2023-2024学年河南省信阳市浉河区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省信阳市浉河区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (3a)2=6a2C. a6÷a3=a2D. 3a2−a2=2a2
3.在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A. 1cmB. 2cmC. 13cmD. 14cm
4.下列因式分解正确的是( )
A. 2a2−4a+2=2(a−1)2B. a2+ab+a=a(a+b)
C. 4a2−b2=(4a+b)(4a−b)D. a3b−ab3=ab(a−b)2
5.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(−6,2)，则点B的坐标为( )
A. (6,2)
B. (−6,−2)
C. (2,6)
D. (2,−6)
6.校园湖边一角的形状如图所示，其中AB，BC，CD表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等.则点P在( )
A. 线段AC、BD的交点
B. ∠ABC、∠BCD角平分线的交点
C. 线段AB、BC垂直平分线的交点
D. 线段BC、CD垂直平分线的交点
7.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是( )
A. 5
B. 10
C. 20
D. 30
8.已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数.则m的取值范围是( )
A. m≤2B. m≥2
C. m≤2且m≠−2D. m<2且m≠−2
9.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75∘，则∠CDE的度数是( )
A. 60∘B. 65∘C. 75∘D. 80∘
10.如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是______.
12.因式分解：a3−a=__________.
13.如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且BE=CF，AC=DF，添加一个条件______，使△ABC≌△DEF(写出一个即可).
14.如图，已知△ABC的面积为12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2.
15.在矩形ABCD中，AB=2，AD=2 3，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.如图，在△ABC中，∠ABC=82∘，∠C=58∘，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB.
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：(x−1)(x+1)−(x+1)2.
(2)解方程：2x3x−3=xx−1−1.
18.(本小题9分)
先化简，再求值：(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m，其中m=−1.
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD=AB=CD，连接AC.
(1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的基础上，若AC⊥BC，请探究DE与BC有何数量关系，并说明理由.
20.(本小题9分)
2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐篷解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐篷的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
21.(本小题9分)
教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式x2+2x−3.
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2.
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5=______；
(2)求代数式x2−6x+12的最小值；
(3)若y=−x2−2x当x=______时， y有最______值(填“大”或“小”)，这个值是______.
22.(本小题10分)
(1)猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；
(2)探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角)如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
23.(本小题10分)
【发现】：
如图(1)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=12BC.
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC=90∘，
∴∠AHC=90∘=∠BAC.
∴∠BAH+∠CAH=90∘，∠BAH+∠B=90∘
∴∠CAH=∠B(______)，
在△ABH和△CAH中，
∠CAH=∠B∠AHC=∠BHAAB=CA
∴△ABH≌△CAH.(______).
∴BH=AH，AH=CH.(______).
∴AH=12BC.
【拓展】：
如图(2)，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90∘，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE.则∠DCE的度数为______，同时猜想线段 AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由.
【应用】：
在如图(3)的两张图中，在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90∘，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90∘，请直接写出点A到BP的距离.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A.
利用轴对称图形的定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a2+3=a5，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、(3a)2=9a2，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、a6÷a3=a6−3=a3，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、3a2−a2=2a2，计算正确，故选项符合题意．
故选：D.
根据同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项的法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则．
3.【答案】C
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
8−6解得：2只有13cm适合，
故选：C.
首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4.【答案】A
【解析】解：A选项，2a2−4a+2=2(a−1)2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a=a(a+b+1)，故该选项不符合题意；
C选项，4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，故该选项不符合题意；
D选项，a3b−ab3=ab(a2−b2)=ab(a+b)(a−b)，故该选项不符合题意．
故选：A.
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(−6,2)，则点B的坐标为(6,2).
故选：A.
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6.【答案】B
【解析】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴使点P到三面墙的距离都相等，点P是∠ABC、∠BCD角平分线的交点．
故选：B.
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即(a2+b2)−a22−b(a+b)2=12(a2+b2−ab)=12(a2+b2+2ab−3ab)=12[(a+b)2−3ab]；
代入a+b=10，ab=20可得：
S阴影面积=(10×10−20×3)÷2=20.
故选：C.
分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b=10，ab=20，计算可得答案．
此题考查整式的混合运算，解答本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
8.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，
解得：x=2−m2，
由分式方程的解是非负数，得到2−m2≥0，且2−m2−2≠0，
解得：m≤2且m≠−2，
故选：C.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，根据三角形的外角性质即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75∘，
∴∠ODC=25∘，
∵∠CDE+∠ODC=180∘−∠BDE=105∘，
∴∠CDE=105∘−∠ODC=80∘.
故选：D.
10.【答案】B
【解析】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG=4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC=CH，
∴S△ACH=12AC⋅HF=12CH⋅AG，
∴HF=AG=4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B.
作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．
11.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2.
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1).
13.【答案】AB=DE(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=DE(答案不唯一)，
证明如下：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=FE，
∵AC=DF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
故答案为：AB=DE(答案不唯一).
根据全等三角形的判定添加合适的条件即可．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90∘，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×12cm2=6cm2，
故答案为：6cm2.
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．注意：等底等高的三角形的面积相等．
15.【答案】12
【解析】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1，
当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合，
当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2，
∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，
当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示：
∵ABCD是矩形，AB=2，AD=2 3，M是AB边的中点，
∴AM=BM=1，
∵BMQ1是等边三角形，
∴MQ1=AM=BM=1，∠BMQ1=60∘，
∴∠Q1MA=120∘，
∴∠MQ1Q=30∘，
又∵MQ⊥Q1Q2，
MQ=12.
故答案为：12
点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA=MQ1=1，∠Q1MA=120∘，然后由直角三角形求MQ即可．
本题主要考查垂线段最短，关键是根据题意分析出当M在BP的垂直平分线上时QM最短．
16.【答案】解：∵∠CAB=180∘−∠ABC−∠C，
而∠ABC=82∘，∠C=58∘，
∴∠CAB=40∘，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF=20∘，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB=90∘，
∴∠AFB=∠ADB+∠DAF=90∘+20∘=110∘.
故答案为：110∘.
【解析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB=40∘，然后利用角平分线的性质求出∠DAF=20∘，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
本题考查了三角形的内角和等于180∘求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=x2−1−(x2+2x+1)
=x2−1−x2−2x−1
=−2x−2；
(2)去分母得：2x=3x−3x+3，
解得：x=32，
检验：把x=32代入得：3(x−1)≠0，
∴x=32是分式方程的解．
【解析】(1)原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式及分式方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m
=(m−1m−1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m
=m−2m−1⋅m(m−1)(m−2)2
=mm−2，
当m=−1时，原式=−1−1−2=13.
【解析】先通分括号内的式子，再因式分解，化简到最简，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，射线AE即为所求作：
(2)DE=2BC.理由如下：
∵DA=DC，DE平分∠ADC，
∴AC=2AE，DE⊥AC，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED=∠DAB=∠ACB=90∘，
∴∠DAE+∠BAC=90∘，∠BAC+∠B=90∘.
∴∠DAE=∠B，
在△DEA和△ACB中，
∠AED=∠ACB∠DAE=∠BAD=AB，
∴△DEA≌△ACB(AAS)，
∴DE=AC，AE=BC
∵AC=2AE，
∴DE=2BC.
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图步骤画图即可；
(2)先根据等腰三角形的性质得到AC=2AE，DE⊥AC，再利用垂直定义和等角的余角相等证得∠DAE=∠B，然后证明△DEA≌△ACB得到DE=AC，AE=BC，进而可得结论．
本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键．
20.【答案】解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据题意得：
240x−2401.5x=4，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产1.5×20=30(顶)，
答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐篷；
②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：
3y+2.4×550−30y20≤60，
解得：y≥10，
则至少应安排甲工厂加工生产10天．
答：至少应安排甲工厂加工生产10天．
【解析】①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．
此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程和不等式，注意分式方程要检验．
21.【答案】(m+1)(m−5)−1大 1
【解析】解：(1)m2−4m−5=m2−4m+4−4−5=(m−2)2−9=(m−2+3)(m−2−3)=(m+1)(m−5).
故答案为：(m+1)(m−5)；
(2)x2−6x+12=x2−6x+9+3=(x−3)2+3；
∵(x−3)2≥0，
∴当x=3时，x2−6x+12的最小值是3；
(3)y=−x2−2x=−x2−2x−1+1=−(x2+2x+1)+1=−(x+1)2+1，
∵(x+1)2≥0，
∴−(x+1)2≤0，
∴当x=−1的时候，y有最大值1.
故答案为：−1；大；1.
(1)凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
(2)凑成完全平方加一个数值的形式；
(3)和(2)类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)DE=BD+CE，
理由如下：∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB=∠CEA=90∘，
∴∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∠ADB=∠CEA=90∘∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
(2)结论DE=BD+CE成立，
理由如下：∵∠BAD+∠CAE=180∘−∠BAC，∠BAD+∠ABD=180∘−∠ADB，∠ADB=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△BAD和△ACE中，
∠ADB=∠CEA∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=DA+AE=BD+CE；
(3)△DFE为等边三角形，
理由如下：由(2)得，△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD+∠FBA=∠CAE+FAC，即∠FBD=∠FAE，
在△FBD和△FAE中，
BF=AF∠FBD=∠FAEBD=AE，
∴△FBD≌△FAE(SAS)，
∴FD=FE，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘，
∴△DFE为等边三角形．
【解析】(1)根据同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，进而证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD=AE，AD=CE，结合图形计算，得到答案；
(2)根据补角的概念、三角形内角和定理得到∠ABD=∠CAE，证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD=AE，AD=CE，结合图形计算，得到答案；
(3)证明△FBD≌△FAE，得到FD=FE，∠BFD=∠AFE，进而得出∠DFE=60∘，根据等边三角形的判定定理证明结论．
本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】同角的余角相等 AAS 全等三角形的对应边相等 90∘
【解析】解：发现：证明：∵AH⊥BC，∠BAC=90∘，
∴∠AHC=90∘=∠BAC.
∴∠BAH+∠CAH=90∘，∠BAH+∠B=90∘.
∴∠CAH=∠B(同角的余角相等)，
在△ABH和△CAH中，
∠CAH=∠B∠AHC=∠BHAAB=CA.
∴△ABH≌△CAH.(AAS).
∴BH=AH，AH=CH.(全等三角形的对应边相等).
∴AH=12BC.
故答案为：同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等；
拓展：∠DCE的度数为90∘，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，
理由如下：
∵∠DAB+∠BAE=90∘，∠EAC+∠BAE=90∘，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，DB=EC，
∵∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ABD=∠ACE=135∘，
∴∠DCE=∠ACE−∠ACB=90∘；
∵点D、B、C在同一条直线上，
∴DB+BC=CD，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴AH=12BC，
∵DB=CE，AH=12BC，
∴CE+2AH=CD.
故答案为：90∘；
应用：点A到BP的距离为：52或72.
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90∘，交BP于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90∘，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BDA=∠APC=90∘+∠APD，AB=AC，
∴△APC≌△ADB(AAS)，
∴BD=CP=1，
∴DP=BP−BD=6−1=5，
∵AH⊥DP，
∴AH=12DP=52；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD=90∘，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90∘，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BAC=90∘，∠BPC=90∘，
∴∠ACP+∠ABP=180∘，
∴∠ACP=∠ABD，
∵AB=AC，
∴△APC≌△ADB(ASA)，
∴BD=CP=1
∴DP=BP+BD=6+1=7.
∵AH⊥DP，
∴AH=12DP=72.
综上所述：点A到BP的距离为：52或72.
发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90∘，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP−BD=6−1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90∘，交PB的延长线于点D，证明△APC≌△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．