﹣）﹣b（）+1＝0，
即（a﹣2b）﹣2a+2b+8＝0，
因为a，b∈N*，
可得a＝2b，b﹣a＝﹣4，
可得a＝8，b＝4．
所以f（1）＝a﹣b+1＝5．
故选：D．
5．【解答】解：根据an+1＝an+bn，bn+1＝an﹣bn，相加可得an+1+bn+1＝2an，
所以an+2＝an+1+bn+1＝2an，可知{an}的奇数项与偶数项分别成公比为2的等比数列，
由a1＝b1＝1，得a2＝a1+b1＝2，所以{an}的各项为：1，2，2，4，4，8，8，⋯，
奇数项的通项公式为an＝，偶数项的通项公式为an＝＝，
因此，数列{an}的通项公式为an＝＝，D项符合题意．
故选：D．
6．【解答】解：取AB中点E，连接CE，DE，
因为△ABC 是边长为6的正三角形，，
则由三线合一可知AB⊥DE，AB⊥CE，
所以二面角D﹣AB﹣C的平面角为，
取三角形ABC的外心O1，设外接球的球心为O，则OO1平面ABC，
且OA＝OB＝OC＝OD＝r，其中r为四面体ABCD外接球的半径，
过点D作DG垂直平面ABC，垂足为点G，由对称性可知点G必定落在O1E的延长线上面，
由几何关系，设DF＝x，
由正弦定理边角互换得，
进而O1E＝CE﹣CO1＝，
由勾股定理得，
从而，，
所以，，
所以由OD＝OC＝r，得，解得，，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为4πr2＝52π．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
7．【解答】解：∵直线l：y＝x﹣2经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴焦点为（2，0），可得＝2，p＝4，A错；
故抛物线方程为：y2＝8x，
联立，可得（x﹣2）2＝8x，即x2﹣12x+4＝0，
则x1+x2＝12，x1x2＝4，
故|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16；B对；
线段AB的中点到y轴的距离为：＝6；C对；
•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣12，D错．
故选：BC．
8．【解答】解：对A选项，如图，
设Q在BC上的射影为M，PQ⊥B1C，即C1M⊥B1C，
易得，故L＝MN＝2，故A选项正确；
对B选项：如图，取AB，BC中点E，F，
显然有PE∥BC1，EF∥A1C1，
进而可得平面PEF∥平面A1BC1，故，故B选项错误；
对C选项：如图，设P在CD上的射影为N，
由PQ＝，PN＝1，易得NQ＝1，
故Q在以N为圆心，1为半径的半圆弧上，故L＝π，故C选项正确；
对D：以D为原点建系如图，
则，设Q（m，n，0），m∈[0，]，n∈[0，2]，
所以，，，
设平面A1PQ的法向量为，
则，取，
所以C到平面A1PQ的距离为＝＝，
所以，
所以，
即或，
即或，
但当Q（m，n，0）满足时，直线在矩形ABCD外，
所以L＝＝2，故D选项正确．
故选：ACD．
9．【解答】解：如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，对于选项A，
，三个向量都在平面AB1D1，
即三个向量共面，则也共面，
不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；
对于选项B，两个向量都在平面OAD，显然直线AB与平面OAD是相交关系，
不与平面OAD平行，故三个向量不共面，
可作为一组空间向量的基底，选项B正确；
对于选项C，由于BD∥B1D1，AB1∥DC1，易得B1D1∥平面C1BD，AB1∥平面C1BD，
从而有平面AB1D1∥平面C1BD，且OP⊂平面AB1D1，
所以直线OP∥平面C1BD，选项C正确；
对于选项D，取作为一组空间向量的基底，
，，
，
其中，
因为底面ABCD为菱形，且，，∠A1AB＝∠A1AD，
得，，所以，
即，OC⊥B1D1，其中，
显然，[（+）]2＝（2+2+2•）＝（2+2+22cs）＝2，
所以，即，OC⊥OA，因为OC⊥B1D1，OC⊥OA，
且B1D1⊂平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1，B1D1∩OA＝O，所以OC⊥平面AB1D1，
所以向量在平面AB1D1上的投影向量为，选项D正确．
故选：BCD．
10．【解答】解：函数f（x）＝cs2x＝sin（2x+），，
对于A，函数y＝f（x）的图象右移个单位可得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）＝g（x），故A正确；
对于B，函数y＝f（x）的图象右移个单位可得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）≠g（x），故B错误；
对于C，函数y＝f（x）的图象关于x＝对称的函数为f（﹣x）＝cs2（﹣x）＝cs（2x﹣）＝sin（2x+）＝g（x），故C正确；
对于D，函数y＝f（x）的图象关于点对称的函数为﹣f（﹣x）＝﹣cs2（﹣x）＝﹣cs（﹣2x）＝﹣cs（﹣﹣2x）＝sin（2x+）＝g（x），故D正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：因为，
所以x1+x2+x3+x5+x6+x7＞6x4，
所以（x1+x2+x3+x4）+（x4+x5+x6+x7）＞8x4，所以，故A正确，B错误；
＝＝ ＝，故C正确，D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．【解答】解：因为＝﹣，单位向量，的夹角为θ，
所以||＝＝，
因为||∈Z，csθ∈[﹣1，1]，，
所以csθ＝或．
故答案为：或．
13．【解答】解：设双曲线的焦距为2c，则F（c，0），
设B（m，n），m＞0，n＞0，则A（﹣m，﹣n），
因为FB⊥AB，
所以＝（m﹣c，n）•（2m，2n）＝2m（m﹣c）+2n2＝0，即m2+n2＝mc，
又∠AFB+∠AOF＝π，
所以∠AFB＝π﹣∠AOF＝∠BOF，
所以tan∠AFB＝tan∠BOF，
而tan∠AFB＝tan（∠AFO+∠BFO）＝＝＝＝＝，
tan∠BOF＝，
所以＝，即m＝，
又m2+n2＝mc，所以n＝m＝，
因为点B在双曲线上，所以，
所以，
又b2＝c2﹣a2，所以c4﹣12a2c2+9a4＝0，
两边同时除以a4，得e4﹣12e2+9＝0，
解得e2＝，
所以e＝＝＝＝，
因为e＞1，所以e＝．
故答案为：．
14．【解答】解：联立，取x＞0，y＞0，解得，即P（，），
设点P关于双曲线C的渐近线y＝﹣的对称点为点Q，则Q恰好在y轴负半轴上，且|OQ|＝|OP|＝，
所以Q（0，﹣），
因为点P与点Q关于渐近线y＝﹣对称，
所以直线PQ的斜率为，
所以＝，即＝，
化简得a2＝2b2，
所以离心率e＝＝＝．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
15．【解答】解：（1）由题意得an＝﹣1+（n﹣1）＝n﹣2，
所以，
所以，
因为bn＜an，所以2n2﹣8n＜n﹣2，所以，
又因为n∈N*，所以n＝1，2，3，4；
（2）因为是公差为d的等差数列，所以设，
又因为，
所以对任意n∈N*恒成立，
即对任意n∈N*恒成立，
所以，
又因为d≠0，所以，所以，
所以，
当n为偶数时，
＝4[（2﹣1）×（2+1）+（4﹣3）（4+3）+⋯+（n﹣（n﹣1））（n+n﹣1）]
＝4（1+2+3+4+⋯+n）＝2n（n+1），
当n为奇数时，
＝4[﹣1+（2﹣3）（2+3）+（4﹣5）（4+5）+⋯+（（n﹣1）﹣n）（n﹣1+n）]
＝4（﹣1﹣2﹣3﹣4﹣⋯﹣n）＝﹣2n（n+1），
综上所述，．
16．【解答】解：（1）f′（x）＝，x∈（0，+∞），
令u（x）＝﹣1﹣lnx，则函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
又u（1）＝0，
∴x∈（0，1）时，u（x）＞0，即f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴x＝1时，函数f（x）取得极大值f（1）＝，无极小值．
（2）证明：要证明f（x）＜+⇔lnx﹣+2﹣2ln2＜0．
令g（x）＝lnx﹣+2﹣2ln2，
g′（x）＝﹣，则函数g′（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
存在唯一x0满足x0＝4，可得lnx0+x0＝2ln2，＝，
∴函数g（x）在x0∈（1，2）出取得极大值即最大值，
g（x0）＝2ln2﹣x0﹣+2﹣2ln2＝2﹣（x0+）≤2﹣2＝0，等号不成立，
∴g（x）≤g（x0）＜0，
∴f（x）＜+．
17．【解答】解：（1）因为椭圆Γ经过点A（﹣4，0），B（2，3），
所以，
解得，
则椭圆Γ的标准方程为；
（2）易知直线AB的方程为x﹣2y+4＝0，P（0，2），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝2，
易得，，
此时；
当直线l的斜率不为0时，
不妨设直线l的方程为x＝my﹣2m，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2+4）y2﹣12m2y+12m2﹣48＝0，
由韦达定理得，，
易知y1y2＝4（y1+y2）﹣12，
所以＝
＝
＝，
故；
（3）证明：不妨设Q（x，y），
易知，，
所以，
整理得（y﹣6）（x﹣2y+4）＝0，
显然Q不在直线AB上，
此时x﹣2y+4≠0，
则y﹣6＝0，
解得y＝6，
故Q在定直线y＝6上．
18．【解答】解：（Ⅰ）如图，
设直线PF1与椭圆的另一个交点为Q'，由椭圆的对称性得Q，Q′关于原点对称，
设点P（x1，y1），Q'（x2，y2），由题F1（﹣1，0），
所以当k＝1时，直线PF1的方程为y＝x+1，
联立直线y＝x+1与椭圆x2+2y2﹣2＝0的方程，消去y得3x2+4x＝0，
所以x1+x2＝，x1x2＝0，则|x1﹣x2|＝＝，
所以|PF1|+|QF2|＝|PF1|+|Q'F1|＝＝；
（Ⅱ）如图，
由题可设直线PF1的方程为，
联立直线与椭圆x2+2y2﹣2＝0，消去x得，
所以y1+y2＝，
所以S1﹣S2＝＝＝
＝＝，当且仅当即k＝时等号成立，
所以S1﹣S2最大值为．
19．【解答】解：（Ⅰ）零假设为H0：元宵节的降水与中秋节的降水无关，
则χ2＝＝≈0.3＜1，
因为χ2＜x0.05，
所以没有充分证据推断H0不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关；
（Ⅱ）P（A）＝，P（AB）＝，
故P（B|A）＝＝．
20．【解答】（Ⅰ）证明：，由f'（x）＝f（x）得，
令，
因为h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）至多一个零点，
又因为，，
所以∃，使h（x0）＝0，故对于∀a∈R，函数y＝f（x）有唯一然点x0．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，，
令，因为G（x）在（0，+∞）上单调递减，且，
，
故，使G（t）＝0，
g（x）在（0，t]上单调递增，在[t，+∞）上单调递减．
因为g（x0）＝0，故g（t）＞g（x0）＝0，
将代入，得，
＝，
所以g（x）有2个零点．中秋天气
元宵天气
合计
降水
无降水
降水
19
41
60
无降水
50
90
140
合计
69
131
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828