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2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，属于无理数的是( )
A. 2 B. 0.6 C. 167 D. 4
2. 在平面直角坐标系中，点P(−2,−3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 数轴上表示不等式的解集正确的是( )
A. x>2 B. x<2 C. x≥2 D. x≤2
4. 如图，下列条件中，不能判定AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠5 C. ∠2+∠5=180° D. ∠1+∠4=180°
5. 为了配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理.欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A. 频数分布直方图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 条形统计图
6. 如图，坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线l通过点(−3,4)且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？( )
A. A
B. B
C. C
D. D
7. 将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A. 75° B. 105° C. 120° D. 135°
8. 若a−b
9. 我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为( )
A. 115 B. −1 C. 1 D. 任意实数
10. 已知关于x，y的方程组x+2y=a+32x−y=6−3a，其中−1≤a≤2，下列说法正确的是( )
①当a=0时，x与y相等；
②x=0y=3是原方程组的解；
③无论a为何值时，x+y=3；
④若x≥32，m=2x−3y，则m的最大值为11；
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. − 5的相反数是______ ．
12. 如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1=37°，那么∠2= ______ °.
13. 现在很多市民都在用手机里“微信运动“软件记录自己每天走路的步数，为了调查我县45岁～60岁市民每天走路的步数情况，适合采取______调查(“全面”或“抽样”)．
14. 小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”.若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为______．
15. 在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为6，若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为______ ．
16. 阅读下列材料：“为什么 2不是有理数”，完成问题．
证明：假设 2是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得 2=pq，于是p= 2q，
∴ ______ ；
∵2q2是偶数，可得p2是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得______ .可得______ ；
∴q ______ .这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______ .(填上序号)
①4s2=2q2；②p2=2q2；③q是偶数；④q2=2s2．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解方程组：x−y=12x+3y=7．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算： (−2)2+| 3−2|−3−1．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：3(x−1)⩽5x+12x<1+9−x4．
20. (本小题8.0分)
完成下面的证明：如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，∠FDE=∠A.求证：DF//CA．
证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=______(______)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=______(等量代换)
∴DF//CA(______).
21. (本小题8.0分)
如图，三角形ABC(记作△ABC)三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(−1,−2)，C(3,−3)，先将△ABC向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)在图中画出△A1B1C1，则点A1的坐标为______ ，点B1的坐标为______ ；
(2)若点P(m,n)为△ABC内部一点，则经过平移后得到对应点P1(2m−2,−n)，则m+n= ______ ．
22. (本小题10.0分)
某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，并补全频数分布直方图；
(2)C组学生的频率为______，在扇形统计图中D组的圆心角是______度；
(3)请你估计该校初三年级体重超过60.5 kg的学生大约有多少名？
23. (本小题10.0分)
为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
年载客量(万人/年)
60
100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．
24. (本小题12.0分)
如图，直线EF//MN，点A、B分别在直线EF、MN上，点C在EF和MN之间，且满足∠CBN=2∠FAC，∠CAF<30°，点P为线段BC上一点(端点除外)，∠EAP的平分线与∠BPA的平分线交于点K．
(1)当∠ACB=45°时，求∠CBN；
(2)请用等式表示∠AKP与∠CAF的数量关系；
(3)若2∠AKP−∠PAF=90°时，判断线段AP与AC的大小关系，并说明理由．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系xOy中，以点A(a,b)，B(a+4,b−2)，C(a+4,m)，D(a,n)为顶点的四边形位于第一象限内，其中a、b满足|a−1|+ 6−b=0．
(1)求出a与b的值；
(2)若点P坐标为(0,132)，线段AB上是否存在点E，使得三角形OPE面积等于13，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接OB交线段CD于M点，点N为线段AB上一点，连接AM、MN、NC，若m、n满足方程2m+n+3t=14m+n=10−2t，且S△MCNS△AMB=23，求点M到直线AD的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 2是无理数，故本选项符合题意；
B.0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.167是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D. 4=2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1)，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：点P(−2,−3)所在的象限是第三象限．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】D
【解析】解：根据数轴上表示的解集得：x≤2，
故选：D．
根据数轴上表示的解集写出不等式的解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故A选项不符合题意；
∵∠1=∠5，
∴AB//CD，
故B选项不符合题意；
由∠2+∠5=180°，不能判定AB//CD，
故C符合题意；
∵∠4+∠5=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠1=∠5，
∴AB//CD，
故D不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：想反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：B．
根据条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点进行判断．
本题考查了统计图的选择，掌握各种统计图的特点是关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示：
有一直线l通过点(−3,4)且与y轴垂直，则l也会通过点D．
故选：D．
直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．
此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得：∠A=30°，∠DCE=45°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠1=180°−∠ACD−∠DCE=105°．
故选：B．
由平行线的性质可得∠A=∠ACD=30°，再利用平角的定义即可求∠1．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】C
【解析】解：A.根据不等式的基本性质，由a
C.根据不等式的基本性质，当c>0，由a−b，那么D的不等式成立，故D符合题意．
故选：C．
根据不等式的基本性质解决此题．
本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由图可得，m=x+2x+y=3x+y，n=2x+y+3−2y=2x−y+3，
∴k=m+n
=(3x+y)+(2x−y+3)
=3x+y+2x−y+3
=5x+3，
∵k=8，
∴5x+3=8，
解得x=1．
故选：C．
根据图形，可以用含x、y的式子表示出m、n；再用x、y的代数式表示出k，从而可以求得x的值．
本题考查列代数式、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出方程的解．
10.【答案】D
【解析】解：①当a=0时，则x+2y=32x−y=6，
解得x=3y=0，
故选项①错误；
②把x=0y=3代入①得，a+3=6，
解得a=3，
∵1≤a≤2，
∴x=0y=3不是方程组的解，
故选项②错误；
③x+2y=a+3①2x−y=6−3a②，
①+②×2得：5x=15−5a，即x=3−a，
①×2−②得：5y=5a，即y=a，
所以无论a为何值时，x+y=3；
故③正确；
④由③可知x=3−a，y=a，
∵x≥32，
∴3−a≥32，
∴−1≤a≤32，
∴−1≤y≤32，
∵m=2x−3y，
∴y取得最小值−1时，m的值最大，
∵x+y=3，
∴x=4，
∴当x=4，y=−1时，m的值最大，最大值为2×4−3×(−1)=11．
故④正确．
故选：D．
求得方程组的解即可判断①；把x=0y=3代入①，解得a=3，再看−1≤a≤2，即可判断②；解方程组求得x、y的值，即可判断③；由③可知x=3−a，y=a，根据x≥32即可求得−1≤a≤32，得到−1≤y≤32，结合m=2x−3y，即可求得当x=4，y=−1时，m的值最大，最大值为2×4−3×(−1)=11，即可判断④．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键还在结合a的取值范围．
11.【答案】 5
【解析】解：− 5的相反数是：−(− 5)= 5．
故答案为： 5．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键．
12.【答案】37
【解析】解：∠2=∠1=37°．
故答案为：37．
由对顶角的性质：对顶角相等，即可得到答案．
本题考查对顶角，关键是掌握对顶角相等．
13.【答案】抽样
【解析】现在很多市民都在用手机里“微信运动“软件记录自己每天走路的步数，为了调查我县45岁～60岁市民每天走路的步数情况，适合采取抽样调查．
故答案为：抽样．
根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
14.【答案】x+y=122x+4y=40
【解析】解：根据题意可列方程组为：x+y=122x+4y=40．
故答案为：x+y=122x+4y=40．
关系式为：鸡的只数+兔的只数=12；2×鸡的只数+4×兔的只数=40，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
15.【答案】(6,6)或(−6,6)
【解析】解：如图，
由图象知，符合条件的点B的坐标为(6,6)或(−6,6)．
故答案为：(6,6)或(−6,6)．
根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案．
本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、B的位置进行分类讨论，以防漏解．
16.【答案】p2=2q2 4s2=2q2 q2=2s2 是偶数 ②①④③
【解析】证明：假设 2是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得 2=pq，于是p= 2q，
∴p2=2q2；
∵2q2是偶数，可得p2是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得4s2=2q2.可得q2=2s2；
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数．
故答案为：p2=2q2；4s2=2q2；q2=2s2；是偶数；②①④③．
根据题意利用反证法假设 2是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
17.【答案】解：x−y=1 ①2x+3y=7 ②，
①×3+②得：5x=10，即x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为x=2y=1．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
利用加减消元法求出解即可．
18.【答案】解： (−2)2+| 3−2|−3−1
=2+(2− 3)−(−1)
=2+2− 3+1
=5− 3．
【解析】先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质计算，再合并即可得到答案．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
19.【答案】解：3(x−1)≤5x+1①2x<1+9−x4②，
解不等式①得：3x−3≤5x+1，
3x−5x≤1+3，
−2x≤4，
x≥−2，
解不等式②得：8x<4+9−x，
8x+x<4+9，
9x<13，
x<139，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<139．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.【答案】∠EDF 两直线平行，内错角相等 ∠BFD 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=∠EDF(两直线平行，内错角相等)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=∠BFD(等量代换)
∴DF//CA(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠EDF，两直线平行，内错角相等；∠BFD，同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质，得到∠BFD=∠EDF，再根据平行线的判定，即可得出DF//CA．
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21.【答案】(0,5) (−2,−2) −1
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(0,5)，点B1的坐标为(−2,−2)，
故答案为：(0,5)，(−2,−2)；
(2)由题意可知，m−1=2m−2n+4=−n，
解得m=1n=−2，
∴m+n=−1，
故答案为：−1．
(1)根据平移变换的性质找出对应点即可作出图形，再根据图形写出点的坐标即可；
(2)根据平移规律得出关于m、n的等式，求出m、n即可求解．
本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
22.【答案】50 0.32 72
【解析】解：(1)4÷8%=50(人)，
50−4−16−10−8=12(人)，
故答案为：50，补全统计图如下：
(2)“C组”的频率为16÷50=0.32，
“D组”所对应的圆心角的度数为：360°×1050=72°，
故答案为：0.32，72；
(3)600×10+850=216(名)，
答：该校600名初三年级的学生体重超过60.5kg大约有216名．
(1)从两个统计图中可得“A组”的频数为4人，占调查人数的8%，根据频率=频数总数进行计算即可，求出“B组”的频数即可补全统计图；
(2)根据频率=频数总数进行计算即可，求出“D组”所占的百分比进而求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，从而估计总体中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)依题意得：a+2b=4002a+b=350，
解得：a=100b=150．
答：a的值为100，b的值为150．
(2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10−m)辆，
依题意得：100m+150(10−m)≤120060m+100(10−m)≥680，
解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当m=6时，10−m=10−6=4，购买总费用为100×6+150×4=1200(万元)；
当m=7时，10−m=10−7=3，购买总费用为100×7+150×3=1150(万元)；
当m=8时，10−m=10−8=2，购买总费用为100×8+150×2=1100(万元)．
答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【解析】(1)利用总价=单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10−m)辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，再利用总价=单价×数量，可求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)如图，过C作DG//EF，
∵EF//MN，
∴EF//MN//DG，
∴∠FAC=∠ACD，∠CBN=∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠FAC+∠CBN=3∠FAC=45°，
∴∠FAC=15°，
∴∠CBN=2∠FAC=30°；
(2)∠AKP=90°−∠CAF.(或∠AKP+∠CAF=90°)，理由如下：
设∠FAC=x，∠CAP=y，
则∠CBN=2x，∠EAP=180°−∠FAC−∠CAP=180°−x−y，
∵KA平分∠EAP，
∴∠EAK=∠KAP=180°−x−y2，
如图2，过K作KH//EF，过P作PI//EF，则EF//KH//PI，
∴∠APB=∠PAF+∠PBN=3x+y，
∠IPB=∠PBN=2x，
又∵KP平分∠BPA，
∴∠KPB=12∠APB=3x+y2，
∴∠KPI=∠KPB−∠IPB=3x+y2−2x=y−x2，
∴∠AKP=∠EAK+∠KPI=180°−x−y2+y−x2=90°−x，
∴∠AKP=90°−∠CAF.(或∠AKP+∠CAF=90°)；
(3)AP
∵2∠AKP−∠PAF=90°，
∴2(90°−x)−(x+y)=90°，得y=90°−3x，
则∠APB=∠PAF+∠PBN=3x+y=3x+90°−3x=90°，
∴AP⊥PC，
∴AP
(2)设∠FAC=x，∠CAP=y，则∠CBN=2x，∠EAP=180°−∠FAC−∠CAP=180°−x−y，过K作KH//EF，过P作PI//EF，则EF//KH//PI，根据平行线的性质即可解决问题；
(3)结合(2)得y=90°−3x，证明AP⊥PC，进而可以解决问题．
本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
25.【答案】解：(1)∵|a−1|+ 6−b=0，
∴a−1=0，6−b=0，
解得a=1，b=6，
即a的值为1，b的值为6；
(2)存在，且E(4,92)，理由如下：
连接PE，过E作EF⊥y轴于点F，交AD于K点，过B作BH⊥y轴于点H，交AD于T点，
∵S△POB=12PO⋅EF，
则12×132×EF=13，得EF=4，
由(1)知A(1,6)，B(5,4)，则AT=2，AT//y轴，∠AKE=∠ATB=90°，
设E(4,x)，
∵S△AKE+S梯形KEBT=S△ATB，
∴12×3×(6−x)+12×(3+4)(x−4)=12×4×2
得x=92，
则E(4,92)；
(3)连接AC，过A作AJ⊥直线BC于J，过M作MI⊥BC于I，
由题意知2m+n+3t=14m+n=10−2t，
得m=−t+4n=−t+6，
则n=m+2，
∴A(1,6)，B(5,4)，C(5,m)，D(5,m+2)，
∴AD=BC=4−m，AD//BC//y轴，
线段AD向右平移4个单位长度，
再向下平移2个单位长度得到线段BC，
由平移可知AB//CD，
∴S△MCNS△AMB=S△MBCS△ABC=12BC⋅MI12BC⋅AJ=MIAJ=23，
则MI4=23，
得MI=83，
∴点M到直线AD的距离=4−83=43．
【解析】(1)根据二次根式和绝对值的非负性得出结论即可；
(2)连接PE，过E作EF⊥y轴于点F，交AD于K点，过B作BH⊥y轴于点H，交AD于T点，根据S△POE=12PO⋅EF，得出EF=4，则E(4,x)，根据S△AKE+S梯形KEBT=S△ATB，列方程求出x的值，然后得出E点坐标即可；
(3)根据关系式得出n=m+2，连接AC，过A作AJ⊥直线BC于J，过M作MI⊥BC于I，根据点的坐标和面积关系得出MI的长度，即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握二元一次方程组及直角坐标系的知识是解题的关键．
2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，属于无理数的是( )
A. 2 B. 0.6 C. 167 D. 4
2. 在平面直角坐标系中，点P(−2,−3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 数轴上表示不等式的解集正确的是( )
A. x>2 B. x<2 C. x≥2 D. x≤2
4. 如图，下列条件中，不能判定AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠5 C. ∠2+∠5=180° D. ∠1+∠4=180°
5. 为了配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理.欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A. 频数分布直方图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 条形统计图
6. 如图，坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线l通过点(−3,4)且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？( )
A. A
B. B
C. C
D. D
7. 将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A. 75° B. 105° C. 120° D. 135°
8. 若a
9. 我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为( )
A. 115 B. −1 C. 1 D. 任意实数
10. 已知关于x，y的方程组x+2y=a+32x−y=6−3a，其中−1≤a≤2，下列说法正确的是( )
①当a=0时，x与y相等；
②x=0y=3是原方程组的解；
③无论a为何值时，x+y=3；
④若x≥32，m=2x−3y，则m的最大值为11；
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. − 5的相反数是______ ．
12. 如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1=37°，那么∠2= ______ °.
13. 现在很多市民都在用手机里“微信运动“软件记录自己每天走路的步数，为了调查我县45岁～60岁市民每天走路的步数情况，适合采取______调查(“全面”或“抽样”)．
14. 小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”.若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为______．
15. 在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为6，若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为______ ．
16. 阅读下列材料：“为什么 2不是有理数”，完成问题．
证明：假设 2是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得 2=pq，于是p= 2q，
∴ ______ ；
∵2q2是偶数，可得p2是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得______ .可得______ ；
∴q ______ .这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______ .(填上序号)
①4s2=2q2；②p2=2q2；③q是偶数；④q2=2s2．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解方程组：x−y=12x+3y=7．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算： (−2)2+| 3−2|−3−1．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：3(x−1)⩽5x+12x<1+9−x4．
20. (本小题8.0分)
完成下面的证明：如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，∠FDE=∠A.求证：DF//CA．
证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=______(______)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=______(等量代换)
∴DF//CA(______).
21. (本小题8.0分)
如图，三角形ABC(记作△ABC)三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(−1,−2)，C(3,−3)，先将△ABC向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)在图中画出△A1B1C1，则点A1的坐标为______ ，点B1的坐标为______ ；
(2)若点P(m,n)为△ABC内部一点，则经过平移后得到对应点P1(2m−2,−n)，则m+n= ______ ．
22. (本小题10.0分)
某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5)，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是______，并补全频数分布直方图；
(2)C组学生的频率为______，在扇形统计图中D组的圆心角是______度；
(3)请你估计该校初三年级体重超过60.5 kg的学生大约有多少名？
23. (本小题10.0分)
为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
年载客量(万人/年)
60
100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求a，b的值；
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．
24. (本小题12.0分)
如图，直线EF//MN，点A、B分别在直线EF、MN上，点C在EF和MN之间，且满足∠CBN=2∠FAC，∠CAF<30°，点P为线段BC上一点(端点除外)，∠EAP的平分线与∠BPA的平分线交于点K．
(1)当∠ACB=45°时，求∠CBN；
(2)请用等式表示∠AKP与∠CAF的数量关系；
(3)若2∠AKP−∠PAF=90°时，判断线段AP与AC的大小关系，并说明理由．
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系xOy中，以点A(a,b)，B(a+4,b−2)，C(a+4,m)，D(a,n)为顶点的四边形位于第一象限内，其中a、b满足|a−1|+ 6−b=0．
(1)求出a与b的值；
(2)若点P坐标为(0,132)，线段AB上是否存在点E，使得三角形OPE面积等于13，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接OB交线段CD于M点，点N为线段AB上一点，连接AM、MN、NC，若m、n满足方程2m+n+3t=14m+n=10−2t，且S△MCNS△AMB=23，求点M到直线AD的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 2是无理数，故本选项符合题意；
B.0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.167是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D. 4=2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1)，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：点P(−2,−3)所在的象限是第三象限．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】D
【解析】解：根据数轴上表示的解集得：x≤2，
故选：D．
根据数轴上表示的解集写出不等式的解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴AB//CD，
故A选项不符合题意；
∵∠1=∠5，
∴AB//CD，
故B选项不符合题意；
由∠2+∠5=180°，不能判定AB//CD，
故C符合题意；
∵∠4+∠5=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠1=∠5，
∴AB//CD，
故D不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：想反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：B．
根据条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点进行判断．
本题考查了统计图的选择，掌握各种统计图的特点是关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示：
有一直线l通过点(−3,4)且与y轴垂直，则l也会通过点D．
故选：D．
直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．
此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得：∠A=30°，∠DCE=45°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠1=180°−∠ACD−∠DCE=105°．
故选：B．
由平行线的性质可得∠A=∠ACD=30°，再利用平角的定义即可求∠1．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】C
【解析】解：A.根据不等式的基本性质，由a
C.根据不等式的基本性质，当c>0，由a
故选：C．
根据不等式的基本性质解决此题．
本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由图可得，m=x+2x+y=3x+y，n=2x+y+3−2y=2x−y+3，
∴k=m+n
=(3x+y)+(2x−y+3)
=3x+y+2x−y+3
=5x+3，
∵k=8，
∴5x+3=8，
解得x=1．
故选：C．
根据图形，可以用含x、y的式子表示出m、n；再用x、y的代数式表示出k，从而可以求得x的值．
本题考查列代数式、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出方程的解．
10.【答案】D
【解析】解：①当a=0时，则x+2y=32x−y=6，
解得x=3y=0，
故选项①错误；
②把x=0y=3代入①得，a+3=6，
解得a=3，
∵1≤a≤2，
∴x=0y=3不是方程组的解，
故选项②错误；
③x+2y=a+3①2x−y=6−3a②，
①+②×2得：5x=15−5a，即x=3−a，
①×2−②得：5y=5a，即y=a，
所以无论a为何值时，x+y=3；
故③正确；
④由③可知x=3−a，y=a，
∵x≥32，
∴3−a≥32，
∴−1≤a≤32，
∴−1≤y≤32，
∵m=2x−3y，
∴y取得最小值−1时，m的值最大，
∵x+y=3，
∴x=4，
∴当x=4，y=−1时，m的值最大，最大值为2×4−3×(−1)=11．
故④正确．
故选：D．
求得方程组的解即可判断①；把x=0y=3代入①，解得a=3，再看−1≤a≤2，即可判断②；解方程组求得x、y的值，即可判断③；由③可知x=3−a，y=a，根据x≥32即可求得−1≤a≤32，得到−1≤y≤32，结合m=2x−3y，即可求得当x=4，y=−1时，m的值最大，最大值为2×4−3×(−1)=11，即可判断④．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键还在结合a的取值范围．
11.【答案】 5
【解析】解：− 5的相反数是：−(− 5)= 5．
故答案为： 5．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键．
12.【答案】37
【解析】解：∠2=∠1=37°．
故答案为：37．
由对顶角的性质：对顶角相等，即可得到答案．
本题考查对顶角，关键是掌握对顶角相等．
13.【答案】抽样
【解析】现在很多市民都在用手机里“微信运动“软件记录自己每天走路的步数，为了调查我县45岁～60岁市民每天走路的步数情况，适合采取抽样调查．
故答案为：抽样．
根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
14.【答案】x+y=122x+4y=40
【解析】解：根据题意可列方程组为：x+y=122x+4y=40．
故答案为：x+y=122x+4y=40．
关系式为：鸡的只数+兔的只数=12；2×鸡的只数+4×兔的只数=40，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
15.【答案】(6,6)或(−6,6)
【解析】解：如图，
由图象知，符合条件的点B的坐标为(6,6)或(−6,6)．
故答案为：(6,6)或(−6,6)．
根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案．
本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、B的位置进行分类讨论，以防漏解．
16.【答案】p2=2q2 4s2=2q2 q2=2s2 是偶数 ②①④③
【解析】证明：假设 2是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得 2=pq，于是p= 2q，
∴p2=2q2；
∵2q2是偶数，可得p2是偶数．
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得4s2=2q2.可得q2=2s2；
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数．
故答案为：p2=2q2；4s2=2q2；q2=2s2；是偶数；②①④③．
根据题意利用反证法假设 2是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
17.【答案】解：x−y=1 ①2x+3y=7 ②，
①×3+②得：5x=10，即x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为x=2y=1．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
利用加减消元法求出解即可．
18.【答案】解： (−2)2+| 3−2|−3−1
=2+(2− 3)−(−1)
=2+2− 3+1
=5− 3．
【解析】先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质计算，再合并即可得到答案．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
19.【答案】解：3(x−1)≤5x+1①2x<1+9−x4②，
解不等式①得：3x−3≤5x+1，
3x−5x≤1+3，
−2x≤4，
x≥−2，
解不等式②得：8x<4+9−x，
8x+x<4+9，
9x<13，
x<139，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<139．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.【答案】∠EDF 两直线平行，内错角相等 ∠BFD 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵DE//AB(已知)
∴∠BFD=∠EDF(两直线平行，内错角相等)
∵∠FDE=∠A(已知)
∴∠A=∠BFD(等量代换)
∴DF//CA(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠EDF，两直线平行，内错角相等；∠BFD，同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质，得到∠BFD=∠EDF，再根据平行线的判定，即可得出DF//CA．
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21.【答案】(0,5) (−2,−2) −1
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(0,5)，点B1的坐标为(−2,−2)，
故答案为：(0,5)，(−2,−2)；
(2)由题意可知，m−1=2m−2n+4=−n，
解得m=1n=−2，
∴m+n=−1，
故答案为：−1．
(1)根据平移变换的性质找出对应点即可作出图形，再根据图形写出点的坐标即可；
(2)根据平移规律得出关于m、n的等式，求出m、n即可求解．
本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
22.【答案】50 0.32 72
【解析】解：(1)4÷8%=50(人)，
50−4−16−10−8=12(人)，
故答案为：50，补全统计图如下：
(2)“C组”的频率为16÷50=0.32，
“D组”所对应的圆心角的度数为：360°×1050=72°，
故答案为：0.32，72；
(3)600×10+850=216(名)，
答：该校600名初三年级的学生体重超过60.5kg大约有216名．
(1)从两个统计图中可得“A组”的频数为4人，占调查人数的8%，根据频率=频数总数进行计算即可，求出“B组”的频数即可补全统计图；
(2)根据频率=频数总数进行计算即可，求出“D组”所占的百分比进而求出相应的圆心角的度数；
(3)求出样本中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，从而估计总体中体重超过60.5 kg的学生所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)依题意得：a+2b=4002a+b=350，
解得：a=100b=150．
答：a的值为100，b的值为150．
(2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10−m)辆，
依题意得：100m+150(10−m)≤120060m+100(10−m)≥680，
解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当m=6时，10−m=10−6=4，购买总费用为100×6+150×4=1200(万元)；
当m=7时，10−m=10−7=3，购买总费用为100×7+150×3=1150(万元)；
当m=8时，10−m=10−8=2，购买总费用为100×8+150×2=1100(万元)．
答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【解析】(1)利用总价=单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10−m)辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，再利用总价=单价×数量，可求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)如图，过C作DG//EF，
∵EF//MN，
∴EF//MN//DG，
∴∠FAC=∠ACD，∠CBN=∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠FAC+∠CBN=3∠FAC=45°，
∴∠FAC=15°，
∴∠CBN=2∠FAC=30°；
(2)∠AKP=90°−∠CAF.(或∠AKP+∠CAF=90°)，理由如下：
设∠FAC=x，∠CAP=y，
则∠CBN=2x，∠EAP=180°−∠FAC−∠CAP=180°−x−y，
∵KA平分∠EAP，
∴∠EAK=∠KAP=180°−x−y2，
如图2，过K作KH//EF，过P作PI//EF，则EF//KH//PI，
∴∠APB=∠PAF+∠PBN=3x+y，
∠IPB=∠PBN=2x，
又∵KP平分∠BPA，
∴∠KPB=12∠APB=3x+y2，
∴∠KPI=∠KPB−∠IPB=3x+y2−2x=y−x2，
∴∠AKP=∠EAK+∠KPI=180°−x−y2+y−x2=90°−x，
∴∠AKP=90°−∠CAF.(或∠AKP+∠CAF=90°)；
(3)AP
∵2∠AKP−∠PAF=90°，
∴2(90°−x)−(x+y)=90°，得y=90°−3x，
则∠APB=∠PAF+∠PBN=3x+y=3x+90°−3x=90°，
∴AP⊥PC，
∴AP
(2)设∠FAC=x，∠CAP=y，则∠CBN=2x，∠EAP=180°−∠FAC−∠CAP=180°−x−y，过K作KH//EF，过P作PI//EF，则EF//KH//PI，根据平行线的性质即可解决问题；
(3)结合(2)得y=90°−3x，证明AP⊥PC，进而可以解决问题．
本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
25.【答案】解：(1)∵|a−1|+ 6−b=0，
∴a−1=0，6−b=0，
解得a=1，b=6，
即a的值为1，b的值为6；
(2)存在，且E(4,92)，理由如下：
连接PE，过E作EF⊥y轴于点F，交AD于K点，过B作BH⊥y轴于点H，交AD于T点，
∵S△POB=12PO⋅EF，
则12×132×EF=13，得EF=4，
由(1)知A(1,6)，B(5,4)，则AT=2，AT//y轴，∠AKE=∠ATB=90°，
设E(4,x)，
∵S△AKE+S梯形KEBT=S△ATB，
∴12×3×(6−x)+12×(3+4)(x−4)=12×4×2
得x=92，
则E(4,92)；
(3)连接AC，过A作AJ⊥直线BC于J，过M作MI⊥BC于I，
由题意知2m+n+3t=14m+n=10−2t，
得m=−t+4n=−t+6，
则n=m+2，
∴A(1,6)，B(5,4)，C(5,m)，D(5,m+2)，
∴AD=BC=4−m，AD//BC//y轴，
线段AD向右平移4个单位长度，
再向下平移2个单位长度得到线段BC，
由平移可知AB//CD，
∴S△MCNS△AMB=S△MBCS△ABC=12BC⋅MI12BC⋅AJ=MIAJ=23，
则MI4=23，
得MI=83，
∴点M到直线AD的距离=4−83=43．
【解析】(1)根据二次根式和绝对值的非负性得出结论即可；
(2)连接PE，过E作EF⊥y轴于点F，交AD于K点，过B作BH⊥y轴于点H，交AD于T点，根据S△POE=12PO⋅EF，得出EF=4，则E(4,x)，根据S△AKE+S梯形KEBT=S△ATB，列方程求出x的值，然后得出E点坐标即可；
(3)根据关系式得出n=m+2，连接AC，过A作AJ⊥直线BC于J，过M作MI⊥BC于I，根据点的坐标和面积关系得出MI的长度，即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握二元一次方程组及直角坐标系的知识是解题的关键．
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