精品解析：安徽省江淮教育联盟2023- 2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在下列图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】先计算b2﹣4ac的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）
＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当△b2﹣4ac
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴公式即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式是解题的关键．
4. 如图是华为手机图库标志，这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，这个旋转角至少为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷6=60°，
∴旋转的角度是60°的整数倍，
∴旋转的角度至少是60°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是60°的整数倍是解题的关键．
5. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先求出，进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，，
∴，
故选A
6. 如图，的半径为，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、；则弦的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】依据函数的系数分类讨论：①，为一次函数，成立；②，为二次函数，根据判别式求解即可．
【详解】解：函数，
对系数分类讨论：①，为一次函数；②，为二次函数，
当时，，函数图象与x轴只有一个公共点，则满足题意；
当时，，若函数图象与x轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述，若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为0或1，
故选：D．
【点睛】本题考查含参数的函数图象与性质，解决问题的关键是根据函数最高次项系数的不确定性分情况讨论解答．
8. 如图，在中，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，则的面积的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由可得到为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出点的坐标，得到，再根据三角形面积公式即可求出的面积，掌握反比例函数的解析式求点的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，

∵，，
∴，
∴设点坐标为，把代入反比例函数得，，
解得，（不合，舍去），
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴的面积，
故选：．
9. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A. 的解集是
B. 解集是
C. 的解集是
D. 的解是或
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
10. 如图，在中，直径，弦，沿所在直线对折，恰好使点落到直径上的点处，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，连接，作于，于，根据圆周角定理，可证得，即证，得到，进而得到，根据勾股定理，得到，再根据勾股定理即可求出的长，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接，作于，于，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又由题意知，，
∴，
∴点是弧的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小颗5分，满分20分）
11. 关于的一元二次方程的两根是，财的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两根是，
∴，
故答案为：．
12. 如图，为的弦，点在上，，，交于点，且，则的半径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，进而得到，设，利用勾股定理分别得到，，根据得到方程，解方程可求出的值，即可求出的半径长，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，连接，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，在中，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为，
故答案为：．
13. 如图，的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，连接的延长线经过的中点，且，则的面积______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质，中点坐标公式，三角形中线的性质，设，，则，表示出点的坐标，进而得出，根据即可求解．
【详解】解：设，，则
∵为的中点，
∴
∵，
∴
∴
解得：，
如图所示，连接
∵，
∴
故答案为：．
14. 如图，无论为何值，抛物线一定与轴交于点、与轴交于点，则：
（1）点的坐标为：______；
（2）过点作轴，，且，以为邻边构造正方形，若该抛物线与正方形的边有公共点，则的取值范围为：______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与x轴的交点坐标：
（1）根据抛物线解析式为得到当时，则，可得方程的一个根为，由此即可得到答案；
（2），由题意得，点 ，分别求出抛物线恰好经过点Q，恰好经过点P时a的值，再根据函数图象即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，则，
解得或，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，由题意得，点 ，
当抛物线恰好经过点Q时，则，解得，
当抛物线恰好经过点P时，则，解得，且此时抛物线恰好经过点N，
∴由函数图象可知当时，抛物线与正方形的边有公共点，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15. 用配方法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
系数化1得：，
移项得：，
配方得：，
即：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤，是解题的关键．
16. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①，图②，图③均为顶点在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）在图中，图①经过_________变换可以得到图②（填“平移”“旋转”“轴对称”）；
（2）在图中画出图①绕点A逆时针旋转后得到的图形；
（3）在图中，图③可由图②经过一次旋转变换得到，其旋转中心是点_________（填“A”“B”“C”）．
【答案】（1）平移 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移变换的性质即可求解．
（2）根据旋转变换的性质即可求解．
（3）连接、、、，根据旋转中心的性质即可求解．
【小问1详解】
解：图①经过平移变换可以得到图②，
故答案为：平移．
【小问2详解】
图①绕点A逆时针旋转后得到的图形如图所示：
【小问3详解】
连接、、、，
，，，
图③可由图②经过一次旋转变换得到，其旋转中心是点C，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形平移变换、旋转变换，熟练掌握其性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17. 已知二次函数：，
（1）用适当方法确定该抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，若平移后的二次函数图象经过点，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数图象的平移问题：
（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）根据平移方式可得平移后的解析式为，再根据平移后的图象经过点，利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为；
小问2详解】
解：由题意得，平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过点，
∴，
∴，
解得或
18. 如图，在中，，以为直径的交边于点，过点作的平行线，过点作的切线，两线交于点；连接，若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由为的直径得到，由为的切线，，得到，即得到，再根据平行式和等腰三角形的性质可得到，即可证明，得到的长，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19. 如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程
【答案】（1）；
（2）当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，．
【解析】
【分析】()由点求出双曲线解析式，再求出点坐标，利用待定系数法即可求出；
()分成两种情形：一种是在双曲线的同一支上；一种是在双曲线的两一支上，然后根据反比例函数的图象及性质即可解答；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：将点代入双曲线解析式 得，，
∴，
∴双曲线解析式为，
把代入得，
，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意，可分成两种情形：
在双曲线的同一支上，
∵双曲线，在同一支上时函数值随的增大而增大，
∴当时，；
在双曲线的不同的一支上，
∵，
∴，
此时，由图象可知，，，
∴当时，；
综上，当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，．
20. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）直接写出直线的函数表达式为：______；
（2）是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（）设点的横坐标，则点的坐标为，把点的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点的横坐标，再根据列出方程，解方程即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
当时，，
解得，，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设点的横坐标，则点的坐标为，
把代入得，，
解得，，
∵点在点的右侧，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∵，轴，
∴，
整理得，，
∴，
解得（不符，舍去），，
∴点的横坐标．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21. 国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》中规定的酒驾检测判定标准为：饮酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量；
醉酒驾驶：驾驶员血液中酒精含量．
根据相关实验数据显示，一般情况下，成人喝低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般情况下，成人喝低度白酒后，与之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）第二天早上不能驾车去上班，理由见解析．
【解析】
【分析】()利用待定系数法即可求出求出反比例函数及一次函数的解析式；
()根据题意得出时的值，即可判断；
本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题．
【小问1详解】
解：由题意可得：当时， 设函数关系式为，
则，
解得，
∴；
当时，设函数关系式为，
则，
∴ ；
综上所述，与之间的两个函数关系式为：；
【小问2详解】
解：第二天早上不能驾车去上班．
理由：∵晚上到第二天早上有个小时，
∴时，，
∴第二天最早上不能驾车去上班．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22. 如图，在菱形中，，点为对角线上任一点，过点作分别交、于点，过点作分别交于点交于点，连接．

（1）求证：；
（2）求证：；
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到，推出，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则，可推出四点共圆，得到，则，由此可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23. 九年级某班级同学进行项目式学习，《项目式学习报告》如下：
【答案】任务一：喷出水的最大射程为；任务二：灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是
【解析】
【分析】任务一：设上边缘抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值；
任务二：根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】解：任务一：由题意得点是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线的函数解析式为，
又∵抛物线经过点，
∴．
解得．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
任务二：，
点的纵坐标为0.5，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识．
绿化带灌溉车的操作探究
项目内容
项目素材
项目任务
项目一、
明确灌溉方式
如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），灌溉车到的距离长度为（单位：）．
“博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度喷水口离开地面高米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
任务一、结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程的长度．
项目二、
提倡有效灌溉
“笃志小组”实地调查发现：
为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行作业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带（上边缘抛物线不低于点F）；
任务二、请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围．