江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】，共21页。试卷主要包含了对任意数列{an}，定义函数F等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx+y﹣m＝0被圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0截得的最短弦的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
2．已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
3．在平面直角坐标系xOy中，已知一动圆P经过A（﹣1，0），且与圆C：（x﹣1）2+y2＝9相切，则圆心P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．对任意数列{an}，定义函数F（x）＝a1+a2x+a3x2+⋯+anxn﹣1（n∈N*）是数列{an}的“生成函数”．已知F（1）＝n2，则＝（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，过点A（0，a）的直线交C于P，Q两点，若为常数，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E为棱CC1上一点，且，则（ ）
A．A1E⊥BD
B．A1E⊥平面BDD1B1
C．
D．直线BD1与平面ACC1A1所成角为
（多选）8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点A，B为C上异于O不同两点，故OA，OB的斜率分别为k1，k2，T是C的准线与x轴的交点．若k1k2＝﹣4，则（ ）
A．以AB为直径的圆与C的准线相切
B．存在k1，k2，使得|AB|＝
C．△AOB面积的最小值为
D．
（多选）9．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，且C上至少有一个点到l的距离为，则C的短轴长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d﹣|PA|的最大值为 ．
12．已知圆台的高为2，上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为4，A，B两点分别在圆O1、圆O2上，若向量与向量的夹角为60°，则直线AB与直线O1O2所成角的大小为 ．
13．函数y＝[x]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{an}的通项公式为an＝[lg2（2n+1）]，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn≤300的最大正整数n的值为 ．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}与均为等差数列且公差不为0，则的值为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直线AM，BM相交于点M，且AM与BM的斜率之差为2，则|MC|的最小值为 ．
四．解答题（共7小题）
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E，F分别为线段AB，AC上的动点（不含端点），且AF＝BE，B1F⊥C1E．
（1）求该直三棱柱的高；
（2）当三棱锥A1﹣AEF的体积最大时，求平面A1EF与平面ACC1A1夹角的余弦值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．
（1）求C的标准方程；
（2）若斜率为的直线l（不过原点O）交C于A，B两点，点O关于l的对称点P在C上，求四边形OAPB的面积．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：的右焦点为F（2，0），左、右顶点分别为A1，A2，过F且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于P、Q两点，与C的两条渐近线分别交于D、E两点（从左到右依次为P、D、E、Q），记以A1A2为直径的圆为圆O．
（1）当l与圆O相切时，求|DE|；
（2）求证：直线A1Q与直线A2P的交点S在圆O内．
19．在①S3＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列；③Sn＝3n2﹣2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．
记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知 _____．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点，设动点P到直线的距离为d，且．
（1）记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）若过点F且斜率为k（k＞0）直线l交C于A，B两点，问在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，且经过点（4，6），点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，过三点A，P，F的圆的圆心为C，点P，C分别在x轴的两侧．
（1）求Γ的标准方程；
（2）求x0的取值范围；
（3）证明：∠ACF＝3∠PCF．
22．已知数列{an}中的各项均为正数，a1＝2，点在曲线上，数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）求{bn}的前2n项和S2n；
（2）求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：直线l：mx+y﹣m＝0过定点A（1，0），
圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，可知圆的圆心M（2，1），半径R＝2，
因为点A（1，0）在圆M内，如图，
由圆的几何性质可知，当AM⊥直线l时，
弦长最短为．
故选：C．
2．【解答】解：对于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内；
对于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内；
对于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内；
对于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内．
故选：B．
3．【解答】解：根据题意，可知点A（﹣1，0）位于圆C：（x﹣1）2+y2＝9的内部，
所以圆P与圆C内切，且圆P在圆C的内部，
作出圆C过切点Q的半径CQ，则根据两圆内切的关系，得到点P在CQ上，
因为QC＝PQ+PC＝3，且PA＝PQ，所以PA+PC＝3，
根据AP+PC＝3＞AC＝2，可知点P轨迹是以A、C为焦点的椭圆．
故选：B．
4．【解答】解：由题意得，设CB＝t＞0，则有，，由得．，∴．
故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为．
故选：A．
5．【解答】解：因为，且F（1）＝n2，
所以①，
当n＝1可得a1＝1，
当n≥2时a1+a2+...+an﹣1＝（n﹣1）2②，
①﹣②得，显然当n＝1时上式也成立，
所以an＝2n﹣1，
所以，
则，
所以
＝，
所以．
故选：D．
6．【解答】解：当过点A（0，a）的直线斜率不存在时，
此时直线与抛物线C：x2＝4y只有1个交点，不合要求，舍去；
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx+a，
联立，可得x2﹣4kx﹣4a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a，
∴，
同理可得：，
故，
要想为常数，与k无关，
故为定值，所以8a＝16，
解得a＝2，此时，满足要求．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
7．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，
E为棱CC1上一点，且，
对于A，由题意知△A1AB≌△A1AD，∴A1D＝A1B，
设AC∩BD＝O，O为BD中点，连接A1O，则A1O⊥BD，
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1ACC1，
∵A1E⊂平面A1ACC1，∴A1E⊥BD，故A正确；
对于B，∵，
∴，
∴与不垂直，即与不垂直，
∴A1E与平面BDD1B1不垂直，故B错误；
对于C，，
∴＝，故C正确
对于D，由A知BD⊥平面A1ACC1，
∴直线BD1与平面ACC1A1所成角即为直线BD1与BD所成角的余角，
，
∵，
∴，∴直线BD1与BD所成角为，
∴直线BD1与平面ACC1A1所成角为，故D正确．
故选：ACD．
8．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），p＝1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
得：，故直线AB过焦点F，点T和点F重合，选项D正确；
由抛物线的性质得|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，|AB|＝x1+x2+1，
线段AB的中点M到准线的距离为＝＝，
所以以AB为直径的圆与C的准线相切，选项A正确；
|AB|≥2p＝2，故选项B正确；
设直线AB的倾斜角为θ，则，选项C错误．
（或当AB为通径时，，故选项C错误）．
故选：ABD．
9．【解答】解：由题意得：四面体ABCD为正四面体，
故∠BAC＝∠CBD＝60°，
故，∴A正确；
因为E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，
所以FG∥AC，EF∥BD，且，，
故，∴B错误；
∵，∴C正确；
取BD的中点H，连接AH，CH，
因为△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以AH⊥BD，且CH⊥BD，
因为AH∩CH＝H，且AH，CH⊂平面ACH，
所以BD⊥平面ACH，又AC⊂平面ACH，
所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，
故，D正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：依题意，椭圆的离心率，解得a2＝3b2，
椭圆C的方程为x2+3y2＝3b2，设椭圆C上的点，
直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，即方程组无实数解，
因此方程4x2+24x+48﹣3b2＝0无实根，有Δ＝242﹣48（16﹣b2）＜0，即b2＜4，解得0＜b＜2，
因为C上至少有一个点到l的距离为，则有点P到直线l的距离d的最小值不大于，，
当且仅当，即时取等号，
于是得，从而1≤b＜2，有2≤2b＜4，显然选项A，D不满足，选项B，C满足．
故选：BC．
三．填空题（共5小题）
11．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
由抛物线的定义知d＝|PF|，
所以d﹣|PA|＝|PF|﹣|PA|≤|AF|＝＝，
当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值．
答案为：．
12．【解答】解：作出示意图形，如下图所示，
向量与向量的夹角为60°，结合O1A∥O2C，得∠BO2C＝60°，
所以△BO2C为等边三角形，
设点A在圆O2所在平面内的射影为D，连接AD、BD，
则AD与O1O2平行且相等，且D为O2C中点，
∠BAD（或其补角）就是异面直线AB与直线O1O2所成角，
Rt△BCD中，，
在Rt△ADB中，AD＝O1O2＝2，得，所以，
即直线AB与直线O1O2所成角为．
故答案为：．
13．【解答】解：an＝[lg2（2n+1）]，
可得＝[lg2（2k+1）]＝k，，
故2k﹣1≤n＜2k时，an＝k，共2k﹣2k﹣1＝2k﹣1项，
其和为k•2k﹣1＝（k﹣1）•2k﹣（k﹣2）•2k﹣1，
，
则S63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，
又32≤n≤63时，an＝6，故S60＝303，S59＝297，
因此，所求正整数n的最大值为59．
故答案为：59．
14．【解答】解：设数列{an}的公差为d，则an＝a1+（n﹣1）d，，
因为数列是等差数列，则有，即，
化简整理得：，解得a1＝d，显然d＞0，an＝nd与均为等差数列，，则，
所以的值为2．
故答案为：2．
15．【解答】解：设M（x，y）（x≠±1），则，，
所以，即y＝﹣x2，
即动点M的轨迹方程为y＝﹣x2，（x≠±1），
所以，
所以当时．
故答案为：．
四．解答题（共7小题）
16．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠BAC＝90°，∴AB，AC，AA1两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AB＝AC＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
设AA1＝a（a＞0），则A1（0，0，a），B1（2，0，a），C1（0，2，a），
设AF＝BE＝λ（0＜λ＜2），则E（2﹣λ，0，0），F（0，λ，0），
∴，，
∵B1F⊥C1E，∴，
即2λ﹣4﹣2λ+a2＝0，解得：a＝2，
即该直三棱柱的高为2；
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面AEF，
又∠BAC＝90°，由（1）知AA1＝2，AE＝BE＝λ（0＜λ＜2），
∴，当且仅当λ＝1时取“＝”，
即点E，F分别为线段AB，AC的中点时，三棱锥A1﹣AEF的体积最大，
此时E（1，0，0），F（0，1，0），A1（0，0，2），
∴，，
设平面A1EF的法向量为，
则，即，取z＝1，则，
又平面ACC1A1的一个法向量为，
所以，
因为平面A1EF与平面ACC1A1的夹角θ为锐角，所以．
17．【解答】解：（1）由题意，所以，又因为a＝2b，所以a＝4，b＝2，
所以C的标准方程为．
（2）设直线l：（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）．
将代入C：中，化简整理得x2+2mx+2m2﹣8＝0，
于是有
所以
＝，
因为点O关于l的对称点为P，所以
解得，即，
因为P在C上，所以，解得．
又因为点O到直线l的距离，
所以由对称性得
＝．
18．【解答】解：（1）因为F（2，0），所以a2+（a2+2）＝4，所以a2＝1，
所以圆O的半径r＝1，由题意知l的斜率存在，
设l：y＝k（x﹣2）（k≠0），当l与圆O相切时，O到l的距离d＝r，即，解得，
由得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2＝0，即2x2+x﹣1＝0，解得xD＝﹣1，，
所以．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0，
此时k≠0，Δ＞0，，解得0＜k2＜3，
且所以，
因为A1（﹣1，0），A2（1，0），所以A1Q：，A2P：，
联立A1Q，A2P方程，消去y得．
所以，即，所以．
将代入A2P方程，得，即．
因为x1＜﹣1，所以，
所以，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．
19．【解答】解：（1）若选条件①S3＝9，S5＝25，
则，解得，
∴an＝2n﹣1；
若选条件②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列，
则，∴，解得a1＝1，
∴an＝2n﹣1；
若选条件③Sn＝3n2﹣2n，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，．
又a1＝1满足上式，
∴an＝6n﹣5．
（2）若选条件①②，
由（1）知，
∴，
∴数列{bn}的前n项和；
若选条件③，由（1）知，
∴，
∴数列{bn}的前n项和．
20．【解答】解：（1）设点P（x，y），∵，
∴，
化简可得x2+4y2＝4，
∴C的方程为；
（2）设直线，线段AB的中点为M，
联立，可得，
∴，，易得Δ＞0，
∴，，
即，
若△ABD为等边三角形，则MD为线段AB的中垂线，
即MD的直线方程为，∴，
又，
∴由，可得，
解得，∴，此时，
∴存在点，使得△ABD为等边三角形．
21．【解答】解（1）根据题意可得，
解得，
∴Γ的标准方程为；
（2）∵A（﹣2，0），F（4，0），∴圆心在直线x＝1上．
设C（1，y1），则，
即，
∵点P，C分别在x轴的两侧，∴y0y1＜0，
∴，
解得，
又点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，且A，P，F三点不共线，
∴；
（3）证明：由题意知∠APF＞90°，∴∠PAF与∠AFP均为锐角，
∴，
又
＝，
∴2∠PAF＝∠AFP，
由平面几何知识易得∠ACP＝2∠AFP＝4∠PAF，∠PCF＝2∠PAF，
∴∠ACP＝2∠PCF，
∴∠ACF＝3∠PCF．
22．【解答】解：（1）根据题意可得，
∴an+1﹣an＝1，又a1＝2，
∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴an＝n+1，，
∴S2n＝b1+b2+b3+⋯+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+⋯+b2n﹣1）+（b2+b4+⋯+b2n）
＝[（21﹣1）+（22﹣3）+（23﹣5）+⋯+（2n﹣2n+1）]﹣（2+4+6+⋯+2n）
＝＝2n+1﹣2n2﹣n﹣2；
（2）由（1）知，，
由S2n≤b2n﹣1，得2n+1﹣2n2﹣n﹣2≤2n﹣2n+1，
即2n≤2n2﹣n+3，设，
∴，
显然g（1）＜g（2）＝g（3），
当n≥3时，0＜g（n+1）＜g（n），
∴数列{g（n）}从第3项起是递减的，
∵，则当n≤6时，有g（n）＞1，
∴正整数n的取值集合为{1，2，3，4，5，6}．
声明：试题解析著作权属菁