精品解析：安徽省蚌埠G5教研联盟2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

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注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念判断即可．熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、此图形能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
D、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 如图，在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．
【详解】解：，，
故选A．
3. 下列关于抛物线的结论，正确的是（ ）
A. 开口方向向下B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标是D. 当 时，函数有最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线顶点式的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：抛物线
A、，抛物线开口方向向上，原结论错误，不符合题意；
B、对称轴为直线，原结论正确，符合题意；
C、顶点为，原结论错误，不符合题意；
当 时，函数有最小值为，原结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线顶点式的性质：顶点为，对称轴为，当开口向上有最小值，当开口向下有最大值．
4. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故A不符合题意；
B、由，判定与相似，故B不符合题意；
C、两三角形两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定与相似，故C符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故D不符合题意；
故选：C．
5. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答．
【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，
∵由图象可得，当或时，，
∴不等式解集为或．
故选：C
6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补得到的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到的度数，熟练掌握圆周角度定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故选：D
7. 三角函数，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知．
又∵，正弦值随着角的增大而增大，
∴，
∴，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
8. 函数与在同一坐标系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当时，则，当时，则，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴，
当时，则，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴，
则满足条件的图象为： ，
故选B．
9. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么等于（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，推出，推出 ，由可得 ，由此即可解决问题，解题的关键是熟练掌握三角形的判定和性质的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，分别求出解析式即可．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
①当点P在上运动，即时，

，，
过点P作于点N，
∵是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴，
即y与x之间的函数解析式为；
②当点P在上运动，即时，

，
过点P作于点M，
∵是等边三角形，
∴，
∴在菱形中，
∴在中，，
∴，
即y与x之间的函数解析式为；
综上所述，y与x之间的函数解析式为，
图象为： ．
故选：B
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．
【答案】cm
【解析】
【分析】利用黄金分割的定义计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴
∴cm，
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，若C为线段AB的黄金分割点，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csB＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可得到csB＝sinA＝．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝＝，
∴csB＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝csB，csA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．
13. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，二次函数的图象与直线有交点，由图象求出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，由图象得， ，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线与横线的交点，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．
14. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，且点在反比例函数的图象上，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段．
（1）的值为________；
（2）若线段与反比例函数的图象总有交点，则的最大值为________．
【答案】 ①. 12 ②.
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、位似变换的性质、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将点代入反比例函数解析式得到，计算即可得出答案；
（2）根据位似变化的性质可得，当在反比例函数图象上时，的值最大，由此求解即可．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：；
（2）以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段，
，
线段与反比例函数的图象总有交点，
当在反比例函数图象上时，的值最大，
，
解得：或（不符合题意，舍去）
的最大值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16. 已知：线段，且．
（1）求的值；
（2）如果线段，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）15
【解析】
【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
设，
则，，，
，
，
，
，，．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出；
（2）在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
（1）根据位似图象的特征进行作图即可；
（2）根据位似图形的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形．
【小问2详解】
解：∵放大为原来的2倍得到，
∴，
∴，
．
故答案为：；．
18. 在锐角三角形中，点D、E分别在边、上，于点F，于点G，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定：
（1）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明．
（2）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
证明：于点，于点，
，
，
，
，
又为公共角，
；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．
（1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．
（2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米）
【答案】（1）此人离地面的高度约
（2）与地面的距离范围为
【解析】
【分析】（1）过作，由题意易得，然后问题可求解；
（2）过点作，然后分当时和当时，进而分类求解即可．
【小问1详解】
解：过作，
∵，，
∴，
∵点为的中点，米，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：过点作，
当时，∵，
∴，
∴，即；
当时，；
∴，即；
∴与地面的距离范围为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
20. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径AB上存在一点P，满足，则称是的“优美角”．
（1）如图2，AB是直径，弦，D是上一点，连接交AB于点P，连接．
①证明：是的“优美角”；
②设的度数为，用含的式子表示的“优美角”度数为________；
（2）如图3，在（1）的条件下，若的半径为5，的“优美角”为，，求的长．
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线．
（1）①根据是的直径，弦可得平分，从而得到，
结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；
②根据圆周角定理可得，，结合可得，结合三角形外角的性质即可得到答案；
（2）由（1）可得，则为等腰直角三角形，可得，，在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
①证明：∵是的直径，弦，
∴平分，即为的垂直平分线，
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是的“优美角”；
②∵的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
解：当的“优美角”为即时，，
∴为等腰直角三角形；
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，．
六、（本题满分12分）
21. 某校利用大课间开展冬季阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为米的张老师也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；
（3）如果一群身高在米到米之间的人站在OD之间，且离点O的距离为m米，绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶，结合图象，则m的取值范围为________．
【答案】（1）
（2）能，理由见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）利用待定系数法，把，代入，求出、的值，即可得到该抛物线的解析式；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案；
（3）令，求出的值，即为m的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意可知，、、、、，
把，代入得，
，解得：，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：能，理由如下：
，
抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为米，
，
绳子能顺利从他头顶越过；
小问3详解】
解：令，则，
解得：，，
，
故答案为：
七、（本题满分12分）
22. 如图，与是两个全等的等腰直角三角形，．
（1）求证：；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①求证：；
②求的值．
【答案】（1）见详解 （2）①见详解；②8
【解析】
【分析】（1）由与是两个全等等腰直角三角形，，得出可证出即可得出答案；
（2）①由（1）得出再根据即可得证；
②根据得出再根据和等腰直角三角形即可解得；
【小问1详解】
与是两个全等的等腰直角三角形，，
；
【小问2详解】
①由（1）可知：
，
是等腰直角三角形，
∴；
②∵，
．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解答该题的关键是掌握相似三角形的性质和判定，注意数形结合．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，点在直线上﹒
①求点坐标；
②当的周长最小时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）点的坐标为
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与几何图形的综合，一次函数的交点问题与几何图形周长的计算，对称最短路径等知识，
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设连接，设点，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）①根据题意算出的长度，再证明，根据相似三角形的性质即可求解；②当点三点共线时的周长最小，分别算出DE所在直线的解析式，所在直线的解析式，联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，设点，其中，
四边形的面积为，对于，当时，，
∴，
∴
，
∵，开口向下，有最大值，
∴当时，四边形的面积最大，此时，，即，
因此四边形的面积最大时，点的坐标为；
【小问3详解】
解：①在中，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②已知，，，点是的中点，
∴，即，
设DE所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴DE所在直线的解析式为，
∵DE是的垂直平分线，
∴点关于直线DE的对称点是点，当点三点共线时，的周长最小，
∴的周长为，
设所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
，
解得，，
∴．