山东省德州市崇德中学、东城学校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含解析)

这是一份山东省德州市崇德中学、东城学校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共计48分）
1．在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ）
A．B．0C．1D．或1
3．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11B．11或13C．13D．以上选项都不正确
4．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上B．经过原点
C．对称轴是y轴D．顶点在x轴上
7．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
9．已知抛物线经过（﹣2，），（0，），（）三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．抛物线 与直线在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（ ）元．
A．25B．20或40C．40D．20
12．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．若抛物线有最小值，则常数m的值为 ．
15．如图，大正方形的边长为，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则图中阴影部分的面积是 ．
16．若抛物线的最低点在x轴上，则 ．
17．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ．
18．如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标 ．
三、解答题（共计78分）
19．解方程：
(1)
(2)
(3)
20．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，9月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到11月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳12月的进馆人次，并说明理由．
22．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时，求点P的坐标．
23．若一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根为相邻的偶数，则称此方程为“对偶方程”．例如：方程的两个根为，，则方程是“对偶方程”．如果关于的一元二次方程是“对偶方程”，求的值．
24．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)当时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
(3)对于该二次函数图象上的两点，当，均有，请结合图象，直接写出t的取值范围．
25．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“简朴”点是________；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
1．A
解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．A
解：∵关于x的一元二次方程有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A．
3．C
解：解方程（x﹣2）（x﹣4）=0，得：x=2或x=4，
当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；
当x=4时，3，4，6构成三角形，周长为3+4+6=13．
故选C．
4．A
解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
，
故选：A．
5．C
解：∵，
∴
∴，即，
故选：C．
6．D
解：在二次函数中，
∵，
∴图像开口向下，故A错误；
令，则，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数的对称轴为直线，故C错误；
二次函数的顶点坐标为，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
7．C
解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：．
故选：C．
8．D
解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
9．B
解：∵，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小；（）关于直线的对称点是(，)，
∵，
∴，
故选：B．
10．A
解：A、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确，
B、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可得：，，由一次函数图象得：，，则的取值矛盾，故本选项错误；
故选A．
11．D
解：根据题意，得，
解得，，
又售价不能超过35元/个，
∴，
即每个零件的售价应定为20元，
故选：D．
12．C
解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
13．且
解：由题意得：，解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
14．2
解：∵抛物线有最小值，
∴（开口向上），
解得，
即，
故答案为：
15．3
解：∵函数与的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∵边长为的正方形面积为6，
∴图中的阴影部分的面积为3，
故答案为：3．
16．2
解：抛物线的最低点在轴上，
方程，只有一根，
，
解得：或，
抛物线由最低点，
，即，
；
故答案为2．
17．或7
解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为0或，
故答案为：或7．
18．
解：，
令，
解得，，
∴，
当时，，即C0,-3，
如图，作于，过作轴于，过作于，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将C0,-3，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，，，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
20．(1)
(2)当为5时，所围矩形花圃的面积为．
（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
∵墙长为9米，墙的长为6米，
∴ ，
∴
；
（2）解：由题意得，，
解得：（舍去），．
答：当为5时，所围矩形花圃的面积为．
21．（1）50%；（2）能，理由见解析．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，由题意得，
化简得：
即
或
（舍去）
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）进馆人次的月平均增长率为，
12月的进馆人次为：，
校图书馆能接纳12月的进馆人次．
22．(1)
(2)
（1）解：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
在抛物线上，，
解得．
抛物线的解析式为；
（2）解： 中，
令，则
解得，，
，．
∵是定值，
∴求的周长最小就转化为求的最小值，
由抛物线的对称性，知点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴，当点三点共线时，取得最小值，
连接交直线于点，此时的值最小．
设直线的解析式为，
，
解得：
故直线的解析式为．
当 时，．
．
23．0
解：根据题意设两根为，
则，
消去得：，
化简得：，
∴
解得：，
∴．
24．(1)直线
(2)M，N
(3)或
解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，且，最高点的纵坐标为，
∴当时，y的值最大，
∴M，
把M代入，解得．
∴该二次函数的表达式为．
当时，y最小，且，
∴N．
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴是直线，且时，均有，
∴当或时，满足题意，
解得：或．
25．(1)
(2)
(3)
（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
（2）将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．