福建省三明市永安市第三中学初中校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省三明市永安市第三中学初中校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了卷面要求，请在答题纸上答题，否则不得分， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提示：1.本卷中凡涉及实数运算，若无特别要求，结果应为准确数；
2.卷面要求：整洁，无涂改；
3.请在答题纸上答题，否则不得分.
一、选择题：（每题4分，共40分）
1. 方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】两边直接开平方即可．
【详解】解：，
两边直接开平方得：，
故：，，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，开方直接求解．
2. 已知正方形的周长等于，则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质求得正方形的边长，然后再求正方形的面积即可．
【详解】解：∵正方形的周长等于，
∴该正方形的边长为，
∴该正方形的面积为．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的边长相等以及面积公式是解答本题的关键．
3. 同时抛掷两枚均匀的硬币，落地后两枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有4种等可能的结果，然后根据概率公式求解两枚硬币都是正面朝上的概率即可．
【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是明确题意，可以写出所有的可能性，并会用概率公式进行计算．
4. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，以及三角形外角的性质：三角形外角度数等于不相邻两个内角度数之和，即可求解．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，矩形的判定理对命题正确与否的判定，由此即可求解．
【详解】解：、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查特殊四边形的判定定理，真假命题的判定方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
7. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ）
A. 菱形B. 对角线相互垂直的四边形
C. 正方形D. 对角线相等的四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到答案．
【详解】解：如图，是四边形各边的中点，
∵四边形为矩形，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴四边形的对角线互相垂直，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
【详解】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
9. 如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确；
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF，
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
10. 对于一元二次方程，有下列说法错误的是（ ）
A. 若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；
B. 若，则方程一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数；
C. 若，则方程一定有实数根；
D. 若，则方程有两个不相等的实数根．
【答案】B
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实根得，从得出方程的，所以方程有两个不相等的实根，可判定A；根据当，时，当，时，当，时，当，时，判定方程的根，即可判定B；由，得出方程必有一根为，可判定C；由，得，则方程有两个不相等的实根，可判定D．
【详解】解：A、方程有两个不相等的实根，
，
方程的，
方程有两个不相等的实根，
故此选项不符合题意；
B、若，则，
当，时，方程有两相等实数根，并且这两个根互为相反数；
当，时，方程没有实数根；
当，时，x为一切实数，方程有无数根；
当，时，方程没有实数根；
故此选项符合题意；
C、若，则方程必有一根为，
故此选项不符合题意；
D、若，则，
∴方程有两个不相等的实根，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根判别式，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题：（每题4分，共24分）
11. 已知一元二次方程有一个根为2，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接把代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是__________；
【答案】5
【解析】
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，
∴x1⋅ x2=5.
故答案为5.
13. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为____________．
【答案】15
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解．
【详解】解：由题意可得
，
解得，．
经检验，是原方程的解，
∴a的值约为15．
故答案为：15．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程．
14. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设两次降价的百分率为，则：
解得：（舍去）
故两次降价的百分率为：
故答案为：．
【点睛】本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键．
15. 如图，在矩形中，，，将沿折叠，点B对应点为点E，则____________.

【答案】##
【解析】
【分析】根据折叠及矩形的性质可证，得；设，则，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由折叠及矩形的性质可知：，,，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中：，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题．熟记矩形及折叠的性质是解题关键．
16. 如图，在正方形中，点F为中点，点E在对角线上运动，若，则长的最大值为____________．

【答案】2
【解析】
【分析】连接，，根据正方形的性质得点B、D关于直线对称，，，所以，从而得出，设，则，在中，，由勾股定理，得，即，由此即可求解．
【详解】如图，连接，，

∵正方形
∴点B、D关于直线对称，，，
∵点E在对角线上运动，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，由勾股定理，得
，
∴
解得：，
∴x最大值为2，即长的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点间距离，正确作出辅助线，证得，得出是解题的关键．
三、解答题：（共86分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程.
（1）当时，解这个方程；
（2）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1），
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）采用因式分解法即可求解；
（2）求出，问题得证．
【小问1详解】
当时，方程变为，
即，
∴，或者，
∴，；
【小问2详解】
，
∵方程的判别式为：，
∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查了利用分解因式法解一元二次方程以及根的判别式等知识，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
19. 如图，已知四边形是平行四边形，，，垂足分别是为，，并且．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则四边形的面积= ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先利用已知条件和平行四边形的性质判定，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形是菱形．
（2）由菱形的性质得，由，，得，则，再由勾股定理求出，即可由菱形的面积公式求解．
【小问1详解】
证明：在和中，
四边形是平行四边形，
，
，，
．
又，
，
平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴
由勾股定理，得，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．
20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，交延长线于点，交延长线于点F．

（1）求证：四边形是矩形．
（2）若四边形为菱形，H为中点，连接，若，则长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，由H为中点，得是中位线，由三角形的中位线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，四边形菱形，
，，
∴O为中点，
∵H为中点，
∴是中位线，
∴
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
21. 如图，四边形是矩形．
（1）尺规作图：在边上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质知AD//BC，在边上求作点，，即，根据等腰三角形等边对等角的性质，得出BE＝BC，所以以B为圆心，BC长为半径画弧与AD交于点E，即为所求；
（2）由矩形，，由（1）知BE＝BC＝10，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AE＝6，则DE＝4，在Rt△CDE中，由勾股定理求CE的长即可．
【详解】解：（1）作法：以B为圆心，BC长为半径画弧与AD交于点E，得BC＝BE，连接CE；
∵ 四边形是矩形．
∴ AD//BC，
∴，
又∵ BC＝BE，
∴，
∴
（2）∵四边形是矩形，，
由（1）得AD＝BC＝BE＝10，AB＝CD＝8，∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABE中，，
∴ DE＝10－6＝4，
∴在Rt△CDE中，，
【点睛】本题考查了作图—基本作图，利用等腰三角形的性质等边对等角和平行线的性质，转化成边相等是解题的关键．还考查了矩形的性质和勾股定理解直角三角形．
22. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据红球的概率为及红球个数求出所有球的个数，然后利用概率公式解答即可．
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．
【小问1详解】
解：设袋中黄球的个数为个，
解得：，
经检验：是方程的根，
袋中黄球的个数为1个；
【小问2详解】
列表如下：
一共有12种情况，两次摸到都是红球的有2种情况，
两次摸到都是红球的概率为：．
答：两次摸到都是红球的概率.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点O． 在线段上任取一点P（端点除外），连接、．

（1）求证：；
（2）将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． 当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出度数．
（3）直接写出，，的数量关系：
【答案】（1）见解析 （2）的大小不发生变化，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质证明，即可得到结论；
（2）作，，垂足分别为点、，如图，可得，根据菱形的性质和，推出，证明，得出，进而可得结论；
（3）中，，得到，再证，得，又由（2）知，得，即，所以，再根据，即可得出，则．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，．
，
，
；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，；
理由：作，，垂足分别为点、，如图，

四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴
由旋转可得，
∴
∴
∴，即．
【小问3详解】
解：．
理由：在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握掌握菱形的性质和作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24. 某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降1元，商场平均每天可多售出2台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，据此规律，请回答：
（1）每天的销售量是 台（用含x的代数式表示）；
（2）如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？
（3）若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备采取哪种降价方式？说说理由．
【答案】（1）
（2）单价应降25元 （3）采取20元的降价方式，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行解答；
（2）由（1）及题意得，然后解方程即可；
（3）分别算出降价10元、降价20元、降价30元所得利润，然后进行比较即可．
【小问1详解】
根据题意，得每天销售量为台；
小问2详解】
根据题意，每天盈利：元．
即有
解得，．
当时，销量为：（台），
当时，销量为：（台），
∵为了去库存，
∴．
答：单价应降25元．
【小问3详解】
选择降价20元的方式．理由如下：
当降价10元时，利润（元）
当降价20元时，利润（元）
当降价30元时，利润（元）
∵，且要去库存，
∴选择降价20元的方式．
答：采取20元的降价方式．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
25. 已知：E、F分别为正方形的边DC、BC上两点且.

图1 图2 图3
（1）如图1，求证：.
（2）如图2，过E作于G，连接DG，求证：.
（3）如图3，连接EF，若，，则DE的长度为 .（直接写出答案）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由SAS证明和全等即可；
（2）延长与延长线交于点构造直角，由AAS证明和全等，可得点为的中点，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明；
（3）过点作交于点，先由AAS证明和全等，得到，，再由HL证明和全等，可以得到，从而得到为等腰直角三角形，再利用 或者勾股定理建立等量关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
和中，
∴（SAS），
∴．
【小问2详解】
延长与延长线交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中 ，

∴（AAS），
∴，即点为的中点．
在中，
∴．
【小问3详解】
过点作交于点，

在和中，

∴（AAS），
∴，，
在和中，

∴（HL），
∴，即．
设，则，，
在等腰直角中，
，解得：
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的全等，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识点，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
红1
红2
黄
蓝
红1
/
（红1，红
（红1，黄）
（红1，蓝）
红2
（红2，红
/
（红2，黄）
（红2，蓝）
黄
（黄，红
（黄，红
/
（黄，蓝）
蓝
（蓝，红
（蓝，红
（蓝，黄）
/