备战2025年高考数学二轮复习课件专题6解析几何专题突破练24圆锥曲线中的定点、定值问题

这是一份备战2025年高考数学二轮复习课件专题6解析几何专题突破练24圆锥曲线中的定点、定值问题，共15页。
1.(17分)(2024山东聊城一模)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直线l:y=kx+b不经过点P,与C相交于A,B两点,且直线PA和PB的斜率之积等于3.(1)求C的标准方程;(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)解 由抛物线C关于y轴对称,故可设C:x2=2py(p>0),由P(2,2)在抛物线C上,故4=2p×2,解得p=1,故C:x2=2y.
即x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,代入(*)式,即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,则l:y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).
(1)求C的方程;(2)若过C的上焦点F的直线与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过定点,并求该定点.
以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,由对称性知以AB为直径的圆必过y轴上的定点,令x=0,得y2-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,
∴[(3-m2)y+5m2-3](y+1)=0对∀m∈R恒成立,y=-1,∴以AB为直径的圆经过定点(0,-1).当y=2时,A(-3,2),B(3,2),此时圆的方程为x2+(y-2)2=9,也经过点(0,-1),经验证,以AB为直径的圆过定点(0,-1).
4.(17分)(2024新疆乌鲁木齐二模)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.(1)求“椭圆”的方程;(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过点F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.
(1)解 设“椭圆”上任意一点为P(x,y),则|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).
所以2a-2|y|≥2c,所以c-a≤y≤a-c,所以“椭圆”的范围为x∈[-a,a],y∈[c-a,a-c].在“椭圆”方程中以-x代x,方程不变,即“椭圆”关于y轴对称;同理可得“椭圆”关于x轴和原点对称,如图.