江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】，共18页。试卷主要包含了已知点P，已知直线l，抛物线y2＝2px，已知点M等内容，欢迎下载使用。
1．若数列{an}满足a1＝2，an+1an＝an﹣1，则a2024＝（ ）
A．B．2C．3D．﹣1
2．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若，则＝（ ）
A．2B．C．D．
3．已知点P（2，0），点Q在圆x2+y2＝1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝1B．x2+（y﹣1）2＝1
C．4（x﹣1）2+4y2＝1D．4x2+4（y﹣1）2＝1
4．已知直线l：ax+by＝r2，圆C：x2+y2＝r2，其中r＞0．若点P（a，b）在圆C外，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
5．数列{an}满足，则数列{lg2an}的前8项和为（ ）
A．63B．127C．255D．256
二．多选题（共4小题）
（多选）6．设等差数列{an}的前项和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12＞0，a7＜0．则（ ）
A．a6＞0
B．﹣4＜d＜﹣3
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．Sn最大时，n＝7
（多选）7．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为y2＝8x
B．存在直线l，使得A、B两点关于x+y﹣6＝0对称
C．|PM|+|PF|的最小值为6
D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
（多选）8．已知点M（0，4），点P在曲线x2＝12y上运动，点Q在圆x2+（y﹣3）2＝1上运动，则的值可能是（ ）
A．1B．3C．4D．5
（多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E满足＝λ+μ，（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则（ ）
A．若λ＝μ，则B1C⊥AE
B．若λ+μ＝1，则B1C∥平面A1DE
C．若λ+μ＝1，则AE+D1E的最小值为
D．若λ2+μ2＝1，则AE与平面BB1C1C的所成角为定值
三．填空题（共5小题）
10．已知数列{an}满足a1＝4，nan+1＝2（n+1）an，则数列{an}的通项公式为 ，若数列的前n项和Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为 ．
11．已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式为 ．
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E．若，四边形ADEB的面积为，则p＝ ．
13．若数列{an}满足an+1＝1﹣，且a1＝2，则a2024＝ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右顶点分别为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若|DP|＝t|DQ|且∠DQP＝2∠DPQ，则t的值是 ．
四．解答题（共9小题）
15．已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．
16．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且，，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1+2b2+22b3+…+2n﹣1bn＝an，求数列{nbn}的前n项和Tn．
17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆C分别交于点M、N（点P不在直线MN上），求△PMN面积的最大值．
18．已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线C左顶点A的直线l与圆E：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5相切．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与双曲线交于另一点P，求△PF1F2的面积．
19．已知正项数列{an}满足，且a1＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若{an•lg3an}的前n项和为Sn，求Sn．
20．已知椭圆的离心率为，椭圆C的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：x﹣my﹣1＝0（m≠0）与x轴交于点T，与椭圆C交于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C交于另一点R，求△TQR面积的最大值．
21．在公比不为1的等比数列{an}中，a3＝，S3＝．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝lg2，且{bn}为递增数列，若cn＝，求证：c1+c2+c3+…+cn＜．
22．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对任意的n∈N*有an＞0，an＝2﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}，b1＝﹣，∀n∈N*，2n+1（bn+1﹣bn）＝an+1，求数列{bn}的通项公式．
23．已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直．
（1）求a；
（2）已知点Q（0，﹣1），若直线l与椭圆交于M，N，且以MN为直径的圆过点Q（M，N不与Q重合），求证：直线MN过定点，并求出定点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：∵数列{an}满足a1＝2，an+1an＝an﹣1，
∴，
∴，
a3＝1﹣2＝﹣1，
a4＝1﹣（﹣1）＝2，
，
∴{an}是周期为3的周期数列，
而2024＝3×674+2，
故．
故选：A．
2．【解答】解：由题意可得，解得，
所以．
故选：C．
3．【解答】解：由题意，P（2，0），
在圆x2+y2＝1中，点Q在圆上，线段PQ的中点为M，
设M（x，y），则Q（2x﹣2，2y），
∴（2x﹣2）2+（2y）2＝1，即：4（x﹣1）2+4y2＝1．
故选：C．
4．【解答】解：因为点P（a，b）在圆C外，
所以可得a2+b2＞r2，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l与圆相交．
故选：A．
5．【解答】解：由，a1＝2，得lg2a1＝1，lg2an+1＝2lg2an，
因此数列{lg2an}是首项为1，公比为2的等比数列，
数列{lg2an}的前8项和为．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
6．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由S12＞0，则，又a7＜0，则a6＞0，故A正确；
对于B，结合选项A知a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，
又a3＝12，所以，解得，故B错误；
对于C，结合选项A知，又S12＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，故C正确；
对于D，结合选项A和B知，当1≤n≤6时，an＞0，当n≥7时，an＜0，所以当Sn最大时，n＝6，故D错误．
故选：AC．
7．【解答】解：对于A选项：由y2＝2px，所以，即p＝4，所以y2＝8x，故A正确；
对于B选项：设A（x1，y1），B（x2，y2），
设AB的中点M（x0，y0），则，
两式相减，（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2），即2y0•kAB＝8，
因为A，B关于x+y﹣6＝0对称，所以kAB＝1，所以y0＝4，x0＝2，所以（2，4）在抛物线上，
不成立，故B错误；
对于C选项：过P作PE垂直与准线于E，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PE|≥6，
当P，E，M共线时，等号成立，故C正确；
对于D选项：如图所示，因为G为AF的中点，过点G作GD⊥y轴，
所以，
所以以AF为直径的圆与y轴相切，故D正确；
故选：ACD．
8．【解答】解：抛物线x2＝12y的焦点F（0，3），准线l：y＝﹣3，
圆x2+（y﹣3）2＝1的圆心为F，半径为1，
过点P作PA⊥l于A，
设点P（xP，t），t≥0，|PF|＝|PA|＝t+3，
|PQ|≤|PF|+|FQ|＝|PA|+1＝t+4，
当且仅当P，F，Q三点共线，点F位于P，Q之间时等号成立，
，
因此，
当且仅当，即t＝0时取等号，
所以的最小值为4，
即A、B不可能，C、D可能．
故选：CD．
9．【解答】解：对A选项，若λ＝μ，则，
∴E在BC1上，∴AE在右侧面内的射影为BC1，
又B1C⊥BC1，∴根据三垂线定理可得B1C⊥AE，∴A选项正确；
对B选项，若λ+μ＝1，又＝λ+μ，则E在B1C上，
又易知A1D∥B1C，∴B1C⊂平面A1DE，∴B选项错误；
对C选项，由B选项分析可知E在B1C上，
如图，将△AB1C与△D1B1C展开在同一平面内，
则易证△AB1C与△D1B1C均为边长为的等边三角形，
∴当E为B1C的中点时，AE+D1E的最小值为AD1＝AC＝，∴C选项正确；
对D选项，若λ2+μ2＝1，则E在平面BB1C1C内以B为圆心，半径r＝BC＝1的圆上，如图，
∵AB⊥平面BB1C1C，∴AE与平面BB1C1C的所成角为∠AEB，
而tan∠AEB＝＝1，∴∠AEB＝，
故AE与平面BB1C1C的所成角为定值，∴D选项正确．
故选：ACD．
三．填空题（共5小题）
10．【解答】解：由题意可知，，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，，所以，
则，
所以，
由Sn≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，
所以n的最小值为6，
故答案为：n•2n+1；6．
11．【解答】解：由可得，
两式相减可得，
当n＝1时，，
故，
故答案为：．
12．【解答】解：由题意可知直线AB有斜率且不为0，
设AB所在直线方程为，
联立，
得．
不妨设A在第一象限，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
又，
所以，
即x1＝3x2+p，
联立，
解得或（舍），
则，
即，
即
所以，
解得．
故答案为：．
13．【解答】解：由题意，∵且a1＝2，
∴，
∴数列中的各项以3为周期，
∵a2024＝a3×674+2＝a2＝．
故答案为：．
14．【解答】解：如图所示，设∠DPQ＝θ，则∠DQP＝2θ，设D（x1，y1），
则，即，
由双曲线方程可得P（﹣1，0），Q（1，0），
所以，
又∠DQP＝2∠DPQ，kDP＝tanθ，kDQ＝tan（π﹣2θ），
则tanθ•tan（π﹣2θ）＝4，
解得，
则，
在三角形DPQ中，由正弦定理，
可得．
故答案为：．
四．解答题（共9小题）
15．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则3（﹣）+＝0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，
联立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝6，
∴圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4．
（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x﹣2＝0，则2＝2，满足|MN|＝2．
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，
圆心C（1，3）到直线l的距离d＝＝，
由题意可得4﹣＝，
解得k＝﹣，
直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即3x+4y﹣10＝0．
综上可得直线l的方程为：x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．
16．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由＝•，得（a1+d）2＝a1（a1+3d）．
因为d≠0，所以d＝a1＝2，
所以an＝2n．（4分）
（2）b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn＝an①
b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn+2nbn+1＝an+1②
②﹣①得：2n•bn+1＝2．
∴bn+1＝21﹣n．
当n＝1时，b1＝a1＝2，∴bn＝22﹣n．（8分）
Tn＝+++…+，
Tn＝+++…+，上两式相减得
Tn＝2++++…+﹣＝2+2•（1﹣）﹣，
∴Tn＝8﹣．（12分）
17．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a＝8，所以a＝2，
又离心率e＝，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆的方程为；
（2）①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y＝kx，M（x，y），N（﹣x，﹣y），
代入椭圆方程可得：x，
则|MN|＝＝4，
设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y＝kx+m，代入椭圆方程可得：
（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，则Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，
解得m2＝3+4k2，
则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，d＝，
所以三角形PMN的面积的最大值为S＝，
②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，
且此时的面积为S＝，
综上，三角形PMN的面积的最大值为2．
18．【解答】解：（1）由知左顶点A（﹣2，0），
当直线l斜率不存在时，l：x＝﹣2与圆E不相切，不符合题意；
当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x+2），
即kx﹣y+2k＝0，
由与圆E相切得，
解得k＝2或，
所以直线l的方程为2x﹣y+4＝0或x+2y+2＝0．
（2）由知a＝2，b＝1，
所以渐近线斜率为，
若直线l的斜率为，
则与双曲线只有点A一个交点，不符合题意，舍去；
若直线l的方程为2x﹣y+4＝0，与双曲线有两个交点，
联立，
消去x并整理得15y2+8y＝0，
解得y＝0或，
因为yA＝0，
所以，
又因为，
所以．
19．【解答】解：（1）由，整理得（an+1+an）（an+1﹣3an）＝0，
因为an＞0，所以an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，
因为a1＝3，
所以数列{an}是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以＝＝，
所以．
20．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则，即，则a＝2b，，
由C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的方程为．
（2）显然T（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x1，﹣y1），
由，消去x得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，Δ＝4m2+12（m2+4）＞0，
则，
又，而x2﹣x1与1﹣x1同号，
因此S△TQR＝S△PQR﹣S△PTR＝|y1|•（|x2﹣x1|﹣|1﹣x1|）＝|y1|•|（x2﹣x1）﹣（1﹣x1）|
＝，
当且仅当，即m＝±2时等号成立，
所以△TQR面积的最大值为．
21．【解答】解：（Ⅰ）q≠1时，设等比数列{an}的公比为q，∵a3＝，S3＝．
∴q＝1满足条件，当q≠1时，，解得a1＝6，q＝﹣．
∴…（4分）
（Ⅱ）证明：由题意知：…（6分）
∴
∴bn＝2n…（8分）
∴…（10分）
∴…（12分）
22．【解答】解：（1）根据题意，⇒，
故有①，②，
②﹣①得，（an+1+an+2）（an+1﹣an）＝4an+1，
化简可得，（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）＝0，
∵an+1+an＞0，
∴an+1﹣an﹣2＝0⇒an+1﹣an＝2，
即得数列{an}是公差为2的等差数列，
又因为a1＝1，
所以数列{an}的通项公式即为：an＝2n﹣1（n∈N*）．
（2）根据题意，因为对于任意的n∈N*，都有2n+1（bn+1﹣bn）＝an+1，
即得，
⇒，，……，，
将以上（n﹣1）个式子相加可得，，
∵b1＝；，
∴（）③；
∴④；
④﹣③得，
＝（n∈N*）．
23．【解答】解：（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：Δ＝12a4k2﹣8a2（a2k2+1）＝0，即a2k2﹣2＝0，∴，
由两切线垂直得：，∴；
（2）证明：由（1）得，椭圆方程为，
由题可知，直线MN的斜率存在，设MN：y＝nx+t，
联立直线与椭圆方程，消去y整理得（2n2+1）x2+4ntx+2t2﹣2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得：，
由题意MN为直径的圆过点Q，∴①，
又，
，
代入①式得：3t2+2t﹣1＝0，∴或﹣1（舍去），∴MN过定点．