期中真题必刷常考60题（23个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第一册）

这是一份期中真题必刷常考60题（23个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第一册），文件包含期中真题必刷常考60题22个考点专练原卷版docx、期中真题必刷常考60题23个考点专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】利用不等式性质进行计算的结果
【详解】由得，则
．
故选：C
2．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 .
【答案】
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ．
【答案】
【知识点】区间的定义与表示
【分析】根据区间的定义直接得到答案.
【详解】，.
故答案为：；.
二、元素和集合的关系
4．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用
【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可.
【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误；
表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；
表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；
表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.
故选：C.
根据元素与集合的关系求参数
5．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.
【详解】因为集合，且，
所以，或，
解得或，
当时，，集合中的元素不满足互异性；
当时，，符合题意．
综上，．
故选：D．
四、集合与集合的关系
6．（23-24高一上·四川成都·期中）集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】先解不等式，再根据元素是自然数求出集合内的元素即可.
【详解】解不等式，解得，
又因为，所以满足的的值有，
所以集合为，
故选：C
7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】利用集合包含关系判断即可.
【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；
但，故CD错误.
故选：B
8．（24-25高三上·辽宁丹东·开学考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数.
【详解】集合，
其真子集有：，，，，，，，共7个.
故选：C
五、根据两个集合相等求参数
9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知集合，，若，则集合 .
【答案】
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】由集合相等的条件可得m的值，再结合集合中元素的互异性进行验证即可.
【详解】当时，；
当，即时，集合B中元素不满足互异性.
故答案为：.
六、集合的运算关系
10．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算
【分析】利用集合的补集运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
11．（23-24高一上·北京·期中）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
12．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，得到集合，即可求解.
【详解】由集合或，可得，
又由，可得，所以集合中元素的个数为.
故选：B.
13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】（1）利用并集的概念计算即可;
（2）利用交集和补集的概念计算即可.
【详解】（1）已知集合，
所以.
（2）由已知得，又全集，
所以.
七、根据两个集合包含关系求参数
14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知集合且，则a等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由集合且，得，所以.
故选：D
八、根据集合的运算求集合或参数
15．（23-24高一上·山西大同·）已知全集U=R，集合，，若，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式化简集合A，根据列出不等式求出m的范围，再根据补集运算求解即可.
【详解】集合，且，
若，则或，解得或，即，
故当时，实数m的取值范围为.
故答案为：.
16．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知集合，，若，求m取值范围.
【答案】或
【知识点】根据并集结果求集合或参数、一元二次方程根的分布问题
【分析】由知，再分别考虑为空集，单元素集和双元素集即可.
【详解】因为，所以，
①若，由得，解得；
②若，当A是单元素集时，由得，
此时方程为的解为，所以，不合题意；
当A含两个元素时，，和是方程的两个根，
即，节得，
综上所述的取值范围为取值范围为或.
九、全称量词命题与存在量词命题的否定
17．（23-24高一上·四川内江·期中）已知命题p：，的否定（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果．
【详解】命题，，
则，．
故选：A．
18．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，使得D．，使得
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题，的否定是，使得.
故选：D．
十、充分条件、必要条件、充要条件的判断与探求
19．（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出.
【详解】设的一个必要不充分条件为，则且，
故只有B选项成立.
故选：B
20．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由不等式的性质得出的充要条件，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）“”是“”的 .（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空）
【答案】充分不必要条件
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据充分不必要条件的定义推断即可.
【详解】若，则成立，所以“”是“”的充分条件；
若，例如满足，但，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
22．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知条件，写出 的一个必要不充分条件为 （填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】根据必要不充分条件求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由，可得，则m的范围可求，再结合必要不充分条件的概念即可得答案.
【详解】因为，所以，，，
本题答案不唯一，写出的的取值集合包含区间即可，如：.
故答案为：，答案不唯一.
十一、根据条件与结论关系求参数
23．（23-24高一上·江西南昌·期中）设集合 .
(1)若，试求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数
【分析】（1）将代入可得，再根据补集及交集运算即可求得结果；
（2）依题意可知，通过限定集合端点处的取值解不等式即可求得.
【详解】（1）根据题意由可得，
所以或x>1，
因此或；
（2）由是的充分条件可得，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
十二、等式
24．（23-24高一上·北京房山·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ，的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】根据韦达定理可求得，再根据即可求解.
【详解】因为是一元二次方程的两个根，
则，
所以.
故答案为：；.
十三、不等式的性质
25．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断.
【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确；
对B，当时，满足，但，所以B不正确；
对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确；
对D，举例，则，则，所以D不正确.
故选：C.
26．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BCD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
对于C，利用作差法知，
由，，知，
即，故C正确；
对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.
故选：BCD
十四、一元二次不等式
27．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】由题意可得，且是方程的两个根，然后利用根与系数的关系求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以，且是方程的两个根，
所以，
所以，所以，
故选：A.
28.（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】当时，原不等式为：，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，解得，
综上得．
故选：C．
29．（多选）（23-24高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.
【详解】由，，得，.
由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立，
则，解得.
故选：CD.
30．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】AB
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD.
【详解】不等式的解集为，
所以是的两个根，且，故A正确；
对于B，所以，
可得，
所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，因为，，
可得，故C错误；
对于D，因为，
即解，解得，故D错误.
故选：AB.
十五、“三个二次”综合问题
31．（23-24高一上·山东济宁·期中）设，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、由函数对称性求函数值或参数
【分析】已知，由二次函数图像的对称性求出的值，解二次不等式即可.
【详解】二次函数，，则，得，
即，解得.
故选：B．
32．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值．
【详解】，即，解集是，
所以，且是方程的两个实数根，
于是由韦达定理可得，
解得不符合题意，舍去）．
故答案为：．
33．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可；
（2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解.
【详解】（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
即.
（2）由，可得不等式，即，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
十六、基本不等式及其应用
34．（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】，，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故选：C
35．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.
【详解】依题意，，而，
因此，当且仅当时取等号，
所以.
故选：B.
36．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用
【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断.
【详解】对于A，，，则，即，故A正确；
对于B，，，又，所以，故B错误；
对于C，，，即，故C正确；
对于D，，，，
，，则，即，故D正确.
故选：ACD.
37．（多选）（19-20高一上·山东济南·阶段练习）（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最大值
B．有最大值4
C．有最大值
D．有最小值
【答案】ACD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得
，
当且仅当，即时, 等号成立，即的最小值是4，B不正确；
对于C选项，，则，
当且仅当时，等号成立，C选项正确.
对于D选项，，所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确；
故选：ACD.
38．（23-24高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且，求的最小值．
【答案】3
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】a与b均为正数，且，则，
当且仅当，即，时取等号．
所以的最小值为3.
39．（23-24高一上·北京·期中）用20cm长度的铁丝围成一个矩形，当矩形的边长为多少cm时面积最大？最大为多少？
【答案】矩形的长为cm，宽为cm时，面积有最大值，最大值为
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】设矩形的长为cm，宽为cm，求出矩形的面积利用基本不等式可得答案.
【详解】设矩形的长为cm，则宽为cm，
则矩形的面积为，
因为，所以，
当且仅当即时，
即矩形的长为cm，宽为cm，矩形面积有最大值，最大值为.
十七、相等函数的判断
40．（23-24高一上·天津·期中）下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
41．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的定义为，
函数的定义域为 ，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；
对于B中，由函数与函数，
其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同，
所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意.
故选：C.
十八、函数的定义域、值域
42．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域
【分析】由函数有意义的条件求定义域.
【详解】函数有意义，则有，
解得且，所以函数定义域为.
故选：D
43．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】BCD
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则；
综上，．
故选：BCD
44.（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域.
【详解】令，则
，所以函数的值域为.
故答案为：.
45．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ．
【答案】且
【知识点】具体函数的定义域
【分析】依据条件列出不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，
只需，解得：且.
故答案为：且
十九、函数及其表示方法
46．（23-24高一上·北京·期中）设，则=（ ）
A．3B．5C．-1D．1
【答案】A
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值
【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值.
【详解】，则.
故选：A
47.（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，若则a的值为 ．
【答案】-2或1
【知识点】已知函数值求自变量或参数
【分析】把a代入函数表达式解方程即可得出结果.
【详解】由，解得或者，
故答案为：-2或1.
48．（22-23高一下·浙江杭州·期中）设函数，则 ；若，则的取值范围是
【答案】
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、解分段函数不等式
【分析】将代入相应段解析式求解即可得；对于求，按的值分和两种情况求解即可.
【详解】由题，
若，则或，
解得或，
若，则的取值范围是.
故答案为：；
二十、函数的单调性及其应用
49．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用基本函数的性质，分别判断选项中各函数在区间内的单调性即可.
【详解】由二次函数性质可知，函数在上单调递减，A选项错误；
反比例函数定义域为，不合题意，B选项错误；
一次函数在上单调递增，C选项正确；
时，函数，在上单调递减，D选项错误.
故选：C
50．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数是定义在上的增函数，
则由，得，
解得，即，
故选：D
51．（23-24高一上·天津·期中）已知函数是上是减函数，则a的取值范围
【答案】
【知识点】根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.
【详解】函数是上的减函数，
所以，
解得.
故答案为：.
二十一、函数的奇偶性及其应用
52．（多选）（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可.
【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误；
对于B，的定义域为，，
则为偶函数，
当时，函数在上单调递增，B正确；
对于C，的定义域为，，即为偶函数，
函数在上单调递增，C正确；
对于D，的定义域为，且，
为偶函数，在上单调递减，D错误.
故选：BC
53．（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（ ）
A．为奇函数B．在单调递增
C．D．不等式的解集为
【答案】ABD
【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可.
【详解】对于A，由题，，于是，令，则，
即f-x=-fx，所以为奇函数，A正确；
对于B，设，则有，即，
即有，所以在上单调递增，
由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，
又为奇函数，则，C错误；
对于D，由题意得，，
则等价于，
则有，即，D正确．
故选：ABD
54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则
【答案】
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的对称性以及二次函数对称性分析求解.
【详解】因为，则，
若是偶函数，可知关于y轴对称，
则，解得.
故答案为：.
二十二、函数性质的综合应用
55．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可.
【详解】因为偶函数在区间上是增函数，
所以在区间上单调递减，
不等式等价于，等价于，
即，解得，即满足的取值范围是.
故答案为：
56．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)最大值、最小值分别为.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明.
（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论.
（3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值．
【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，
对任意的，，
所以函数为奇函数.
（2）对区间上的任意两个数，且，
则，
由，则，，，
从而，即，
所以函数在区间上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，
所以函数在上的最大值、最小值分别为.
57．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)当时，在上恒成立，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】函数基本性质的综合应用、求二次函数的值域或最值、二次函数的图象分析与判断
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，解得，
所以，可得图象的对称轴为直线，且开口向上，
所以在上单调递增，
又因为，所以在上的值域为.
（2）解：当时，可得.
因为在上恒成立，则满足，
解得，所以实数的取值范围为.
58．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，．
(1)求的值；
(2)求的解析式．
(3)写出解不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、解分段函数不等式
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值；
（2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式；
（3）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，当时，，
则.
（2）解：因为函数为上的奇函数，
当时，，则，
又因为满足，故.
（3）当时，，可得，解得或，
此时，或；
当时，，可得，解得或，
此时，.
综上所述，原不等式的解集为.
二十三、函数的实际应用
59．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．
(1)当时，求关于的函数解析式；
(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据题意，分与两种情况，得到函数解析式；
（2）在（1）的基础上，结合函数单调性得到最值，比较后求出最大值.
【详解】（1）由题意得当时，，
当时，设，
由已知得，解得，
故，
故；
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，由（1）可得
，
当时，单调递增，故；
当时，，
故当时，取得最大值，最大值为，
由于，故当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
60．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
【答案】(1)
(2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）利用，求出函数解析式；
（2）分和，根据函数单调性求出最大值，得到答案.
【详解】（1）由已知，，
又
整理得
（2）当时，，则当时，；
当时，，
即时，，
，的最大值为380，
故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元．