福建省福清市2023-2024学年七年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份福建省福清市2023-2024学年七年级（上）期末数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作，
故选：A．
2. 截至2022年底，我国海上风电累计装机已超千瓦，连续两年位居全球首位，占比达一半左右．将数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，B地在灯塔O的西北方向，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵A地在灯塔O的北偏东方向，B地在灯塔O的西北方向，
∴， ，
∴，
故选：A．
5. 如图，点C为线段AB上一点，若，，则（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 4
【答案】D
【解析】∵点C在线段AB上，，，
∴．
故选：D．
6. 如果，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.将两边同时乘以可得，结论正确，故不符合题意；
B.将两边同时减可得，结论正确，故不符合题意；
C.当时，变形错误，故符合题意；
D.将两边同时加上可得，结论正确，故不符合题意；
故选：C．
7. 若表示a、b两数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察数轴可知：，，，
∴，，，，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
8. 若的值为5，则值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】∵，则
∴，
故选：C．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，那么点C为线段中点．
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”．
C. 如果，，，那么A，B，C三点在一条直线上．
D. 已知且，依据“同角的补角相等”可得．
【答案】C
【解析】A．如果，点C不一定在线段上，所以错误，不符合题意；
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点之间线段最短”，所以错误，不符合题意；
C．如果，，，那么A，B，C三点在一条直线上，正确，符合题意；
D．已知且，依据“同角的余角相等”可得，所以错误，不符合题意．
故选：C．
10. 已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 8B. 5C. 3D. 1
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，
，
∵关于x的方程的解为正整数，k为整数，
∴或，
解得：或，
∴和为．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 2024的倒数是______．
【答案】
【解析】，
2024的倒数是，
故答案为：．
12. 单项式的系数为______．
【答案】
【解析】单项式的系数为．
故答案为：．
13. 一个角的余角等于，那么这个角等于______度．
【答案】30
【解析】∵一个角的余角等于，
∴这个角为．
故答案为：30．
14. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则可列方程______．
【答案】
【解析】设人数为x，根据题意得：
，
故答案为：．
15. 如果，那么的值为______．
【答案】3
【解析】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：3．
16. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，，为折痕，若点的对应点恰好落在折痕上，且，则______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】设，则，
∵折叠，
∴，
又∵
即
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18. 解方程：
（1）
（2）
解：（1），
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，；
（2），
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
19. 先化简，再求值：，其中，
解：
当，时，原式
20. 如图，已知，，若平分，求的度数．

解：∵，平分，
∴，
∵，
∴．
21. 一段公路甲队单独修需30天，乙队单独修需20天．先由甲队单独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天才能修完？(列方程解决问题)
解：设还需天能修完，
由题意得：
解得：，
答：还需天能修完．
22. 如图，点C为线段上一点，点D为线段延长线上一点且满足，
（1）尺规作图：根据题意补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求线段的长．
解：（1）如图，线段即为所求作的线段，
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 某超市用3000元购进苹果、桔子两种水果共500千克，这两种水果的进价、标价如下表所示：
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若苹果按标价的八折出售，桔子也打折出售，那么这两种水果全部售出后，要使超市获利率为，桔子应打几折出售？
解：（1）设购买苹果x千克，桔子购进千克，根据题意得：
，
解得：，
∴桔子购进（千克），
答：购买苹果375千克，桔子购进125千克．
（2）设桔子应打y出售，根据题意得：
，
解得：，
答：桔子应该打折出售．
24. 综合与实践：
某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案：
方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒；
方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图；
问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
（2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______；
实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值．
解：（1）如图1，
∵，
∴；
（2）如图2，
∵，，
∴；
（3）如图3，
因为正方体的11种展开图中分为3类中，横排至少4个面，
∴正方体的棱长最大是，
∴表面积最大为：．
25. 如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．

（1）若，请说明射线是的角平分线；
（2）射线在直线上方，平分，，
①当时，求的度数
②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线．
（2）设度，则度，
，
①当在左侧时，如图所示：

则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当在左侧时，如图所示：

，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上分析可知，或；
②存在；
∵，，
∴一定在内部，如图所示：

∵，，
又∵平分，
∴，
∵，
，
∴
，
∴当，即时，定值．
类型价格
苹果
桔子
进价（元/千克）
7
3
标价（元/千克）
10
6