重难点02：充分必要条件的综合考查-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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1.总方针
①定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
②集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量）
①向量数量积的坐标表示
（1）已知两个非零向量，，
（2）设，则或
（3）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
②平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则，即，或．
③三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
④向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面）
①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》
②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》
4.充分必要条件涉及知识点3（不等式）
①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，符号语言：，.
(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，(5)可加法则：
(6)可乘法则：(7)可乘方性：
(8)或
5.充分必要条件涉及知识点4（数列）
（1）等差数列中，公差为，则
①若，且，则，特别地，当时．
②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．
③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．
④仍是等差数列．
⑤数列（为非零常数）也是等差数列．
（2）设等比数列的公比为
①若，且，则，特别地，当时．
②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．
6.充分必要条件涉及知识点5（直线与圆）
已知
且或，记忆式（）
与重合，，，
7.充分必要条件涉及知识点6（常规不等式）
1.一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为. = 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下. = 1 \* GB3 ①若，解集为 = 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）（2）（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）（2）；
；
8.充分必要条件涉及知识点7（三角函数）
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
(3)奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可
(4)两角和与差的正余弦与正切
①； ②； ③； (5)二倍角公式
①；②； ③；
(6)降次（幂）公式：
二、题型精讲精练
【题型训练-刷模拟】
1．已知向量，，则（ ）
A．“”是 “”的充分条件B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件D．“”是“”的必要条件
2．已知：，那么命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知a，，则“”是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．若：，：，则是的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
12．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．对于任意实数，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．设，则“”的充要条件为（ ）
A．至少有一个为1B．都为1
C．都不为1D．
17．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．对于实数，“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
19．已知，则“（）”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．若向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
21．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
22．已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
24．设，则“”是“或”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
25．若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件