山东省滨州市邹平市黄山实验初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省滨州市邹平市黄山实验初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；
B、不是一元二次方程，故不符合题意；
C、不是一元二次方程，故不符合题意；
D、不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：A．
2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：．
3. 下列关于抛物线判断中，错误的是（ ）
A. 开口向上B. 顶点坐标
C. 与轴的交点为D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，当时，，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小；
综上：只有选项D是错误的，
故选：D．
4. 新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据全班的人数，可得出每名学生需发送条祝福短信，利用发送短信的总条数全班人数（全班人数，即可列出关于的一元二次方程．
【详解】解：全班共有名学生，
每名学生需发送条祝福短信．
根据题意得：．
故选：B．
5. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
为的直径，
，
．
故选：C．
6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
7. 若抛物线的开口向下，（，），（3，），（0，）为抛物线上的三个点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得．
【详解】解：，且抛物线开口向下，
离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及开口方向，再根据离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大进行解答．
8. 如图是抛物线图象的一部分．抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是B4,0，直线与抛物线交于、两点．下列结论：
；
；
方程有两个相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，有．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由根据图象特征可确定，，的符号，即可判定；根据对称轴，确定，的关系，然后判定即可；方程的根，就是直线与抛物线交点的横坐标，判定即可；根据对称性判断即可；由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则；熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，故正确；
∵抛物线的顶点坐标，
∴时，二次函数有最大值，
∴方程有两个相等的实数根，故正确；
∵抛物线与轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故错误；
∵抛物线与直线交于，，
∴当时，，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
二、填空题（共8小题，每小题4分）
9. 若关于x的方程：有一个根为2，则另一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，则：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记“两根之和为，两根之积为”是解题的关键．
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，明确根的判别式与根的个数之间的关系是解答此题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根则得判别式，且二次项系数不为0，列含k的不等式，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，且，
解得且．
故答案：且
11. 数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，关键是要牢记抛物线具有对称性．根据抛物线的图象具有对称性即可得出答案．
【详解】由表中的数据可知抛物线的对称轴为直线，
∴和的函数值相等，
∵时，，
∴时，，
故答案为：1．
12. ⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离________．
【答案】1cm或7cm．
【解析】
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm．
【详解】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．关键是能正确求出符合条件的两种情况．
13. 若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程 的根为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；
【详解】解∵关于的一元二次方程的两根分别为、
∴函数与轴的交点为 ，
函数是由函数向右平移一个单位长度得到；
∴函数与轴交点为 ，
∴关于方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
14. 已知二次函数与一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_______________.

【答案】1＜x＜3
【解析】
【分析】根据二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标以及两个函数图象的上下位置关系，可得的解集，进而得到答案.
【详解】∵二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标是：x=1，x=3，
∴结合图象，可知：的解集是：1＜x＜3
∴的解集是：1＜x＜3，
故答案是：1＜x＜3.
【点睛】本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键.
15. 已知关于x的方程的两个实数根．若等腰三角形的一边长，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，的周长为______．
【答案】13或14
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5，①当b=c时，根据根的判别式Δ=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x=5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个为5．
①当b=c时，Δ=（m-5）2=0，
解得：m=5，
∴原方程为x2-8x+16=0，
解得：b=c=4，
∵b+c=4+4=8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5=13．
②当b或c中的一个为5时，将x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0，
解得：m=6，
∴原方程为x2-9x+20=0，
解得：x1=4，x2=5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5=14．
综上所述，该三角形的周长是13或14，
故答案为：13或14．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是需要分类讨论，以防漏解．
16. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°
∴AC=
∴AB=AC，
∵y=x2-4x+6
=（x-2）2+2，
∴当x=2时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
三、解答题（共8小题，共64分）
17. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）将方程整理后，利用因式分解法，提公因式，将方程变形为，即可求解；
（2）利用配方法将方程变形为，即可求解．
【详解】解：（1）
即
或
；
（2）
．
18. 某钢厂今年一月份钢产量为吨，三月份增加到吨．
（1）求这个工厂的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，此钢厂期望四月份钢产量达到吨，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）这个工厂的月平均增长率为
（2）他们的目标能否实现，见解析
【解析】
【分析】（1）设这个工厂的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）的结论求得四月份的钢产量，比较即可求解．
【小问1详解】
解：设这个工厂的月平均增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）
答：这个工厂的月平均增长率为；
【小问2详解】
∵三月份的钢产量，月平均增长率为，
∴四月份的钢产量为，
∴他们的目标能否实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
19. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】；；
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意列出二次函数关系式是解题的关键．设矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积公式得出函数解析式，然后将其配方成顶点式，由的取值范围结合函数性质可得最值．
【详解】解：设矩形长为，则宽为
菜园的面积
二次函数的图像开口向下
当时，随的增大而增大
当时，取得最大值，最大值为：
答：当矩形的长为、宽为时矩形的面积最大，最大面积为．
20. 如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4，请完成下列计算
（1）求⊙O的半径长；
（2）求DE的长．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝，根据垂径定理可求得AD＝BD，然后设OA＝x，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．
【详解】解：（1）连接BE，
∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝，
∴AD＝BD＝，
设OA＝x，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴OD＝x，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴2+ ＝x2，
解得：x＝4，
即⊙O的半径长是4；
（2）由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，
∵AD＝BD
∴BE＝2OD＝4，
∵AE是直径，
∴∠B＝90°，
∴DE＝
【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键掌握垂径定理，还涉及到勾股定理和三角形中位线定理，综合运用所学知识．
21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图像，写出2条函数的性质______；
（3）进一步探究函数图像发现：
①方程实数根为_______；
②方程有______个实数根；
③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围______．
【答案】（1）见解析 （2）①函数图象是轴对称图形，关于轴对称；②当时，随的增大而增大
（3）①，，；②2；③
【解析】
【分析】本题考查了用描点法画函数图象，从函数图象获取信息，以及二次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
（1）描点、连线即可得到函数的图象；
（2）根据函数图象得到函数的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大；
（3）①根据函数图象与x轴的交点位置，即可得到结论；
②如图，根据的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；
③根据函数的图象即可得到a的取值范围是．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
解：由函数图象知：①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大；
【小问3详解】
①由函数图象知：函数图象与x轴的交点所对应的数为，0，2，所以方程的实数根为，，；
②如图，∵的图象与直线有两个交点，
∴有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是，
故答案为：，，；2；．
22. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，求此时铅球的水平距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入求得c的值即可；
（2）将代入求出x的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度和高度为时铅球的水平距离在函数解析式中对应的变量是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，将代入，
得：，
解得：，
∴铅球出手时离地面的高度．
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的解析式为，
根据题意，将代入，
得：，
整理，得
解得：（舍去），
∴当它离地面的高度为时，此时铅球的水平距离为．
23. 某建材商店代销一种建筑材料，当每吨售价为元时，月销售量为吨；该建材商店为提高经营利润，准备采取涨价的方式进行促销，经市场调查发现．当每吨建筑材料售价每上调元时，月销售量就会减少吨，每售出吨建筑材料共需支付厂家及其他费用元，设每吨建筑材料售价为(元)，该建材商店的月利润为(元)．
（1）当每吨售价是元时，计算此时的月销售量；
（2）求出与的函数关系式（写出的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
【答案】（1）吨
（2）
（3）元
【解析】
【分析】（1）当每吨售价是元时，月销售量的减少量为，据此可求得答案．
（2）每吨材料售价为元，则月销售量，根据月利润(售价)月销售量，可求得答案．
（3）根据二次函数图象开口方向，结合对称轴和的取值范围，即可求得答案．
【小问1详解】
当售价为元时，月销售量为：(吨)．
所以，当售价为元时，月销售量为吨．
【小问2详解】
每吨材料售价为元，则月销售量．
所以，．
化简，得
．
【小问3详解】
因为二次函数的图象开口向下，对称轴，
所以，当时，可以取得最大值．
所以，售价定为每吨元时，该经销店获得最大月利润．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
24. 如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．

（1）求拋物线及直线的函数表达式；
（2）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
（3）若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，进而求解；
（3）设，可得，，，再由勾股定理得，列出方程求解即可．
【小问1详解】
由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，
故抛物线的表达式为；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得，
故直线的表达式为；
【小问2详解】
点、关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，

理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；
【小问3详解】
存在
设，
∵，，
∴，，，
∵以点为直角顶点的，
∴，
，
，，
∴或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
…


0
1
2
…
y
…
6
1



…
0
1
2
3
3
0
0
0
3