专题02 高一上期末真题精选（压轴66题 7个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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【题型1】集合及其运算中的新定义题（1类考点）
【题型2】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）
【题型3】二次函数的最值问题（2类考点）
【题型4】根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）
【题型5】双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）
【题型6】指数函数与对数函数（2类考点）
【题型7】三角函数（4类考点）
01集合及其运算中的新定义题（1类考点）
考点01 集合及其运算中的新定义题
1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【详解】对于①，因为，而，
所以集合不是好集，故①错误；
对于②，因为集合为“好集”，
所以，
所以，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
2．（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题，，
则.，
则.则由题中所给定义有：.
故选：A
3．（2021·浙江·高一期末）设为不超过的最大整数，记函数，，的值域为，集合是集合的非空子集，对于任意元素，如果，且，那么是集合的一个“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一个“孤立元素”的集合恰好有6个，则正整数的可能值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，；
不满足题意，故选项A不正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，；
不满足题意，故选项B不正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，，，
，，
满足题意，故选项C正确；
当时，，，
由为不超过的最大整数，
得函数的值域，
又集合是集合的非空子集，
集合的所有子集中，
满足只有一个“孤立元素”的集合，
则，，，，
，，，
， ，，
，，，
共个满足条件的集合，
不满足题意，故选项D不正确；
故选：C.
4．（2021上·江苏苏州·高一统考期末）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作.若，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，∴．
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】对①：取，，满足，
但，，，故①错误；
对②：若，由函数定义可得，
所以，故②正确；
对③：取，，满足，
但，，，故③错误；
对④：假设，且，
则存在，则所以所以，
且，
若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立；
若，则，矛盾，假设不成立；
所以若，则，故④正确.
故选：B.
02一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）
考点01 一元二次不等式中的恒成立问题
1．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对，恒成立，等价于；
对，恒成立，等价于.
2．（2023下·河南新乡·高一统考期末）“”是“对任意，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，即，所以，
由，恒成立，
即在上恒成立，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为真包含于，
所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023上·江西新余·高一统考期末）已知，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数t的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】已知，，且，满足，
则，
即，
所以
又，则，则有，即，
所以若对于任意的，均有成立，
即，对于任意的恒成立，
当时，，当时等号成立，即得，
所以实数t的最大值是.
故选：A.
4．（2023上·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考期末）已知函数，当时，恒成立，则的最大值为 .
【答案】2
【详解】函数，对恒成立，令，则或，故，得，当时，满足，则的最大值为2.
故答案为：2
6．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.
(1)证明是增函数；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，且，
，
因为，函数在上单调递增，所以，
又，故，即.
因此，是增函数.
（2）由不等式得，
整理得，
令，即，
即，
因为，所以，，
所以要使原不等式恒成立，则有，
即，，
故的取值范围是
考点02 一元二次不等式中的能成立问题
1．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
2．（2019上·陕西商洛·高二校考期末）若关于的不等式的区间内有解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】不等式在区间内有解等价于，
因为函数在上单调递减，在单调递增，，
所以的值域为，所以，
故答案为：.
3．（2020上·山东威海·高一统考期末）若，使不等式成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，由可得，
则问题等价于存在，，
分离参数可得
若满足题意，则只需，
令，令，
则，容易知，
则只需，整理得，
解得.
故答案为：.
4．（2022上·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若不等式的解集为或，若不等式的解集；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）不等式，即，由于，
所以，其解集为或，
所以，且，解得，
所以不等式即，
即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，，使得成立，
，使得成立，由于，
所以，
由于函数的开口向下，对称轴为，
所以，
即的取值范围是.
5．（2022下·河北衡水·高二河北武强中学统考期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2
(2)(－∞，－2)
【详解】（1）由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．
（2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2)．
03二次函数的最值问题（2类考点）
考点01 动轴定范围
1．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数.
(1)若，求的值域；
(2)最小值为，若，求及此时的最大值.
【答案】(1)
(2)，5
【详解】（1）若，则，
即，
因为，
所以，则，
所以的值域为.
（2）
，
因为，所以：
若，即，，
若，即，，
若，即，
由题若，
则时，，无解；
时，，无解；
时，，
即，解得或舍去；
综上：，
此时，，
所以的最大值为.
2．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【详解】（1）当时，，其对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故函数在区间的最大值为，最小值为；
（2）对称轴为，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：.
考点02 定轴动范围
1．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最小值为．
（i）求；
【答案】(1)
(2)（i）；
【详解】（1）由可知的对称轴为，
设二次函数，
又，所以，所以，
又有唯一实数解，
所以有唯一实数解，即有唯一实数解，
所以方程的判别式，所以
所以．
（2）①的对称轴为，
（Ⅰ）当时，在上为单调增函数，所以；
（Ⅱ）当时，在上为单调减函数，所以；
（Ⅲ）当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数，
所以；
综上：
②由①知且关于对称．
04根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）
考点01 根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）
1．（2023上·河南南阳·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于是定义在上的偶函数，故，
则的图象关于直线对称；
对任意的，都有恒成立，
即对任意的，有，则，
故在上单调递减，根据对称性可知在上单调递增，
故由得，即，解得，
即不等式的解集为，
故选：C
2．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
3．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】的定义域为实数集，，所以是奇函数，
，∴在R上单调递增；
由得，，
则，即，
当时，，此时不等式等价为成立，
当，，所以，
因为，，所以，
则，则.
故选：D.
4．（2023下·河南焦作·高二统考期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，
则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，
当时，，则函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
因为，则，即，
即，即，解得或，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，
所以函数为奇函数，关于原点对称，
设，则，
因为，
所以即为上的增函数，
故在上单调递增，
因为，所以1，解得，
实数的取值范围为．
故答案为：
考点02 根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）
1．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，可得，
因为当时，，
当时，则，可得，
所以函数的解析式为.
（2）因为，
当时，，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增；
当时，，其开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增；
又易知在上是连续的，所以在上单调递增；
又，，
所以，即，
所以，则，
所以不等式的解集为.
2．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知函数
(1)判断函数的单调性并用定义法加以证明
(2)求不等式的解集
【答案】(1)减函数;证明见解析；
(2)
【详解】（1）为减函数.
证明如下: 的定义域为，
任取两个实数，且，
，
，
，
，
，
，
所以在上为单调减函数.
（2）对，，
故函数为奇函数，
由可得，
由（1）知在上为单调减函数，
，
解可得，
故不等式的解集为.
3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在定义域是增函数，解关于x的不等式.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意可知，即，解得，
所以函数的解析式为，；
（2）不等式可化为，
因为是定义在的奇函数，所以，
又因为在定义域是增函数，等价于，
解之得，故不等式的解集为.
4．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知是定义在R上的奇函数，且.
(1)求实数a，b的值；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意,解得，则，
经检验：，故，.
（2）设R上任意实数，且，
则，
所以在R上是增函数,
则，故.
解得.
5．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性（无需证明），并解不等式．
【答案】(1)
(2)在上为增函数，在上为减函数，解集为.
【详解】（1）设，则，因为是定义在上的偶函数，所以
，所以；
（2）由（1）知，时，.
因为与在上都是增函数，
所以在上为增函数，在上为减函数，
由，
解得，所以该不等式的解集为.
考点03 根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）
1．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为对任意正实数x，y，都有，
所以，即，
因为，
所以.
（2）由得，
任取，且，则，
，即，
所以函数在上是增函数；
（3）由（1）知，，
因为，
所以，即，
由（2）知，函数在上是增函数；
所以，解得，
故不等式的解集为.
2．（2022上·江苏南京·高一校考期末）若增函数对任意，，都有，且，恒成立．
(1)求，，；
(2)求方程的解集；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【详解】（1）令，则，得，
令，则，所以，
因为，所以，
令，则，所以，得，
（2）由题意可知，得，
因为，所以，
所以，所以，
因为为上的增函数，所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以方程的解集为
（3）因为，所以，
所以，
所以由，得，
因为为上的增函数，所以，
所以，，
解得，
所以不等式的解集为.
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数对任意的x，，都有，且当时．
(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；
(2)试判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)，是奇函数，证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）依题意，函数对任意的x，，都有，
令，得，
是奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，
，
由于，所以，
所以，
所以在上单调递减.
（3），，
由于在上单调递减，
所以，
所以不等式的解集是.
4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知函数是定义在R上的减函数，并且满足，.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）是定义在上的减函数，并且满足，
令，得，
.
（2）由（1）知，
令，得，
，
为上的奇函数，
又，令，，
，
，解得，
的取值范围为.
05双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）
考点01 双变量函数值相等问题
1．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减
因为函数在区间上存在零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）记函数，的值域为集合，
，的值域为集合，
则对任意的，总存在，使得成立，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以当，
，，
得，
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，
因为，
所以，解得；
当时，的值域为，
因为，所以，解得，
综上，实数的取值范围为.
2．（2022上·四川广安·高一统考期末）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），记函数，
由题可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，，
所以，
所以，.
故函数的值域为.
（2）由（1）得，则，
设在上的值域为，则.
函数的对称轴为，
当时，在上单调递增，
所以，，解得；
当时， ，不成立，舍去；
当时，在上单调递减，
所以，，解得.
综上：a的取值范围为.
3．（2022上·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）设函数，．
(1)求函数的值域；
(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，又，，
∴，当且仅当，即时取等号，
所以，
即函数的值域为．
（2）∵，
设，因为，所以，函数在上单调递增，
∴，即，
设时，函数的值域为A．由题意知，
∵函数，函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，
则，即，
∴，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，
而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，
则，即，满足条件的a不存在，
综上，．
考点02 双变量函数值不等问题
1．（2022上·广东汕尾·高一统考期末）已知函数满足.
(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；
(2)令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设，，且，
则，
当时，∴，，∴，∴，
即，∴函数在上单调递减，
当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知，令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴，
∵函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，
∴当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
∴，，
又∵对,，都有恒成立，
∴，即，解得，
又∵，∴k的取值范围是．
2．（2023下·江苏徐州·高二校考期末）已知函数是定义域上的奇函数，且.
(1)求a､b的值；
(2)若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；
(3)令，若对都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵，又是奇函数，∴，
，∴解得，∴.
经验证，函数定义域为，成立，满足要求，
所以.
（2）由（1）知，.
方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不相等的实数根，
需满足，解得.
（3）由题意知，
令,
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
∴,
∵函数的对称轴为，
∴函数在上单调递增.
当时，；当时，；
即，
又∵对都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵，
∴的取值范围是.
3．（2023下·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．
(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；
(2)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）函数在区间上单调递减，
则由零点存在定理可得，即
解得，所以的取值范围是．
（2）若对任意，都有，使得成立，
则当时，．
因为a＞1，所以当时，单调递减，
单调递增，
所以，，
所以．
当1＜a＜2时，，，不符合条件，
当时，，，符合条件，
所以a的取值范围是．
4．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）由条件知
若选①，则，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选②，则函数的最大值为，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选③，则，
所以，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由题意可知只需即可．
当时，，所以，
因此函数的最大值为1．
令，则，则
当即时，函数的最大值为，于是，
整理得，解得，均满足，所以；
当即时，函数的最大值为，于是，无实解；
综上所述，实数m的取值范围为．
06指数函数与对数函数（2类考点）
考点01 指数（对数）型复合函数中的零点问题
1．（2023下·河南开封·高二校联考期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
【详解】（1）令，，则，
当时单调递减，当时，单调递增，
是单调递增函数，，，
的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）令，，若恰有两个不同的零点，
即在上恰有两个不同的零点，
令
所以，
解得或，即实数的取值范围是.
2．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，，可得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
（2），可得，
即有两个不相等的实数根，
令，则有两个不相等的正实数根，
所以，可得，
解得.
3．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数且．
(1)试讨论的值域；
(2)若关于的方程有唯一解，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：．
因为，
所以当时，；当时，．
故当时，的值域为；当时，的值域为．
（2）因为关于的方程只有一个解，
所以有唯一解．
令，所以有唯一解．
关于的方程有唯一解，
设．
当时，，解得，不符合题意．
当时，，所以一定有一个解，符合题意．
当时，，解得．
当时，符合题意，当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
4．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）由已知得函数为偶函数，
则，即，
化简整理得，即恒成立，故．
（2）由得，
即，，
所以的两个零点为，，
因为，，且，所以，且，
解得，且．
故a的取值范围是．
考点02指数（对数）型复合函数中的恒成立问题
1．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)证明在上单调递增；
(2)设函数，求使函数有唯一零点的实数a的值；
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知的定义域为，，则，
，所以，所以为偶函数；
任取，则，
因为
，
当时，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，所以，
平方得，，
当时，，
经检验方程有唯一解，
当时，，解得，
综上可知，的值为.
（3）设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，
令，
即，
所以即.
2．（2023上·浙江·高一期末）已知函数是偶函数，且有且仅有两个零点．
(1)求实数a，b的值；
(2)设，若对任意和，都有成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意：，即有：，
两边平方得：，所以实数a的值为0，故.
由偶函数及二次函数性质易得：在和上递增；在和上递减．
因为,所以
则函数有且仅有两个零点等价于，即，解得．
（2）由（1）知：函数的最大值为0，
则问题等价于对任意，都有成立，即对任意恒成立，
当时，，
而在时取到最小值2，所以，
又当时，故实数a的取值范围为．
3．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）设函数，．
(1)当时，证明：方程在上有唯一实根；
(2)是否存在实数a，满足：对于任意，都有？若存在，求出所有满足条件的a；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）当时，，
方程在上有唯一实根等价于函数在上有唯一零点．
令，，
因为，，
所以在存在零点．
又在上单调递增，
所以在上有唯一零点，
故方程在上有唯一实根．
（2）对于任意，，都有的充要条件是，
令，则原函数可化为，，
记，，则开口向上，对称轴为，
①当时，在上是增函数，
所以，，
故，解得，这种情况无解；
②当时，在上是减函数，
所以，，
故，解得，这种情况也无解；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
故且，解得且，故；
综上，存在实数，满足：对于任意，都有．
考点03指数（对数）型复合函数中的能成立问题
1．（2023下·江苏镇江·高一统考）已知函数（且）.
(1)求函数的奇偶性；
(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)
【详解】（1）解：对于函数，有，则，解得，
所以函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
（2）解：由可得，
则，
令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，
因此，实数的取值范围是.
2．（2023上·广东广州·高一校考期末）已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，解得．
所以．
（2）
所以存在使不等式成立，且，
转化为存在使不等式成立，
令，所以不等式化为，
即，因为，
因为，所以，所以实数的取值范围．
3．（2022上·河北张家口·高一统考期末）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.
(1)①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；
(2)设，若，，使得成立，求实数的最小值.
【答案】(1)①图象见解析；②；
(2).
【详解】（1）①当时，.
列表：
描点连线，图象如图，
因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，
由图象可知当时，有6个交点，
所以实数的取值范围为；
（2）因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
因为在上为增函数，
所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，，使得成立，
所以，
所以，解得，
所以实数的最小值为.
考点04指数（对数）型复合函数中的新定义问题
1．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校联考）已知函数，．
(1)若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．
(2)设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，
即在内只有一个实数解，所以，
所以a的取值范围为．
（2）因为，所以当时，，
则．
因为，所以在上为减函数，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，，
由，得，即，
解得，故的取值范围为．
2．（2023上·辽宁鞍山·高一统考期末）一般地，设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则称为倒函数．请根据上述定义回答下列问题：
(1)已知，，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．设，若，求解不等式．
【答案】(1)是，不是
(2)没有，理由见解析
(3)
【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域D中任意实数x有成立，
又，是倒函数，
对于，定义域为，故当时，
不符合倒函数的定义，不是倒函数．
（2）令，则，根据倒函数的定义，可得，
即，，
当时，，方程无解；
当时，，
当时，；当时，；
故没有正整数解．
（3），又是上的倒函数，，
又在上是增函数，
当时，，又有，成立，
，
在上是增函数，
又，，有，
不等式，即，又在上是增函数，
有，解得
07三角函数（4类考点）
考点01 三角函数中的零点问题
1．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
因为，所以，故，
，即的值域为.
（2）
令，可得，
解得，.
因为在区间上没有零点，
所以，解得，
因为，所以
又由，得，所以或
当时，；
当时，
综上所述，正实数的取值范围是.
2．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；
(3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)时最小值为；时最大值为1；
(3).
【详解】（1）因为，
所以最小正周期为，又增区间为，
令得：，
所以的单调递增区间为．
（2）因为，所以．
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1．
（3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：

由图知：，即.
3．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求函数的值域；
(3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
所以函数最小正周期.
（2）当时，，
则，
，，
因此，函数在区间上的值域为.
（3）∵，
由得，
若函数在上有且仅有两个零点，则，
则，解得.
即.
4．（2023下·北京西城·高一统考期末）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）
，
由，，
得，，
所以的单调递增区间是．
（3）因为，所以．
依题意，解得．
所以m的取值范围为．
5．（2021上·天津静海·高一静海一中校考期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【详解】（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，
因为，所以，
所以函数.
（2），
令，
则，
所以，，
因为对称轴，
所以当时，，
即的最大值为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（4）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
考点02三角函数中的恒成立问题
1．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，则
则为偶函数，
于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，
又，所以，故.
（2）因为，所以，
故，，
而恒成立，
即，
整理可得.
令，，
设，，设，且，
则，
由于，，则，所以，
即区间上单调递增，故，
故，即实数m的取值范围是.
（3）由题意知，
由得，
故或，，
解得或，，
故的零点为或，，
所以相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，，
分别恰有个零点，
所以在区间上恰有个零点，
从而在区间上至少有一个零点，所以，
另一方面，在区间上恰有个零点，
所以的最小值为.
2．（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为， ,
则,
，
故，
因为最小正周期为，所以，∴，
故，
由,解得，
所以的单调递增区间为.
（2）在内恒成立，
即在内恒成立，，
整理得：，
由于，，则，
故，对恒成立，
令，则，
故，
设，当时函数为单调递增函数，
故，故，即，
所以m的取值范围为．
3．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数
的图象.
(1)求函数在区间[，]上的单调递减区间；
(2)若对于恒成立，求实数m的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
因[，]，则，又分别在上单调递增和递减，
则，即函数在区间[，]上的单调递减区间为；
（2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
所得解析式为，
又将所得函数图象向右平移个单位长度，
解析式为，则.
因，则.
又在上单调递增，在上单调递减，
则，故.
方法1：令，则等价于
，.
当时，，则此时m可取任意值；
当时，，
注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；
当时，，
注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；
综上可得：.
方法2：令，则等价于
，.
则.
4．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）定义在区间上的函数且为奇函数．
(1)求实数的值，并且根据定义研究函数的单调性：
(2)不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1；答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得，
所以，检验：，满足题意；
任取，且，
则，
因为，，所以，，
当时，，所以即，
此时在上单调递增；
当时，，所以即，
此时在上单调递减；
（2），
由可得，
因为，所以，所以，所以，
所以，解得，
当时，由在上单调递增可得恒成立，
所以，解得；
当时，由在上单调递减可得恒成立，
所以，解得；
当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是；
考点03三角函数中的存在性问题
1．（2021上·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【详解】选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，
当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.
2．（2021上·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【详解】（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
3．（2020上·安徽淮南·高一统考期末）已知函数,的最小正周期为.
(1)求的单调增区间;
(2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在,.
【详解】(1)函数
∵的最小正周期为.∴,∴.
那么的解析式
令得:
∴的单调增区间为.
(2)方程;在上有且有一个解,
转化为函数与函数只有一个交点.
∵,∴
因为函数在上增,在上减,
且，
∴或,所以或.
(3)由(1)可知,∴.
实数满足对任意,都存在,
使得成立.
即成立
令
设,那么
∵,∴,
可得在上恒成立.
令,其对称轴，
∵上,
∴①当时,即,,解得;
②当,即时,,解得;
③当,即时,,解得;
综上可得,存在,可知的取值范围是.
考点04三角函数中的新定义问题
1．（2023下·北京西城·高一统考期末）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．
【答案】(1)①否；②是
(2)，．
(3)，证明见解析
【详解】（1），则；，则，故①否；②是.
（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：
．
所以，对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，．
（3）．
函数，则有：
，
．
取，则有：
，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：
在上有唯一零点，在上有唯一零点．
又由于，则对任意，有：
，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．
综上所述，存在，使得在上有4046个零点：
，，，，…，，，
其中，．
2．（2023下·上海宝山·高一统考期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）由已知可得，，，
所以，，
所以，.
（2）.
证明如下：
左边，
右边.
所以，左边=右边，
所以，.
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以，.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即有最大值.
则要使有解，应有，
即，所以.
3．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
(1)若，求函数的“平衡”数对；
(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)是
(3)
【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
（2）若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为
4．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理由；
(2)已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）因为，所以.
作出在上的图象如下图，
当时，为单调递增函数，则，
又为偶函数，所以函数的值域为.
由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点，
根据定义可得，是的“4重覆盖函数”.
（2）可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）.
因为，所以，所以，则，所以，
所以.
即，
即对任意，有2个实根.
当时，，则在上必有一个根，
故只需时，仅有1个根.
当时，，
因为，所以，即，根据一次函数的性质知，在仅有1个根，符合题意；
当时，.
因为，要使在仅有1个根，则需满足，解得；
当时，，图象为抛物线开口向下.
因为，要使在仅有1个根，则需满足，
解得，所以满足．
综上，实数a的取值范围是．
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
3
2
1
0
1
2
3
4