备战2025年高考数学二轮复习课件专题6解析几何专项突破6突破2圆锥曲线中的定点、定值问题

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考点一　定点(定直线)问题
(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P.证明:点P在定直线上.
(2)证明 (方法一)(ⅰ)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0.
(方法二)由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0.
(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
(方法二)设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率存在,故设直线PQ:y=k(x+2)+3.
例2(2024广东深圳模拟)在平面直角坐标系中,已知F1(-1,0),F2(1,0),Q为动点,且|F2Q|=4,线段F1Q的垂直平分线交线段F2Q于点P,设P的轨迹是曲线C,射线PF1,PF2分别与C交于A,B两点.(1)求C的方程;
解 (1)由已知得|PF1|=|PQ|,且|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4>|F1F2|=2,所以点P的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3,
[对点训练2](2024湖南岳阳三模)已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3相切,记圆心P的轨迹为曲线E.(1)已知A,B两点的坐标分别为(-2,1),(2,1),直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,证明:k1-k2=1;(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2=-4,设线段MN的中点为Q,圆P与动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C,D,G,求证:△CDG的重心的横坐标为定值.
(2)显然直线MN的斜率存在,如图,设直线MN的方程为y=kx+b,k,b∈R,联立 消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,因为Δ>0,所以x1x2=4b-8,又x1x2=-4,所以b=1,所以x2+4kx-4=0,直线MN的方程为y=kx+1,x1+x2=-4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=-4k2+2,所以线段MN的中点坐标为Q(-2k,-2k2+1).
得x4+(4-2n)x2+4mx=0,设C,D,G的横坐标分别为c,d,g,因为C,D,G都异于F,所以c,d,g都不为零,故关于x的方程x3+(4-2n)x+4m=0的根为c,d,g,