精品解析：安徽省合肥市寿春中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

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1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 若锐角满足，则的度数是（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊的锐角三角比值可确定∠A的度数．
【详解】解：∵，
∴∠A＝30°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
3. 如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴A． ，DF与BC不是对应边，它们可相等，比值成立，也可能不等比值不成立，选项不一定成立，不符合题意；
B．，选项不成立，不符合题意；
C．，选项不成立，不符合题意；
D．，选项成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
4. 如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D. 到、的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
5. 如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案．
【详解】，，
，
，
；
故正确的是B选项；
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键．
6. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴且，，
∴，，
即，，
，
；
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法与有关性质．
7. 下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【详解】如图1，圆心角∠COD=∠AOB，但弧CD与弧AB不相等，故①错误；如图2，AB与CD都是直径，但AB与CD并不垂直，故②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③正确；等弧的前提必须是同圆或等圆中才可以，故④错误；故选A.

8. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4acB. ac＞0C. 2a﹣b=0D. a﹣b+c=0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
9. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理得出的长，再证，然后根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图所示：作于点E，
由题意可得，
∴，
∵，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，即，解得：．

故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确把握相关性质是解题关键．
10. 已知点，在直线（k为常数，）上，则的最大值为2，则c的值为（ ）
A. 4或12B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为2求出k的值．把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可．
【详解】解：把代入得：
∴
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∵的最大值为2，
∴
解得
∴直线解析式为或，
把代入得，
把代入得，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若=，则的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】先将代数式化简，再把已知的值代入计算即可求解．
【详解】解： ， ，
∴，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查代数式的化简求值，解题的关键是掌握代数式的加减乘除的计算法则．
12. 如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为__________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长．
【详解】解：连接，

∵ ，是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
故答案为：2．
13. 如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图像与边交于点E，若时，则k＝______．

【答案】4
【解析】
【分析】连接，利用同底面积比等于高之比，得到点E坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
【详解】解：连接，

由题意得：三角形的面积，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
14 如图，正方形与正方形有公共顶点C，连接、、，，．
（1）线段__________．
（2）若点E是平面内一动点，的最小值等于__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质等知识，证明，可求出，则判断出点G在以A为圆心，为半径的圆上运动，当A、G、B三点共线，且G在上时，最小，即可求解．
【详解】解：连接，
∵正方形与正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点G在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、G、B三点共线，且G在上时，最小，最小值．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值和去绝对值，再进行二次根式的混合计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查含特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
16. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）在图中以点O为位似中心在原点的另一侧画出△ABC放大2倍后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【答案】（1）A（﹣2，﹣6）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）把每个坐标做大2倍，并去相反数；
（2）横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A（﹣2，﹣6）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线与交于A、B两点（A在B点左侧）．
（1）请求出时x的取值范围；
（2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用二次函数图像解一元二次不等式及二次函数上点围成图形面积，解题关键是联立函数解一元二次方程．
（1）联立一次函数二次函数解方程，求出A、B坐标，根据函数图像及A、B两点坐标，选择直线下方部分的自变量的范围，即可得到答案；
（2）连接，，根据二次函数的性质求出顶点C的坐标，过点C作轴交于点D，根据，即可得到答案．
【小问1详解】
解：联立方程组，
解得或，
∴，，
由函数图像可得，
B点左侧与A点右侧二次函数图像在一次函数下方，即：，
∴当时，；
【小问2详解】
解：
，
∴顶点C坐标为，
过点C作轴交于点D，
则点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∴
．
18. 已知，如图，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°.
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF=2AE，S△ABD=3，求S△BDC
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）通过AB//DC可得到角度之间的等量关系，证明△ABD和△BDC中有两个角相等即可得到△ABD∽△BDC
（2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到S△ABD和S△BDC的比例，根据比例关系即可求出面积．
【小问1详解】
∵AB//DC，
∴∠ABD=∠BDC，∠ABC+∠C=180°，
∵∠ABC+∠ADB=180°，
∴∠C=∠ADB，
在△ABD和△BDC中；
∠ABD=∠BDC，∠C=∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
【小问2详解】
∵△ABD∽△BDC，
∴DC：BD=BF：AE=2：1；
∴S△BDC：S△ABD =（DC：BD）=4：1；
∴S△BDC=12；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练的掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解题的关键．注：相似三角形的面积比是相似比的平方．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．

（1）若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．
【答案】（1）见解析 （2）拱桥的半径为米
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；
（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，
【小问2详解】
解：如图，

设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）点B距水平地面AE高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米
【解析】
【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．
【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，
∴四边形BMEN为矩形，
∴NE=BM=5米，BN=ME，
在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
【点睛】
本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
六、（本题满分12分）
21. 如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且.
（1）求证：；
（2）如图，延长交于E点，若，，求的半径长.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定及相似三角形的判定和性质，
（1）先由垂径定理得出，再由勾股定理，已知条件及等腰对等角证明，再由角平分线的定义及外角的性质可得，由平行线的判定得出结论即可；
（2）延长交于F点，连接CF，先证明，根据相似三角形的性质可得，进行求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
平分的外角，
，
，
；
小问2详解】
解：延长交于F点，连接，
∵是圆的直径，
∴，
由（1）得
∵
∴
∴
∴
，
∴，
，，
∴（负值舍去），即半径为．
七、（本题满分12分）
22. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）直接写出y与x的关系式_________________；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价75元时，最大日利润是2025元；（3）70
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.
【详解】（1）设解析式为，
将和代入，可得，解得，
所以y与x的关系式为，
所以答案为；
（2）


，
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∴当时，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）
当时，
解得
，∴有两种情况
①时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当时，
②时，在范围内，
∴这种情况不成立，．
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目.
八、（本题满分14分）
23. （1）如图1，正方形中，点E，F分别是、边上，且于点O，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点G，若点G为边中点，求证：．
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证明得到即可；
（3）设，，先证明，根据（2）中结论求得，然后根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，
∵点为中点，，
∴，
∴，，
而，
，
∴，又，，
∴
∴，
∴．
（3）设，，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
由（2）中得，
解得（负值舍去），
∴．
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40