2023-2024学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，无理数是( )
A. −2B. 0C. πD. 4
2.在平面直角坐标系中，点P(−2,1)位于( )
A. 第二象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列调查方式不合理的是( )
A. 全面调查“嫦娥六号”月球探测器的零部件的质量
B. 全面调查人们保护海洋的意识
C. 抽样调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
D. 抽样调查全国中学生对数学学习的兴趣程度
4.把不等式组的解集x>−1x≤1表示在数轴上，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列各式计算正确的是( )
A. ± 4=2B. 4=±2C. (−2)2=−2D. 3−8=−2
6.若a>b，则下列不等式不一定成立的是( )
A. a2>b2B. a−b>0C. −2a<−2bD. a+3>b+3
7.如图，由下列条件不能判定AB/​/CD的是( )
A. ∠A+∠ADC=180°
B. ∠ABD=∠BDC
C. ∠ABC+∠C=180°
D. ∠ADB=∠DBC
8.如图，在棋盘上有3颗棋子，若②与③表示的位置分别用坐标可表示为(0,−1)，(1,0)，则棋子①的位置表示为( )
A. (1,2)
B. (2,−2)
C. (2,−1)
D. (3,1)
9.把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若______，依题意设有x名同学，可列不等式3(x+4)>5x，则横线处可以是( )
A. 每人分3本，则剩余4本B. 每人分3本，则最后一人可多分4本
C. 每人分3本比每人分5本，书多剩出4本D. 每人分3本，则可多分给4个人
10.在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(−2,−2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20.若D(1,2)、E(−2,1)、F(0,t)三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为( )
A. t≥9或t≤−6B. −6≤t≤9C. t≥8或t≤−5D. −5≤t≤8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小： 5 ______2.(填“<”或“>”)
12.平面直角坐标系中，点P(3,−4)到x轴的距离是 ．
13.一组数据，其中最大值是169，最小值是146，对这组数据进行整理时，组距是4，则组数为______．
14.已知x=2a+3，y=1−2a，则x与y的关系是______．
15.已知x=3不是关于x的不等式x−a>0的解，则a的取值范围______．
16.如图，将线段AB平移得到线段CD，点P在AC延长线上，点Q在射线OB上，∠PCD、∠QBA的角平分线所在直线相交于点E，若∠OAB=α，∠OBA=β，则∠CEB= ______.(用α，β表示)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：3−8+| 2−2|．
18.(本小题8分)
解方程组：2x+y=43x+y=3．
19.(本小题8分)
解不等式组2x+3≥x+82x+73−120.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠C=40°，延长CD至点E，DF平分∠ADE，DG⊥DF交BC于点G，求∠CDG的度数．
21.(本小题8分)
“读书的目的，不在于取得多大的成就，而在于，当你被生活打回原形，陷入泥潭时，给你一种内在的力量.”为此，某校为了打造书香校园，打算购进有益于增进学生阅读兴趣的甲、乙两种图书，已知购买1本甲种图书和2本乙种图书需140元，购买2本甲种图书和3本乙种图书需230元．
(1)甲、乙两种图书每本分别是多少元？
(2)若该校打算购买甲种图书a本，两种图书共100本，但总费用不能超过4524元，求a的最小值．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知A(3,4)，B(1,3)，C(4,1)．
(1)请根据题中所给的坐标，画出△ABC；
(2)将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请直接写出点A，B，C所对应的点A1，B1，C1的坐标；
(3)若点P(m,n)是三角形ABC内部一点，则经过(2)问的平移后得到对应点M(2m−5,2n−7)，求m+n的值．
23.(本小题10分)
结合我国水资源短缺的形势，某校以“家庭去年月均生活用水量”为题，在全校范围内开展一次统计调查活动，通过简单随机抽样获得50个学生家庭去年的月均生活用水量(单位：吨)．

收集数据如下：4.5 2.3 3.0 2.2 5.1 2.7 7.2 4.4 4.9 6.6 4.7 5.2 6.7 8.8 2.3 4.5 3.3 3.3 4.8 3.6 3.4 3.3 3.7 4.8 3.6 3.7 5.7 5.8 5.7 6.4
5.9 3.6 4.3 4.5 7.4 3.8 9.4 4.5 6.6 3.8 4.7 4.7 4.8 5.7 5.8 6.7 5.9 4.7 6.6 7.7
整理数据：列频数分布表如下(不完整)
描述数据：画频数分布直方图和扇形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)求D组数据所对应的扇形统计图的圆心角度数；
(3)以此样本来估计总体，为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超过标准提高水价，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均生活用水量标准应定多少吨？请说明理由．
24.(本小题12分)
在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程(x−1)2=1时，错解成x2−1=1，数学老师带领学生们探究(x−1)2的括号展开形式.(1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下：解：(x−1)2=(x−1)(x−1)(乘方的定义)
=x(x−1)−(x−1)(步骤②)
=x2−x−x+1
=x2−2x+1
步骤②用到的依据是______(使用的运算律)；
请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出(a−b)2的括号展开形式；
(2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下：
如图1，将a2，b2分别看成边长为a，b的两个正方形(a>b)，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为______，因此阴影部分的面积用a，b可表示为______，还可以表示为______，从而得到(a−b)2的展开形式．
(3)拓展延伸：
①由平方的非负性，探究a2+b2与2ab的大小关系．
②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为t(t>0)，求护栏长度的最小值．
25.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(6,n+7)，B(1,n+5)，C(1,n+2)，D(4,n+2)，其中−5(1)求证：BC⊥CD．
(2)如图2，连接AC，若点M(s,t)在线段AC上.①求t−s的值.(用含n的式子表示)
②若△MBC的面积等于△AMD的面积的1.5倍，比较MB与MC的大小关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 4=2是整数，
∴−2、0、2是整数，故是有理数；
π是无理数．
故选：C．
根据无理数的定义进行解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点的坐标，横坐标小于零，纵坐标大于零点在第二象限．
根据横坐标比零小，纵坐标比零大，可得答案．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，点P(−2,1)位于第二象限，
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：A、全面调查“嫦娥六号”月球探测器的零部件的质量，故A不符合题意；
B、抽样调查人们保护海洋的意识，故B符合题意；
C、抽样调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，故C不符合题意；
D、抽样调查全国中学生对数学学习的兴趣程度，故D不符合题意；
故选：B．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：把不等式组的解集x>−1x≤1表示在数轴上，正确的是：
．
故选：B．
根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．”画出数轴．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】D
【解析】解：(A)∵± 4=±2，
∴A不正确，不符合题意；
(B)∵ 4=2，
∴B不正确，不符合题意；
(C)∵ (−2)2=2，
∴C不正确，不符合题意；
(D)∵3−8=−2，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
分别计算判断即可．
本题考查二次根式的性质与化简及平方根，掌握相关知识是本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵a>b时，a2>b2不一定成立，例如a=4，b=−4时，4>−4，但是42=(−4)2，
∴选项A符合题意；
∵a>b，
∴a−b>0，
∴选项B不符合题意；
∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴a+3>b+3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
根据a>b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠A+∠ADC=180°，
∴AB/​/CD，
故A不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB/​/CD，
故B不符合题意；
∵∠ABC+∠C=180°，
∴AB/​/CD，
故C不符合题意；
∵∠ADB=∠DBC，
∴AD//BC，
故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，建立直角坐标系，
则棋子①的位置表示为(2,−2)．
故选：B．
建立正确的直角坐标系即可得出答案．
本题主要考查坐标确定位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由不等式3(x+4)>5x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分3本，则可多分4个人；若每人分5本，则有剩余．
故选：D．
根据不等式表示的意义解答即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
10.【答案】C
【解析】解：由题知，
∵D(1,2)、E(−2,1)、F(0,t)，
∴“水平底”为：1−(−2)=3．
当t≤1时，
“铅垂高”为：2−t，
∴3(2−t)≥21，
解得t≤−5，
∴t≤−5．
当1“铅垂高”为：2−1=1，
∴3×1=3<21，
故此情况不存在．
当t>2时，
“铅垂高”为：t−1，
∴3(t−1)≥21，
解得t≥8，
∴t≥8，
综上所述，t的取值范围是：t≥8或t≤−5．
故选：C．
根据题中所给“矩面积”的定义，再对t的取值范围进行分类讨论，进而可表示出D，E，F三点的“矩面积”，建立不等式即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中“矩面积”的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】解：∵2= 4，
又∵ 5> 4，
∴ 5>2，
故答案为：>．
先把2写成 4，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12.【答案】4
【解析】【分析】
根据点的坐标表示方法得到点P(3,−4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|−4|即可．
本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值是解题的关键．
【解答】
解：点P(3,−4)到x轴的距离为|−4|=4．
故答案为4．
13.【答案】6
【解析】解：(169−146)÷4=234≈6(组)，
故答案为：6．
求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、极差的关系进行计算即可．
本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，掌握组距、组数、极差之间的关系是正确计算的前提．
14.【答案】x+y=4
【解析】解：∵x=2a+3，y=1−2a，
∴x+y=2a+3+1−2a，
∴x+y=4，
故答案为：x+y=4．
当x=2a+3，y=1−2a，两式相加即可得出x+y=4．
本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
15.【答案】a≥3
【解析】解：由x−a>0，得：x>a，
∵x=3不是关于x的不等式x−a>0的解，
∴a≥3，
故答案为：a≥3．
先解出不等式x−a>0的解集，然后根据x=3不是关于x的不等式x−a>0的解得到a≥3．
本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16.【答案】α+β2或90°−α+β2
【解析】解：当点Q在点B左侧时，如图所示，
由平移可知，
CD/​/AB，
∴∠OCD=∠OAB=α，
∴∠PCD=180°−α．
∵CN平分∠PCD，
∴∠PCN=12∠PCD=90°−12α，
∴∠ECM=∠PCN=90°−12α．
∵BE平分∠QBA，
∴∠ABE=12∠QBA=12β，
∴∠AMB=180°−α−12β，
∴∠CEB=∠AMB−∠ECM=90°−α+β2．
当点Q在点B右侧时，如图所示，
同理可得，
∠ECH=90°−12α，∠ABH=90°−12β，
由平移可知，
CD/​/AB，
∴∠CHE=∠ABH=90°−12β，
∴∠CEB=180°−(90°−12α)−(90°−12β)=α+β2．
综上所述，∠CEB的度数为：α+β2或90°−α+β2．
故答案为：α+β2或90°−α+β2．
对点Q在点B的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题．
本题主要考查了平移的性质，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键．
17.【答案】解：3−8+| 2−2|
=−2+2− 2
=− 2．
【解析】首先计算开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：2x+y=4①3x+y=3②，
②−①得：x=−1，
把x=−1代入①，得−2+y=4，
解得：y=6，
所以方程组的解是x=−1y=6．
【解析】先②−①求出x=−1，把再x=−1代入①得出−2+y=4，最后根据等式的性质求出y即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
19.【答案】解：2x+3≥x+8①2x+73−1解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x>4，
∴原不等式组的解集为：x≥5．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：∵∠A+∠B=180°，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠C=40°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠EDF=12∠ADE=20°，
∵DG⊥DF，
∴∠FDG=90°，
∴∠EDG=∠EDF+∠FDG=110°，
∴∠CDG=180°−∠EDG=70°．
【解析】根据平行线的性质与判定可求得∠ADE的度数，再由角平分线的定义可求得∠EDF的度数，再结合已知条件求得∠EDG的度数，继而求得∠CDG的度数．
本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，结合已知条件求得∠ADE的度数是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲种图书每本为x元，乙种图书每本为y元，
由题意，得x+2y=1402x+3y=230，
解得：x=40y=50，
答：甲种图书每本为40元，乙种图书每本为50元；
(2)由题意，得40a+50×(100−a)≤4524，
解得：a≥47.6，
∵a为正数，
∴a≥48．
∴a的最小值为48．
【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得甲种图书最多能购买多少本．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求．

(2)∵△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1(0,0)，B1(−2,−1)，C1(1,−3)．
(3)由平移得，点P(m,n)的对应点的坐标为(m−3,n−4)，
∴m−3=2m−5n−4=2n−7，
解得m=2n=3，
∴m+n=5．
【解析】(1)根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
(2)根据平移的性质可得答案．
(3)根据平移的性质可得点P(m,n)的对应点的坐标为(m−3,n−4)，则可得m−3=2m−5n−4=2n−7，求出m，n的值，即可得出答案．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)由收集数据可得C组的频数为10、D组的频数为8，
补全频数分布直方图如下：

(2)D组数据所对应的扇形统计图的圆心角度数是：360°×850=57.6°；
(3)要使60%的家庭收费不受影响，我觉得家庭月均用水量标准应定为5吨，理由如下：
∵要使60%的家庭收费不受影响，
∴收费不受影响的家庭有50×60%=30(户)，
∵由频数表知9+21=30，
∴家庭月均用水量标准应定为5吨．
【解析】(1)根据收集数据可得C、D组的频数，即可补全频数分布直方图；
(2)360°乘以D组所占的比例即可求解；
(3)由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而9+21=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
本题考查读扇形统计图，用样本估计总体，频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】乘法分配律 ab (a−b)2 a2−2ab+b2
【解析】解：(1)步骤②用到的依据是：乘法的分配律，
故答案为：乘法分配律，
(a−b)2
=(a−b)(a−b)
=a(a−b)−b(a−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2；
(2)图2长方形ABCD和长方形AEFG的面积都可以表示为：ab，阴影部分的面积表示为：(a−b)2，还可以表示为：a2−2ab+b2，
故答案为：ab，(a−b)2，a2−2ab+b2；
(3)①∵(a−b)2≥0，
a2+b2−2ab≥0，
a2+b2≥2ab；
②∵长方形花园的长为t，面积为25，
∴长方形花园的宽为：25t，
∴长方形花园的周长为：2(t+25t)
=2[( t)2+(5 t)2]，
∵2× t×5 t=10，
由①可知2[( t)2+(5 t)2]≥2×2 t×5 t，
2[( t)2+(5 t)2≥20,
∴护栏长度的最小值为20．
(1)观察计算过程，找出应用的依据，并按照此法写出推导过程即可；
(2)观察图形，根据已知条件，找出长方形ABCD和长方形AEFG的长与宽，根据面积公式列出算式，再根据阴影部分是正方形，求出它的边长，从而求出它的面积，还可以根据阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积+阴影部分的面积−长方形ABCD与长方形AEFG的面积之和的2倍，从而求出答案即可；
(3)①根据偶次方的非负性和不等式的性质进行探究即可；
②根据已知条件，求出长方形花园的宽，然后求出其周长，最后根据①中的结论进行解答即可．
本题主要考查了估算无理数、配方法的应用和偶次方的非负性，解题关键是理解题意，列出算式．
25.【答案】(1)证明：∵B(1,n+5)，C(1,n+2)，
∴BC⊥x轴，
∴∠CKO=90°，
∵C(1,n+2)，D(4,n+2)，
∴CD/​/x轴，
∴∠C=∠CKO=90°，
∴BC⊥CD．

(2)解：①过点M作MF⊥CD于点F，
过点A作AE⊥CD于点E，
过点M作MG⊥AE于点G，连接ME，
∵A(6,n+7)，C(1,n+2)，D(4,n+2)，M(s,t)，
∴CE=5，AE=5，MF=t−(n+2)=t−n−2，MG=6−s，
∵S△ACE=S△AME+S△CME，
∴CE⋅AE2=AE⋅MG2+CE⋅MF2，
即CE⋅AE=AE⋅MG+CE⋅MF，
∴5×5=5×(6−s)+5×(t−n−2)，
解得：s=t−n−1，
∴t−s=n+1．

②过点M作MG⊥BC于点G，
∴MG=s−l，
∴S△BCM=12BC⋅MG=3×(s−1)2，
∵S△AMD=S△ACD−S△CDM，
∴S△AMD=CD⋅AE2−CD⋅MF2=3×52−3(t−n−2)2=21−3t+3n2，
∵△MBC的面积等于△AMD面积的1.5倍，
∴3×(s−1)2=32×21−3t+3n2，
解得：s=11.5−1.5t+1.5n，
又由①知t−s=n+1，
∴s=11.5−1.5t+1.5nt−s=n+1，解得s=4t=n+5，
所以M点坐标为(4,n+5)，
∵B(1,n+5)，
∴MB//x轴，
∴∠MBC=∠BKO=90°，
∴MB⊥BC，
∴MB
【解析】(1)根据B(1,n+5)，C(1,n+2)，可知BC⊥x轴，又根据C(1,n+2)，D(4,n+2)，可知CD//x轴，从而得到BC⊥CD；
(2)①过点M作MF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点M作MG⊥AE于点G，连接ME，根据A、C、D、M的坐标可得CE=5，AE=5，MF=t−(n+2)=t−n−2，MG=6−s，
根据S△ACE=S△AME+S△CME，可得CE⋅AE=AE⋅MG+CE⋅MF，代入计算可得t−s=n+1；
②过点M作MG⊥BC于点G，可表示出S△BCM=3×(s−1)2，S△AMD=21−3t+3n2，根据△MBC的面积等于△AMD面积的1.5倍，得到3×(s−1)2=32×21−3t+3n2，即s=11.5−1.5t+1.5n，联立s=11.5−1.5t+1.5nt−s=n+1，解得s=4t=n+5，得到M点坐标为(4,n+5)，从而得到MB⊥BC，可得MB本题第(1)问考查了平面直角坐标系中与坐标轴平行或垂直的直线上点的坐标特征；第(2)问考查了平面直角坐标系中三角形面积的表示及直角三角形中斜边最长等知识．掌握坐标系中特殊位置的点的坐标特征，通过辅助线找出三角形并用字母表示出三角形面积是解题的关键．组别
月均生活用水量(x)
频数(家庭数)
A
2.0≤x<3.5
9
B
3.5≤x<5.0
21
C
5.0≤x<6.5
D
6.5≤x<8.0
E
8.0≤x<9.5
2
合计
50