山东省东明县武胜桥镇初级中学2024-2025学年九年级数学上册第一次月考试卷（解析版）-A4

这是一份山东省东明县武胜桥镇初级中学2024-2025学年九年级数学上册第一次月考试卷（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了 把一元二次方程化为一般形式为等内容，欢迎下载使用。
1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 内角和是B. 对角相等
C. 对边平行且相等D. 对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】此题重点考查了平行四边形及菱形的性质，根据菱形及平行四边形的性质结合选项即可得出答案．
【详解】解：．菱形和平行四边形内角和都是，故该选项不符合题意；
．菱形和平行四边形对角都相等，故该选项不符合题意；
．菱形和平行四边形对边平行且相等，故该选项不符合题意；
．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴．
∴．
又∵，
∴BC·AE=24，
即．
故选D．
点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
3. 据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，
假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为【 】
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】这两年兰州市房价的平均增长率为x，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x)，则2012年5月兰州市的房价均价为7600(1＋x) (1＋x) ＝76000(1＋x)2．据此列出方程：．故选C．
4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. k＜1且k≠0C. k≥﹣1且k≠0D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
6. 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率
【详解】列表如下：
∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
∴，
故选：A.
7. 已知b＜0，关于x的一元二次方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有两个实数根
【答案】C
【解析】
【详解】∵中b＜0，
∴根据偶次幂的非负数性质，方程没有实数根．
故选C．
8. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长，
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．
9. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（ ）
A. 28，48B. 20，24C. 28，24D. 20，48
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的周长和面积的计算方法， 菱形的周长边长，面积两条对角线的积的一半．由菱形的性质得出，利用勾股定理得出菱形的边长进而求出菱形的周长，根据菱形的性质再求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积为：，菱形的边长为：，
∴菱形的周长为：，
故选：B
二．填空题（每题3分，共27分）
10. 把一元二次方程化为一般形式为：_________________，二次项为： _______，一次项系数为：_____，常数项为：______．
【答案】 ①. ②. x2 ③. -6 ④. 5
【解析】
【详解】解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．故答案为 ，x2， -6，5．
11. 若方程的一根为，则它的另一根和的值分别是_________，_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
把把代入即可求出的值，再代入的值求解即可．
【详解】解：∵的一根为，
∴把代入可得：，
解得：，
∴原方程为：，
∴因式分解后为：
解得：或，
∴另一根为；
故答案为：；
12. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______．
【答案】3
【解析】
【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
∴（x+3）2=16
∴m=3．
故答案为：3
13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，， ．若AC=4，则四边形OCED的周长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据矩形的性质，判定四边形OCED是菱形，故其周长为4OC=2AC计算即可．
【详解】因为， ．
所以四边形OCED是平行四边形．
因为四边形ABCD是矩形，
所以OD=CO，
所以四边形OCED是菱形，
所以周长为4OC=2AC=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
14. 若一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出k的取值范围．
【详解】解：若一元二次方程没有实数根，
则，
解得：，
故答案为∶ ．
15. 在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意，画出树形图如下：

∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种，
∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 已知方程有两个相等的实数根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，判别式，通过解这个式子即可得出值．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键在于推出．
17. 菱形的两条对角线长分别为2和2，则该菱形的高为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得△AOB为直角三角形，根据AO，BO可以求得AB的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
详解：如图，
由题意知AC=2，BD=23，
则菱形的面积S=×2×23=23，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=1，BO=3，
∴AB= =2，
∴菱形的高h==3．
故答案为3．
点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形面积的计算，本题中求根据AO，BO的值求AB是解题的关键．
18. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值．
【详解】解：连接，交于点P，连接、．
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴点B与点D关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴的长即为的最小值，
∵E是的中点，
∴，
在中，．
故答案为：．

三．解答题（本题共6小题，满分66分）
19. 请选择你认为适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3） ；
（4）；
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）把1移到方程的右边，方程左右两边同时加上，利用配方法解一元二次方程即可．
（2）直接开平方法解一元二次方程即可．
（3）提公因式x，利用因式分解法解一元二次方程即可．
（4）方程左右两边同时加上1，利用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
【小问2详解】
解：
∴，
【小问3详解】
解：
或，
∴，
【小问4详解】
解：
∴
∴，
20. 若关于x的一元二次方程；求证：该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，熟悉掌握根的判别式是解题的关键．
根据根的判别式列式运算证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
证明题（8分）
21. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形．
【详解】解：∵，
∴四边形平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率即是白球所占的比值；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验，此题要求画树状图，要按要求解答．
【详解】解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：

从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6，
两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
应用题（10分）
23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【解析】
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
拓展题（10分）
24. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
【答案】（1）见解析 （2）时，见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可；
（2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
当时，四边形为正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴
∴，
∵四边形矩形，
∴四边形为正方形．
红
红
红
绿
绿
红
﹣﹣﹣
（红，红）
（红，红）
（绿，红）
（绿，绿）
红
（红，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
（绿，红）
（绿，红）
红
（红，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
（绿，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（红，绿）
﹣﹣﹣
（绿，绿）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（红，绿）
（绿，绿）
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