2023-2024学年河南省信阳市浉河区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省信阳市浉河区八年级上学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（3a）2＝6a2
C．a6÷a3＝a2D．3a2﹣a2＝2a2
3．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
5．（3分）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（2，6）D．（2，﹣6）
6．（3分）校园湖边一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（ ）
A．线段AC、BD的交点
B．∠ABC、∠BCD角平分线的交点
C．线段AB、BC垂直平分线的交点
D．线段BC、CD垂直平分线的交点
7．（3分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
8．（3分）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
10．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：a3﹣a＝ ．
13．（3分）如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且BE＝CF，AC＝DF，添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF（写出一个即可）．
14．（3分）如图，已知△ABC的面积为12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为 cm2．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．
（2）解方程：．
17．（9分）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，请探究DE与BC有何数量关系，并说明理由．
20．（9分）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐篷解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐篷的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
21．（9分）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（3）若y＝﹣x2﹣2x当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
22．（10分）（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
23．（10分）【发现】：
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴．
【拓展】：
如图（2），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：
在如图（3）的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（3a）2＝6a2
C．a6÷a3＝a2D．3a2﹣a2＝2a2
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项的法则计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、3a2﹣a2＝2a2，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则．
3．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【解答】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；
C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；
D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
5．（3分）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（2，6）D．（2，﹣6）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6．（3分）校园湖边一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（ ）
A．线段AC、BD的交点
B．∠ABC、∠BCD角平分线的交点
C．线段AB、BC垂直平分线的交点
D．线段BC、CD垂直平分线的交点
【分析】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴使点P到三面墙的距离都相等，点P是∠ABC、∠BCD角平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．
7．（3分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
【分析】分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案．
【解答】解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即（a2+b2）﹣﹣＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20可得：
S阴影面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．
故选：C．
【点评】此题考查整式的混合运算，解答本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
8．（3分）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10．（3分）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12．（3分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且BE＝CF，AC＝DF，添加一个条件 AB＝DE（答案不唯一） ，使△ABC≌△DEF（写出一个即可）．
【分析】根据全等三角形的判定添加合适的条件即可．
【解答】解：添加AB＝DE（答案不唯一），
证明如下：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝FE，
∵AC＝DF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．（3分）如图，已知△ABC的面积为12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为 6 cm2．
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×12cm2＝6cm2，
故答案为：6cm2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．注意：等底等高的三角形的面积相等．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA＝MQ1＝1，∠Q1MA＝120°，然后由直角三角形求MQ即可．
【解答】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1，
当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合，
当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2，
∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，
当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示：
∵ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，M是AB边的中点，
∴AM＝BM＝1，
∵BMQ1是等边三角形，
∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°，
∴∠Q1MA＝120°，
∴∠MQ1Q＝30°，
又∵MQ⊥Q1Q2，
MQ＝．
故答案为：
【点评】本题主要考查垂线段最短，关键是根据题意分析出当M在BP的垂直平分线上时QM最短．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．
（2）解方程：．
【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣1﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣1﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣2x﹣2；
（2）去分母得：2x＝3x﹣3x+3，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：3（x﹣1）≠0，
∴x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式及分式方程的解法是解本题的关键．
17．（9分）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
【分析】先通分括号内的式子，再因式分解，化简到最简，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，请探究DE与BC有何数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AC＝2AE，DE⊥AC，再利用垂直定义和等角的余角相等证得∠DAE＝∠B，然后证明△DEA≌△ACB得到DE＝AC，AE＝BC，进而可得结论．
【解答】解：（1）如图所示，射线AE即为所求作：
（2）DE＝2BC．理由如下：
∵DA＝DC，DE平分∠ADC，
∴AC＝2AE，DE⊥AC，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°．
∴∠DAE＝∠B，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC，AE＝BC
∵AC＝2AE，
∴DE＝2BC．
【点评】本题考查基本尺规作图﹣作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键．
20．（9分）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐篷解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐篷的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
【分析】①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据题意得：
﹣＝4，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产1.5×20＝30（顶），
答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐篷；
②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：
3y+2.4×≤60，
解得：y≥10，
则至少应安排甲工厂加工生产10天．
答：至少应安排甲工厂加工生产10天．
【点评】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程和不等式，注意分式方程要检验．
21．（9分）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ；
（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（3）若y＝﹣x2﹣2x当x＝ ﹣1 时，y有最 大 值（填“大”或“小”），这个值是 1 ．
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣4﹣5＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；
∵（x﹣3）2≥0，
∴当x＝3时，x2﹣6x+12的最小值是3；
（3）y＝﹣x2﹣2x＝﹣x2﹣2x﹣1+1＝﹣（x2+2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1，
∵（x+1）2≥0，
∴﹣（x+1）2≤0，
∴当x＝﹣1的时候，y有最大值1．
故答案为：﹣1；大；1．
【点评】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
22．（10分）（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，进而证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，AD＝CE，结合图形计算，得到答案；
（2）根据补角的概念、三角形内角和定理得到∠ABD＝∠CAE，证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，AD＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△FBD≌△FAE，得到FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，进而得出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理证明结论．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）结论DE＝BD+CE成立，
理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA+AE＝BD+CE；
（3）△DFE为等边三角形，
理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，
在△FBD和△FAE中，
，
∴△FBD≌△FAE（SAS），
∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DFE为等边三角形．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（10分）【发现】：
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°
∴∠CAH＝∠B（ 同角的余角相等 ），
在△ABH和△CAH中，
∴△ABH≌△CAH．（ AAS ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ 全等三角形的对应边相等 ）．
∴．
【拓展】：
如图（2），在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 90° ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：
在如图（3）的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D，证明△APC≌△ADB，可得DP＝BP+BD＝6+1＝7，进而可得点A到BP的距离．
【解答】解：发现：证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（同角的余角相等），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（全等三角形的对应边相等）．
∴AH＝BC．
故答案为：同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等；
拓展：∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH＝CD，
理由如下：
∵∠DAB+∠BAE＝90°，∠EAC+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，DB＝EC，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°；
∵点D、B、C在同一条直线上，
∴DB+BC＝CD，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴AH＝BC，
∵DB＝CE，AH＝BC，
∴CE+2AH＝CD．
故答案为：90°；
应用：点A到BP的距离为：或．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BDA＝∠APC＝90°+∠APD，AB＝AC，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CP＝1，
∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°，
∴∠ACP+∠ABP＝180°，
∴∠ACP＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△APC≌△ADB（ASA），
∴BD＝CP＝1
∴DP＝BP+BD＝6+1＝7．
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝．
综上所述：点A到BP的距离为：或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．