江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第12周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第12周阶段性训练模拟练习【含答案】，共12页。试卷主要包含了已知函数f，已知偶函数f，已知函数y＝ax﹣1+3，若a，b∈等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
2．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，，则f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
4．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
5．已知函数y＝ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），正实数p，q满足mp+nq＝1，则的最小值是（ ）
A．9B．12C．3D．6
二．多选题（共4小题）
（多选）6．若a，b∈（0，+∞），a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为
B．的最小值是4
C．的最大值为2
D．的最小值为
（多选）7．设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．xy的最小值为1
C．的最大值为4D．x2+y2的最小值为2
（多选）8．已知a，b，c是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）
A．B．若ab≠0，则
C．若a＜b，则D．若a＜b，c＜0．则
（多选）9．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝k（k∈R）有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则（ ）
A．0＜k＜1B．x1+x2＝﹣1
C．D．
三．填空题（共4小题）
10．不等式4x﹣2x﹣2≤0的解集是 ．
11．已知函数对于任意1≤x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是 ．
12．已知函数，则f（2x）的定义域为 ．
13．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）＝﹣2，则不等式f（x﹣2）+f（x+4）+8＞0的解集为 ．
四．解答题（共5小题）
14．已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x﹣1．
（1）当a取何值时，不等式f（x）＜0对一切实数x都成立：
（2）若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围．
15．定义在区间[﹣4，4]上的函数为奇函数．
（1）求实数a的值，并且根据定义研究函数f（x）的单调性：
（2）不等式对于任意的恒成立，求实数m的取值范围．
16．已知函数．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）＜mlg2x对于x∈[2，8]恒成立，求实数m的取值范围．
17．设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．
（1）当a＝1时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．
18．已知函数f（x）＝2x﹣4x，x∈[﹣2，1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）若对∀x∈[﹣2，1]，不等式f（x）＞2﹣m•2x恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，
B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．
故选：B．
2．【解答】解：根据指数函数y＝2x是R上的增函数，
可知2a﹣b＞1等价于2a﹣b＞20，即a﹣b＞0，
因为“a﹣b＞0”是“a＞b”的充要条件，
所以“2a﹣b＞1”是“a＞b”的充要条件．
故选：C．
3．【解答】解：因为函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，，
当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝＝﹣f（x），
所以f（x）＝，
又f（0）＝0，
则f（x）＜0可转化或，
解得，x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：C．
4．【解答】解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以a＝f（﹣lg25）＝f（lg25），
又3＞lg25＞2＞20.7＞0，
所以f（3）＜f（lg25）＜f（20.7），
故c＜a＜b．
故选：A．
5．【解答】解：根据题意，
∵函数y＝ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）恒过（1，4），
∴m＝1，n＝4，
∴p+4q＝1，又p＞0，q＞0，
∴+＝+＝++4≥2+4＝6，当且仅当，即p＝q＝时等号成立，
所以+的最小值为6．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
6．【解答】解：A：因为a＞0，b＞0，则a+b＝1，解得ab，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；
B：因为（a+）（b+）＝ab+＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，此时a+b＝2与已知a+b＝1矛盾，故B错误；
C：4a﹣＝4﹣（4b+）＝2，当且仅当4b＝，即a＝时取等号，故C正确；
D：＝3+2，当且仅当b＝时取等号，故D正确，
故选：ACD．
7．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，
∴，
当且仅当，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确；
∵，
∴xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故选项B错误；
∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，
则2（a2+b2）≥（a+b）2，
∴（a+b）2≤2（a2+b2），
∴，∴，当且仅当x＝y＝1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；
，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项D正确．
故选：AD．
8．【解答】解：对于A，∵＝≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴，故A正确，
对于B，，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，故B正确，
对于C，令a＝﹣1，b＝1，满足a＜b，但，故C错误，
对于D，∵a＜b，c＜0，
∴＞0，即，故D正确．
故选：ABD．
9．【解答】解：画出函数f（x）与函数y＝k的图像如下：f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，值域[0，+∞）；在[﹣1，0）上单调递增，值域[0，1）；
在（0，e2]单调递减，值域[0，+∞）；在[e2，+∞）单调递增，值域[0，+∞）．
则有x1+x2＝﹣2，lnx3﹣2+lnx4﹣2＝0，即x3x4＝e4，选项B判断错误；
方程f（x）＝k（k∈R）有四个不同的实数解，则有0＜k＜1，选项A判断正确；
由f（x）在（0，e2]上单调递减，值域[0，+∞），
f（e）＝|lne﹣2|＝1，f（e2）＝|lne2﹣2|＝0，
可知e＜x3＜e2，选项C判断正确；
由x1＜x2＜0＜x3＜x4，可知x1x2x3x4＞0，
又x1x2x3x4＝e4x1x2＝e4（﹣x1）（﹣x2）＜e4[]2＝e4，
则有0＜x1x2x3x4＜e4，故选项D判断正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：设t＝2x＞0，则原不等式化为t2﹣t﹣2≤0，即（t﹣2）（t+1）≤0，
由于t＞0，则t﹣2≤0，∴t≤2，即2x≤2，∴x≤1．
原不等式的解集为（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
11．【解答】解：∵对于任意1≤x1＜x2，都有，即，
即，
即a﹣，即a（x1+1）（x2+1）＞2a+6恒成立，
∵1≤x1＜x2，∴（x1+1）（x2+1）＞4，
当a＜0时，（x1+1）（x2+1）不可能恒成立；
当a＝0时，a（x1+1）（x2+1）＞2a+6化为0＞6不成立；
当a＞0时，（x1+1）（x2+1）恒成立，则，解得a≥3，
综上所述，实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
12．【解答】解：由题意得，，解得﹣4≤x＜1，
令﹣4≤2x＜1，则﹣2，
故f（2x）的定义域为[﹣2，）．
故答案为：[﹣2，）．
13．【解答】解：由f（xy）＝f（x）+f（y）可得f（x﹣2）+f（x+4）＝f[（x+4）（x﹣2）]
又f（2）＝﹣2，则f（16）＝f（4）+f（4）＝2f（2）+2f（2）＝4f（2）＝﹣8
设任意x1，x2＞0，且x1＜x2，则，又当x＞1时，f（x）＜0，
则
即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．
则不等式f（x﹣2）+f（x+4）+8＞0，
等价于，解得2＜x＜4，
故答案为：（2，4）．
四．解答题（共5小题）
14．【解答】解：（1）当a＝0时，﹣4x﹣1＜0对一切实数不成立，
且f（x）＝ax2﹣4x﹣1不是二次函数，故a≠0；
当a≠0时，，解得a＜﹣4，
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣4）；
（2）当Δ＞0时，只需f（﹣1）•f（1）＜0，
即，解得﹣3＜a＜5，且a≠0，
当Δ＝0时，即a＝﹣4时，f（x）＝﹣4x2﹣4x﹣1＝﹣（2x+1）2，零点为﹣，符合题意，
当f（﹣1）＝0或f（1）＝0，即a+4﹣1＝0，解得a＝﹣3，或a﹣4﹣1＝0，解得a＝5，
检验f（x）＝0在（﹣1，1）内都有一个解．
综上所述，实数a的取值范围为{﹣4}∪{a|﹣3≤a＜0或0＜a≤5}．
15．【解答】解：（1）定义在区间[﹣4，4]上的函数为奇函数，
可得f（0）＝﹣1＝0，解得a＝1，即f（x）＝﹣1＝，
f（﹣x）+f（x）＝+＝+＝0，即f（x）为奇函数．
又f（x）＝﹣1，
设﹣4≤x1＜x2≤4，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
当b＞1时，由x1＜x2，可得bx1＜bx2，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在[﹣4，4]上递减；
当0＜b＜1时，由x1＜x2，可得bx1＞bx2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣4，4]上递增；
（2）不等式对于任意的恒成立，
即为f（sin2θ+cs2θ+1+m）＝f（2sin（2θ+）+m+1）＞＝f（2）对于任意的恒成立，
由θ∈[0，]，2θ+∈[，]，2sin（2θ+）+m+1∈[m+2，3+m]，
当b＞1时，f（x）在[﹣4，4]上递减，可得2sin（2θ+）+m+1＜2对于任意的恒成立，
可得3+m＜2，且2+m≥﹣4，3+m≤4，即有﹣6≤m≤1，解得﹣6≤m＜﹣1；
当0＜b＜1时，f（x）在[﹣4，4]上递增，可得2sin（2θ+）+m+1＞2对于任意的恒成立，
可得2+m＞2，且2+m≥﹣4，3+m≤4，即有﹣6≤m≤1，解得0＜m≤1；
所以，当0＜b＜1时，m的取值范围是（0，1]；当b＞1时，m的取值范围是[﹣6，﹣1）．
16．【解答】解：（1）f（x）＝lg2（2x）•lg2＝（1+lg2x）（lg2x﹣2）＝x﹣lg2x﹣2，
令lg2x＝t，则函数化为y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]，
因此当t＝时，y＝t2﹣t﹣2取得最小值﹣，
当t＝2时，y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]取得最大值0，
即当x＝时，函数f（x）取得最小值﹣；当x＝4时，函数f（x）取得最大值0，
可得函数的值域为[﹣，0]；
（2）f（x）＜mlg2x，x∈[2，8]恒成立，
即x﹣（m+1）lg2x﹣2＜0，x∈[2，8]恒成立，
令lg2x＝t，则t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[1，3]恒成立，
令g（t）＝t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[1，3]，
则，
解得m＞，
所以实数m的取值范围为（，+∞）．
17．【解答】解：（1）由题意得当a＝1时，函数f（x）＝x2﹣|x﹣1|，且函数f（x）的定义域为R，
∴f（﹣x）＝x2﹣|﹣x﹣1|＝x2﹣|x+1|，
∵f（﹣x）≠f（x），f（﹣x）≠﹣f（x），
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）因为当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx＝ax2﹣|x﹣a|+bx≤0成立，
∴令g（x）＝ax2﹣|x﹣a|+bx＝，
①当a＝0时，g（x）＝bx﹣x＝（b﹣1）x≤0，对任意的x∈[1，3]恒成立，
即3（b﹣1）≤0，解得b≤1，a2+b＝b的最大值为1；
②当﹣1≤a＜0时，g（x）＝ax2﹣（x﹣a）+bx＝ax2+（b﹣1）x+a，x∈[1，3]，
对称轴为x＝，
（i）≤1，则1﹣b≥2a，（a＜0不等号方向改变），g（1）≤0即a+b﹣1+a≤0，
所以b≤1﹣2a，则a2+b≤a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a2+b的最大值为1；
（ii）≥3时，1﹣b≤6a，即b≥1﹣6a，所以g（3）≤0，即b≤，无解；
（iii）1＜＜3时，1﹣2a＜b＜1﹣6a，所以g（）≤0，即，
即4a2≥（1﹣b）2，所以1+2a≤b≤1﹣2a无解；
③当0＜a≤1时，g（x）＝ax2﹣（x﹣a）+bx＝ax2+（b﹣1）x+a，x∈[1，3]，
对称轴为x＝，
（i）≤1，则1﹣b≤2a，g（3）≤0即b≤，无解；
（ii）≥3时，1﹣b≥6a，即b≤1﹣6a，g（1）≤0，b≤1﹣2a，则b≤1﹣6a，
则a2+b≤a2﹣6a+1＝（a﹣3）2﹣8，
∵0＜a≤1，∴a2+b的最大值为1；
（iii）1＜＜3时，1﹣6a≤b≤1﹣2a，g（3）≤0，g（1）≤0，
则b≤且b≤1﹣2a，
∴1﹣6a≤b≤，则a2+b≤a2+，a2+b的最大值为1；
④当1≤a≤2时，，
g（3）≤0，g（1）≤0，g（a）≤0，
即，则，
而1≤a≤2，
∴b≤1﹣，则a2+b≤a2+1﹣，
令p（a）＝a2+1﹣，1≤a≤2，
则p'（a）＝2a﹣，即p（a）在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
又p（1）＝，p（2）＝﹣，
所以p（a）的最大值为．
综上所述，对任意的x∈[1，3]，均有f（x）+bx≤0成立，
则a2+b的最大值为（所有最大值中的最小值）．
18．【解答】解：（1）令t＝2x，当x∈[﹣2，1]时，，………（2分）
则可将原函数转化为，
当时，；当t＝2时，ymin＝﹣2．
所以f（x）在[﹣2，1]上的值域为．………（5分）
（2）关于x的不等式2x﹣4x＞2﹣m•2x对∀x∈[﹣2，1]恒成立，
由（1），t﹣t2＞2﹣mt对恒成立，
所以mt＞2+t2﹣t，
所以，…（8分）
因为（当且仅当，即时，等号成立），
所以在上为减函数，在上为增函数，…（10分）
又在上的最大值为，
因此实数m的取值范围为，即m∈（，+∞）．…（12分）