江苏‌常州市龙城中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏‌常州市龙城中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】，共19页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数f，过抛物线y2＝2px，函数，若2f2，关于函数，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1．已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）＝e，且对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
2．已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是（ ）
A．B．C．3D．
3．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于，两点，则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．函数，若2f2（x）﹣3f（x）+1＝0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共5小题）
（多选）6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）
A．存在点P，使得CP⊥平面A1DB
B．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°
C．PC+PD的最小值为
D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是
（多选）7．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减
C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则
D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2
（多选）8．已知数列{an}中，a1＝1，，则下列结论正确的是（ ）
A．a4＝13B．{an}是递增数列
C．a10＜1000D．an+1＝2an+1
（多选）9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC面积的最大值为
C．当A＝C时，△ABC的内切圆的半径为
D．若△ABC为锐角三角形，则
（多选）10．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O，点M为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球O的表面积为2π
B．球O在正方体外部的体积大于
C．球O内接圆柱的侧面积的最大值为2π
D．若点M在正方体外部（含正方体表面）运动，则
三．填空题（共4小题）
11．已知函数f（x）＝若，则实数a的值为 ．
12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ．
13．已知二面角α﹣l﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是 ．
14．设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）是偶函数，若f（1）＝7，则f（2023）+f（2024）＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．
16．已知函数f（x）＝mex+csx+n，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．
（1）讨论函数f（x）在[﹣π，+∞）上的单调性；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≥3sinx﹣ax恒成立，求实数a的取值范围．
17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为e，A，B是C上的相异两点，P（2a，0）．
（1）若点A，B关于原点对称，且FA⊥FB，求e的取值范围；
（2）若点A，B关于x轴对称，直线PA交C于另一点D，直线BD与x轴的交点Q的横坐标为1，过Q的直线交C于M，N两点．已知e＝，求的取值范围．
18．已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点．
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）若二面角A﹣DE﹣C为，AB＝PC＝4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：令g（x）＝﹣x，
g′（x）＝﹣1＝，
因为对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜ex，
所以g′（x）＝＜0，
所以g（x）在R上单调递减，
又f（1）＝e，
所以g（1）＝﹣1＝0，
不等式f（x）＞xex等价于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），
所以x＜1．
故选：A．
2．【解答】解：如图所示，设正三角形ABC的中心为E，
连接PE，AE，延长AE交BC于点F，
则PE⊥平面ABC，且F为BC中点，连接PF，则易得BC⊥平面PAF，
从而可得平面PBC⊥平面PAF，在平面PAF内过A作AH⊥PF于点H，
则AH⊥平面PBC，故AH即为所求，
设底面正三角形的边长为a，则BF＝CF＝，AF＝，AE＝，又PA＝3，
∴PE＝，PF＝，
∴正三棱锥P﹣ABC的体积为：
V＝＝
＝≤＝，
当且仅当，即a2＝18时，等号成立，
此时AH＝＝＝＝＝3，
∴当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是3．
故选：C．
3．【解答】解：设|AH|＝2a，以AH的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（a，0），C（4+a，0），直线l：x＝﹣a，
以A为焦点的抛物线的方程为y2＝4ax，
点P，Q既在圆C上，又在抛物线上，
联立，可得x2﹣（8﹣2a）x+（4+a）2﹣16＝0，
则xP+xQ＝8﹣2a，
又d1+d2＝xP+xQ+2a＝8﹣2a+2a＝8．
故选：D．
4．【解答】解：将，两点分别代入抛物线方程，
可得，解得x1＝1，则，
，解得x2＝4，则，
又抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
由题意可得，A，F，B三点共线，
则kAF＝kBF，即，解得p＝4．
故选：D．
5．【解答】解：由题知，2f2（x）﹣3f（x）+1＝0的实数解可转化为或f（x）＝1的实数解，即y＝f（x）与y＝1或y＝的交点，
当x＞0时，，
所以x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
如图所示：
所以x＝e时f（x）有最大值：，
所以x＞0时，由图可知y＝f（x）与y＝1无交点，即方程f（x）＝1无解，
所以y＝f（x）与y＝有两个不同的交点，及方程f（x）＝有2个解，
当x＜0时，因为ω＞0，﹣π≤x≤0，
所以，
令，则
则有y＝sint且，如图所示：
因为x＞0时，已有两个交点，
所以只需保证y＝sint与及与y＝1有四个交点即可，
所以只需，
解得，
即正实数ω的范围为[2，）．
故选：D．
二．多选题（共5小题）
6．【解答】解：由题，建立如图所示的空间直角坐标系，
，则P（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），
对于A，AC1⊥面是平面A1BD一个法向量，
假设CP⊥面A1DB，则与（﹣2，2，2）共线矛盾，假设不成立，故A错；
对于B，若存在P，C1P与A1DB所成角为30°，则，∴不满足条件，
假设不成立，故B对；
对于C，＝．
表示P（λ，0）与距离之和，对；
对于D，，时PA最小，，
球与面ADD1A1交于Q，Q在以N为圆心，为半径的圆上，
在正方形ADD1A1内轨迹为半圆，长度＝，故D对．
故选：BCD．
7．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数，f（﹣1﹣x）＝，f（x）≠﹣f（﹣1﹣x），
则f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，A错误；
对于B，f′（x）＝＝＝，
在区间（﹣∞，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，B正确；
对于C，＝0，解可得x＝﹣，
当t＝0时，方程f（x）＝t恰有一个实数根，C错误；
对于D，当x＞﹣时，f（x）＞0，
当x＜﹣时，f（x）＜0，此时f（x）＝﹣，
又由x2+1﹣（x2++）＝＞0，则f（x）＝﹣＞﹣2，
则有f（x）＞﹣2，
故若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2，D正确．
故选：BD．
8．【解答】解：由，可得，
则，
又由a1＝1，可得，
所以数列{}表示首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
选项A，，故A错误；
选项B，，
即an+1＞an，所以{an} 是递增数列，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，，
所以an+1＝2an+1，故D正确．
故选：BD．
9．【解答】解：，则，
对选项A：取c＝1，则，a＝2，故a2＝b2+c2，△ABC是直角三角形，错误；
对选项B：设c＝x，则，，sinB＞0，
＝，当x＝2时，S最大为，正确；
对选项C：A＝C时，a＝c＝2，，，
B∈（0，π），故，设内切圆的半径为r，
则，解得，正确；
对选项D：△ABC为锐角三角形，则b2＜a2+c2，即3c2＜4+c2，解得，
且a2＜b2+c2，即4＜4c2，解得c＞1，故，错误．
故选：BC．
10．【解答】解：对于A．如图所示，
正方体的棱切球O的半径，则球O的表面积为4πR2＝2π，故A正确；
对于B．若球体、正方体的体积分别为V1，V2．
球O在正方体外部的体积，故B正确；
对于C，球O的半径，设圆柱的高为h，
则底面圆半径，
所以，
当h2＝1时取得最大值，且最大值为π，所以C项错误；
对于D，取AB中点E，可知E在球面上，可得，
所以，
点M在球O上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当ME为直径时，），
所以．故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（）＝||﹣2＝1﹣2＝﹣1，
∴f[f（）]＝f（﹣1）＝﹣a﹣1﹣3＝a，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：∵双曲线的标准方程为，
又k﹣4＞k﹣5，
∴双曲线的标准方程为：﹣＝1，
可得a2＝k﹣4，b2＝5﹣k．
∴c2＝a2+b2＝1．
故该双曲线的焦距是2c＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：如图，过l上一点Q作QE⊥l交m于点E，QF⊥l交n于点F，
设，∴QE＝x，，EF＝＝，
，
如图，设，∴，，QE＝x，PE＝2x，∠EQF＝120°，
，
，
故答案为：．
14．【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，且f（x+1）是偶函数，
所以f（x+1）＝f（﹣x+1）＝﹣f（x﹣1），
所以f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故f（x）是4为周期的周期函数，且有f（0）＝0，
则f（2023）+f（2024）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣7．
故答案为：﹣7．
四．解答题（共5小题）
15．【解答】（1）证明：过点N作NG∥CD，交PD于点G，连接AG，MN，
则A，M，N，G四点共面，
因为MN∥平面PAD，MN⊂平面AMNG，平面AMNG∩平面PAD＝AG，
所以MN∥AG，
又NG∥CD∥AM，所以四边形AMNG是平行四边形，
所以NG＝AB＝CD，
所以N，G分别是PC，PD的中点，
因为PA＝AD，所以AG⊥PD，
因为MN∥AG，MN⊥PC，所以AG⊥PC，
又PD∩PC＝P，PD、PC⊂平面PCD，
所以AG⊥平面PCD，
因为CD⊂平面PCD，所以AG⊥CD，
因为AD⊥CD，且AG∩AD＝A，AG、AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
（2）解：由（1）知CD⊥平面PAD，
故以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
过点P作PQ⊥AD于点Q，
因为PA＝AD＝2，PD＝2，
所以∠PAD＝120°，
在Rt△PAQ中，∠PAQ＝180°﹣∠PAD＝60°，PA＝2，
所以PQ＝，AQ＝1，
所以P（3，0，），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（2，1，0），N（，1，），
所以＝（﹣，0，），＝（2，﹣1，0），＝（2，2，0），＝（3，0，），
设平面MNC的法向量为＝（x，y，z），则，
取z＝1，则x＝，y＝2，所以＝（，2，1），
设平面PBD的法向量为＝（a，b，c），则，
取a＝﹣1，则b＝1，c＝，所以＝（﹣1，1，），
所以cs＜，＞＝＝＝，
故平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值为＝．
16．【解答】解：（1）因为f′（x）＝mex﹣sinx，
所以f′（0）＝m﹣1，
又f（0）＝1+m+n＝0，
所以m＝1，n＝﹣2，
所以f（x）＝ex+csx﹣2，
所以f′（x）＝ex﹣sinx，
当﹣π≤x≤0时，ex＞0，sinx≤0，
所以f′（x）＝ex﹣sinx＞0，
当x＞0时，ex＞1，sinx≤1，
所以f′（x）＝ex﹣sinx＞0，
所以f′（x）在[﹣π，+∞）上恒成立，
所以f（x）在[﹣π，+∞）上单调递增．
（2）“当x∈[0，+∞）时，f（x）≥3sinx﹣ax恒成立”
等价于“ex﹣3sinx+csx﹣2+ax≥0在[0，+∞）上恒成立”，
设g（x）＝ex﹣3sinx+csx﹣2+ax，x∈[0，+∞），
则g′（x）＝ex﹣3csx﹣sinx+a，
设h（x）＝g′（x），则h′（x）＝ex+3sinx﹣csx，
当x∈[0，π）时，由于sinx≥0，ex≥1，csx≤1，
所以h′（x）≥0，
当x∈[π，+∞）时，由于ex≥eπ＞23＝8，3sinx﹣csx≥﹣，
所以h′（x）＞0，
综上所述，h（x）＝g′（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g′（0）＝a﹣2，
若a≥2，则g′（x）≥g′（0）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，符合题意，
若a＜2，则g′（0）＜0，
所以必存在正实数x0满足g′（x0）＝0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，
所以g（x0）＜0，不符合题意，
所以实数a的取值范围为[2，+∞）．
17．【解答】解：（1）设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），F（﹣c，0）（c＞0），
所以＝（x0+c，y0），＝（﹣x0+c，﹣y0），
由FA⊥FB可得•＝c2﹣﹣＝0，
点A（x0，y0）在椭圆C上可得+＝1，
两式联立后消去y0，可得＝，
由于0≤＜a2，
则，
化简得，
解得≤e＜1，
所以e的取值范围[，1）．
（2）由题意可得直线PA的斜率存在，
所以设直线PA的方程y＝k（x﹣2a），
由e＝得a＝2c，
所以b＝＝c，
所以直线PA的方程为y＝k（x﹣4c），
设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x1，﹣y1），
所以直线BD的方程为y﹣y2＝（x﹣x2），
令y＝0，则x＝x2﹣＝＝＝，
由，得（3+4k2）x2﹣32ck2x+64k2c2﹣12c2＝0，
所以，
所以x＝＝＝c，
所以c＝1，
所以椭圆的方程为+＝1，
若直线MN与x轴重合，则•＝（2，0）•（﹣2，0）＝﹣4，
若直线MN与x轴不重合，设直线MN的方程为x＝my+1，M（x3，y3），N（x4，y4），
则•＝x3x4+y3y4＝（my3+1）（my4+1）+y3y4＝（m2+1）y3y4+m（y3+y4）+1，
由，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以，
所以•＝（m2+1）（﹣）﹣+1＝＝﹣4，
由于m2≥0，则0＜≤，
所以•∈（﹣4，﹣]，
综上所述，•的取值范围为[﹣4，﹣]．
18．【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）＝csx，f″（x）＝﹣sinx+，
令g（x）＝﹣sinx+，则g′（x）＝﹣csx＜0在（﹣1，）恒成立，
∴f″（x）在（﹣1，）上为减函数，
又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣1+＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，
函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，
在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；
当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；
由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＝＜0，
由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，
当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；
当x∈（）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．
当x∈（，π）时，csx＜0，﹣＜0，于是f′（x）＝csx﹣＜0，f（x）单调递减，
其中f（）＝1﹣ln（1+）＞1﹣ln（1+）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，
f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．
于是可得下表：
结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，f（x）在（，π）上有且只有一个零点x2，
当x∈[π，+∞）时，sinx≤1＜ln（1+x），则f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜0恒成立，
因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．
综上，f（x）有且仅有2个零点．
19．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，
∵PC垂直于圆所在的平面，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PC，又AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又D、E分别是棱PB、PC的中点，∴BC∥DE，
∴DE⊥平面PAC；
（2）由（1）可知DE⊥平面PAC，又AE、EC⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥EC，AE⊂平面DAE，EC⊂平面DEC，
∴∠AEC为二面角A﹣DE﹣C的平面角，
∴，∴，
又BC⊥AC，AB＝4，∴BC＝2，
以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：
C（0，0，0），，E（0，0，2），B（2，0，0），P（0，0，4），D（1，0，2），
∴，，，
设是平面ACD的一个法向量，
则，取，
设AE与平面ACD所成角为θ
则，
∴AE与平面ACD所成角的正弦值为．
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1
2
3
4
5
答案
A
C
D
D
D
x
（﹣1，0）
0
（0，x1）
x1
（）

（）
π
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
﹣
﹣
﹣
f（x）
单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0