2022-2023学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）正方形的周长为，则它的面积为(    )A.  B.  C.  D. 矩形中，，，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 下列各组线段，能成比例的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    )A.  B.  C.  D. 如图，四边形∽四边形，，，，则等于(    )
A.  B.  C.  D. 对原价为元的某种药品进行连续两次降价后为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是(    )A.  B.  C.  D. 如图，点、分别为的边、上的中点，则的面积与四边形的面积的比为(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：已知为方程的根，那么的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若点恰好为边的中点，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）方程的两个根分别是______．已知，则的值为______．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋建筑物的影长为，那么这栋建筑物的高度为______绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数发芽的粒数发芽的频数则绿豆发芽的概率估计值是______ 精确到如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则为______度．
 如图，在正方形中，以为边作等边，延长、分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：；；∽；，其中正确的是______填序号．
   三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：；
．本小题分
如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，．
以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍，画出图形；
分别写出，两点的对应点，的坐标；
求的面积．
本小题分已知关于的一元二次方程求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根为、，且，求的值． 本小题分
一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率；
从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率．本小题分
如图，在▱中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接．
根据以上尺规作图的过程，求证四边形是菱形；
若菱形的周长为，，求的长．
本小题分
如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．
求证：；
若，，求的长．
 本小题分
某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个．
若使这种背包的月均销量不低于个，每个背包售价应不高于多少元？
在的条件下，当这种书包销售单价为多少元时，销售利润是元？本小题分
请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图，过点作交的延长线于点
任务：
请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
如图，已知中，，，，平分，求的周长．
 本小题分
   问题发现
如图，在和中，，，点时线段上一动点，连接．
填空：
的值为______； 的度数为______．
类比探究
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接请判断的值及的度数，并说明理由；
拓展延伸
如图，在的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：设正方形的边长为，
正方形的周长为，
，
，
，
它的面积为，
故选：．
设正方形的边长为，，则，即可求得该正方形的面积为．
此题重点考查正方形的四条边都相等、正方形的面积公式等知识，根据正方形的周长为求出它的边长是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：因为矩形中，，
所以的长为．
故选：．
根据矩形的对角线相等即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的对角线相等．
 3.【答案】 【解析】解：、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选A．
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
，
．
故选D．  5.【答案】 【解析】解：四边形∽四边形，，，，
，，
，
故选：．
利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
 6.【答案】 【解析】解：设平均每次降价的百分率为，则第一降价售价为，则第二次降价为，由题意得：
．
故选：．
设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为元，”可得方程．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 7.【答案】 【解析】【分析】
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．
本题考查了概率的计算，掌握概率公式是本题解题的关键．
【解答】
解：用和分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用和分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：、、、，
所以颜色搭配正确的概率是，
故选B．  8.【答案】 【解析】解：、分别为的边、上的中点，
是的中位线，
，，
∽，
的面积：的面积：，
的面积：四边形的面积：；
故选：．
证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，，证出∽，由相似三角形的性质得出的面积：的面积：，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：为方程的根，
，
，
原式


．
故选：．
将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将整体代入代数式求值是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连接、，如图：

四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
点恰好为边的中点，
，
在中，，
，
设，则，
沿翻折得到，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
解得，
故选：．
连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点恰好为边的中点，得，在中，，，设，则，在中，有，即可解得．
本题考查菱形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 11.【答案】， 【解析】解：，
或，
或．
故答案为：，．
把积为两个代数式转化为两个一元一次方程，求解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项使方程的一边为，把另一边分解为两个一次因式的积的形式，得两个一元一次方程，求一元一次方程的解．
 12.【答案】 【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
根据，可设，，再计算即可．
本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知，设，．
 13.【答案】 【解析】解：设这栋建筑物的高度为，
由题意得，，
解得，
即这栋建筑物的高度为．
故答案为：．
根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是．
故答案为：．
本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
．
故答案为：．
根据正方形的性质及全等三角形的性质求出，，再求．
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出．
 16.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
，
，
的结论正确；
，，
．
，，
，
．
，
∽，
的结论正确；
∽，
，
，
的结论正确，
综上，正确的结论的序号为：，
故答案为：．
利用正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
 17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 18.【答案】解：如图；   分

，，
，，
，两点的对应点，的坐标为
，；




，
． 【解析】分别延长，，使，，然后连接即可；
分别求出点、的横坐标与纵坐标的倍的相反数即可；
利用网格把三角形放到矩形里面，然后利用矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，求解即可．
本题主要考查了利用位似变换作图，中利用“割补法”求面积，割补法是求图形的面积的常用方法，有一定难度．
 19.【答案】证明：，
，
方程有两个不相等的实数根；
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，．，
，，解得，，的值为或． 【解析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于即可；
根据根与系数的关系可以得到关于的方程，从而可以求得的值．
 20.【答案】解：有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，任取一球，共有种不同结果，
球上汉字是“峰”的概率为；
画树状图如下：
所有等可能的情况有种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的情况有种，
概率为． 【解析】由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别．
 21.【答案】证明：由作法得平分，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，交于，如图，
四边形为平行四边形，
，
菱形的周长为，
，，，，
在中，，
，
，
． 【解析】先利用基本作图得到平分，，所以，再证明得到，则可判断四边形是平行四边形，然后根据可判断四边形是菱形；
连接，交于，如图，先根据平行四边形的性质得到，再根据菱形的性质得到，，，，然后利用含度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质．
 22.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，

≌，
；
由得：≌，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
． 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中档题．
由正方形的性质得出，，得出，由证明≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，得出，因此，由勾股定理得出，在中，由三角形面积即可得出结果．
 23.【答案】解：设每个背包售价为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个背包售价应不高于元；
根据题意，得，
解得，，
，
，
答：当这种书包销售单价为元时，销售利润是元． 【解析】设每个背包售价为元，根据这种背包的月均销量不低于个，列一元一次不等式，进一步解不等式即可；
根据销售利润是元，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键．
 24.【答案】证明：如图，过作交的延长线于，
，
，，，
，
，
，
；
解：如图，，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长． 【解析】如图，过作交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，可得结论；
先利用勾股定理计算出，再利用中的结论得到，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长．
本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 25.【答案】略 【解析】解：，

，
，
，且，
∽

故答案为：，
，
理由如下：，，
，

，，
∽

，且
∽
，

若点在线段上，如图，

由知：，

，，
，
，且点是中点，
，
且是直角三角形
，

，

若点在线段延长线上，如图

同理可得：，
，
，

综上所述：的长为或
由直角三角形的性质可得，可得，通过证明∽，可得的值；
通过证明∽，可得的值，，即可求的度数；
分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，
由勾股定理可求的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明∽是本题的关键．