备战2025年高考数学二轮复习课件专题6解析几何专项突破6突破1圆锥曲线中的最值、范围问题

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考点一　构造不等式求最值、范围
(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为k(k≠0)的直线l过点F,交椭圆C于A,B两点,记线段AB的中点为N,直线ON交直线x=3于点M,直线MF交椭圆C于P,Q两点,求∠MFA的大小,并求四边形APBQ面积的最小值.
[对点训练1]双曲线C: (a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程;(2)M,N是双曲线C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,代入根与系数的关系得,3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,化简得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(不满足题目条件,舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得
考点二　构造函数求最值、范围
例2(2024浙江金华模拟)在直角坐标系xOy中,圆Γ的圆心P在y轴上(P不与O重合),且与双曲线Ω: (a>0,b>0)的右支交于A,B两点.已知|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.(1)求Ω的离心率;(2)若Ω的右焦点为F(2,0),且圆Γ过点F,求|FA|+|FB|的取值范围.
由圆Γ的圆心P在y轴上,设P(0,m)(m≠0),因为|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2,化简得m(y1+y2)=m2,由m≠0,得y1+y2=m,由圆Γ的圆心为P,弦AB中点为M,所以MP⊥AB,
(2)如图,由Ω的右焦点为F(2,0),得c=2,由(1)知,c= a,所以有a=b= ,故双曲线的方程为x2-y2=2.由双曲线方程可知,x1>1,x2>1.设圆Γ的方程为x2+(y-m)2=r2,由圆Γ过点F(2,0),则4+m2=r2,则圆Γ的方程可化为x2+y2-2my-4=0,消去x化简得y2-my-1=0,Δ=m2+4>0,
[对点训练2](2024四川南充二模)如图,已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2=4y上,且A,B在第一象限,AC∥x轴,抛物线在点A处的切线为l,且BD∥l.(1)设直线CB,CD的斜率分别为k和k',求k+k'的值;(2)P为AC与BD的交点,设△BCD的面积为S1,△PAD的面积为S2,若tan∠BCA=2,求 的取值范围.